【数学】天津市南开区2015届高三一模考试(文)

【知识点】频率分布直方图．I2 【答案】60

【解析】第2小组的频率为（1﹣0.0375×5﹣0.0125×5）×=0.25； 则抽取的学生人数为：

=60．故答案为：60．

【思路点拨】根据已知，求出第2小组的频率，再求样本容量即可． （10）已知公差不为0的等差数列{an}中，a1，a2，a5依次成等比数列，则【知识点】等差数列与等比数列的综合．B4 【答案】9

【解析】∵a1，a2，a5成等比数列，∴a22=a1?a5，即（a1+d）2=a1（a1+4d），

a5=． a1由d≠0，解得：2a1=d，∴

a5=a1=9．故答案为：9．

【思路点拨】先利用等差数列的通项公式，用a1和d分别表示出等差数列的a1，a2，a5，进而利用等比数列的性质建立等式，求得a1和d的关系，进而再利用等差数列的通项公式化简

a5，将求出的a1和d的关系代入，合并约分后即可求出所求式子的值． a1（11）如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S=．

6

【知识点】程序框图．L1 【答案】2500

【解析】模拟执行程序框图，可得 i=1，S=0 S=1，i=3

不满足条件i＞99，S=4，i=5 不满足条件i＞99，S=9，i=7 不满足条件i＞99，S=16，i=9 …

不满足条件i＞99，S=1+3+5+7+…+99，i=101 满足条件i＞99，退出循环，输出S=1+3+5+7+…+99=故答案为：2500．

【思路点拨】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出结果．

（12）过点(–2，6)作圆x2+(y–2)2=4的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为． 【知识点】圆的切线方程．B4 【答案】x–2y+6=0

【解析】圆x2+（y﹣2）2=4的圆心为C（0，2），半径为2，

以（﹣2，6）、C（0，2）为直径的圆的方程为（x+1）2+（y﹣4）2=5，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程x﹣2y+6=0，故答案为：x﹣2y+6=0．

【思路点拨】求出以（﹣2，6）、C（0，2）为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程．

（13）如图，圆O的割线PAB交圆O于A、B两点，割线PCD经过圆心O．已知PA=AB=2

=2500．

6，PO=8．则BD的长为．

【知识点】切割线定理N1 【答案】26

7

【解析】连接BO,

设圆的半径为r，由切割线定理可得8-r22()(8+r)=226?46，解得r=4，在?BPO中

1，所以再次利用4根据余弦定理cos?BOP4+8-462创482()14=-1，所以cos?BOD444?余弦定理有BD=4+4-2创2224,所以BD=26,故答案为26。

【思路点拨】连接BO, 设圆的半径为r，先由切割线定理解得r=4，再利用余弦定理求出

cosDBOP，则cos?BOD1，再次利用余弦定理可得结果。 4（14）已知正三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=?AB，AE=?

AC．若点F为线段BE的中点，点O为△ADE的重心，则OF?CF=．

【知识点】平面向量数量积的运算．F3 【答案】0

【解析】连AO并延长交DE于G，如图，∵O是△ADE的重心，∴DG=GE， ∴∴显然又=∴∵∴

=

=（1﹣=﹣（=（1﹣==[

﹣

），

=++﹣]，

=

（

，∴），

，）

﹣

， +

﹣

）=（

）=﹣

+

，

，

=

=

，又

=λ

，

=λ

，

）=﹣（

，

=（λ﹣1），

+（λ﹣2）

又正三角形ABC的边长为2，

8

∴|∴

|2=||2=4，∴=[（1﹣

）

2

，

）+[

++（1﹣

]?[

+（λ﹣2）

] +

（λ﹣2）

}

={（1﹣）（λ﹣2）

=

=

==0．

【思路点拨】如图，根据向量的加减法运算法则，及重心的性质，用再根据正三角形ABC的边长为2，进行数量积运算即可．

三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （15）（本小题满分13分）某高中从学生体能测试结果中随机抽取100名学生的测试结果，按体重（单位：kg）分组，得到的频率分布表如右图所示． （Ⅰ）请求出频率分布表中①、②位置相应的数据；

（Ⅱ）从第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进行第二次测试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二次测试？

（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，在6名学生中随机抽取2名学生由李老师进行测试，求第4组至少有一名学生被李老师测试的概率？

、

表示

、

，

9

【知识点】古典概型；分层抽样方法；频率分布直方图．B4 【答案】（Ⅰ）0.300；（Ⅱ）3人，2人，1人；（Ⅲ）

35【解析】（Ⅰ）由题可知第2组的频数为0.350′100=35人，第三组的频率为

30=0.300； 100（Ⅱ）因为第3,4,5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：

302010′6=3人，第4组：′6=2人，第5组：′6=1人，所以第6060603,4,5组分别抽取3人，2人，1人。

（Ⅲ）设第三组的3 位同学为A，A2，A3,第4组的2位同学为B1,B2，第5组的1位同学1为C,则从6为同学中抽取2位同学有：

第4组至少有一位入选的有：

所以第4组的2位同学为B1,B2至少有一位入选的概率为

93=。 155【思路点拨】本题的关键是找到频率分布直方图每一组的频数，根据古典概型的计算公式求得概率．

（16）（本小题满分13分）在非等腰△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且a=3，c=4，C=2A． （Ⅰ）求cosA及b的值；

10

天津市南开区2015届高三一模（文）

试卷综述：试卷立足现行高中教材,在注重对基础知识和基本方法全面考查的同时,又突出了对数学思想、数学核心能力的综合考查, 试卷以考查考生对“双基”的掌握情况为原则,重视基础,紧扣教材,回归课本,无偏题、怪题,这对中学数学教学有很好的导向作用,让高三第一线的师生从满天飞舞的资料与题海中解脱出来,做到求真务实,抓纲务本.

第Ⅰ卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）i是虚数单位，复数

A.–iB.i C.–

5?2i=（）． 2?5i2120410–iD.–+i 29292121【知识点】复数代数形式的乘除运算．B4 【答案】A

5-2i(5-2i)(2-5i)-29i===-i,故选A. 【解析】

2+5i(2+5i)(2-5i)29【思路点拨】利用复数的运算法则即可得出．

?x?y?4?0，?（2）已知实数x，y满足约束条件?x?y?0，，则目标函数z=x–2y的最小值是（）．

?y?4?A.0 C.–8

【知识点】简单线性规划．E5 【答案】D

B.–6 D.–12

?x?y?4?0，?【解析】由约束条件?x?y?0，作出可行域如图，

?y?4? 1

联立

，解得

，即C（﹣4，4），

化目标函数z=x﹣2y为，由图可知，当直线过C时直线在y轴上的截距

最大，z有最小值，等于﹣4﹣2×4=﹣12．故选：D．

【思路点拨】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．

（3）设A，B为两个不相等的集合，条件p：x?(A∩B)，条件q：x?(A∪B)，则p是q的（）．

A.充分不必要条件 C.必要不充分条件

B.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2 【答案】C

【解析】当x∈A，且x?（A∩B），满足x∈（A∪B），即充分性不成立，

若x?（A∪B，则x?（A∩B），成立，即必要性成立，故p是q必要不充分条件，故选：C 【思路点拨】根据集合关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． （4）如图，是一个几何体的三视图，其中主视图、左视图是直角边长 为2的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则此几何体的 表面积为（）．

A.8+42B.8+43 C.6?62D.8+22+23

2

【知识点】由三视图求面积、体积．B4 【答案】A

【解析】由已知的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面是边长为2的正方形，面积S=4，棱锥的高为2，故棱锥的侧面有两个是直角边长为2的等腰直角三角形，有两个是三边长为2，2+2×

=8+4

，2

的三角形，故棱锥的表面积为：4+2×

，故选：A．

【思路点拨】由已知的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入锥体体积公式，可得答案．

（5）已知双曲线ax2–by2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x–3y=0，它的一个焦点在抛物线y2=–4x的准线上，则双曲线的方程为（）． A.4x2–12y2=1 B.4x2–

42

y=1 34C.12x2–4y2=1 D.x2–4y2=1

3【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．H6 【答案】B

【解析】∵双曲线ax2–by2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x–3y=0，∴∵双曲线的一个焦点在抛物线y2=–4x的准线x=1上，∴c=1．

a3，=b3ìaì13??a==?b443,解得?联立í．∴此双曲线的方程为4x2–y2=1．故选B． í33??11b=??+=1?4?ab【思路点拨】利用双曲线的渐近线的方程可得c2=a2+b2即可得出．

（6）函数y=log0.4(–x2+3x+4)的值域是（）．

3

a3，再利用抛物线的准线x=1=c及=b3A.(0，–2] B.[–2，+∞)

C.(–∞，–2] D.[2，+∞)

【知识点】函数的值域．B1 【答案】B 【解析】∴有

；

；所以根据对数函数log0.4x的图象即可得到：

=﹣2；∴原函数的值域为[﹣2，+∞）．故选B．

【思路点拨】先通过配方能够得到0到

，所以根据对数函数的图象即可得

，进行对数的运算从而求出原函数的值域．

（7）已知函数f(x)=sin?x–3cos?（x?＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于

?2，

若将函数y=f(x)的图象向左平移为（）．

A.(–

?6个单位得到函数y=g(x)的图象，则y=g(x)是减函数的区间

?3，0) B.(–

?4，

?4)

)

C.(0，

?3) D.(

?4，

?【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．B4 【答案】D

【解析】∵函数f（x）=sinωx﹣又∵函数f（x）=sinωx﹣

3

cosωx=2sin（ωx﹣），

=，

cosωx（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于

）， ）﹣

故函数的最小正周期T=π，又∵ω＞0，∴ω=2，故f（x）=2sin（2x﹣将函数y=f（x）的图象向左平移图象，令

+2kπ≤2x≤

+2kπ，即

+kπ，

个单位可得y=g（x）=2sin[2（x++kπ≤x≤

+kπ，k∈Z，

]=2sin2x的

故函数y=g（x）的减区间为[当k=0时，区间[又∵（

，

，，

+kπ]，k∈Z，

]为函数的一个单调递减区间， ]，故选：D．

）?[

4

【思路点拨】由已知可求出函数f（x）的解析式，进而根据函数图象的平移变换法则得到函数y=g（x）的解析式，根据正弦函数的性质分析出函数的单调性后，比照四个答案即可得到结论．

（8）已知函数f(x)=|mx|–|x–1|（m＞0），若关于x的不等式f(x)＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为（）．

A.0＜m≤1 B.C.1＜m＜

43≤m＜ 3233D.≤m＜2 22【知识点】函数的零点与方程根的关系B4 【答案】B

【解析】f（x）＜0可化为|mx|＜|x﹣1|，作函数y=|mx|与函数y=|x﹣1|的图象如下，

结合图象可知，关于x的不等式f（x）＜0的解集中的3个整数解为0，﹣1，﹣2； 故只需使

，解得，≤m＜；故选：B．

【思路点拨】f（x）＜0可化为|mx|＜|x﹣1|，作函数y=|mx|与函数y=|x﹣1|的图象，由数形结合求解即可．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。 （9）如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为15，则抽取的学生人数为．

5

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