2015年高考数学试题分类汇编_

考点：向量数量积.

13.（15年陕西理科）对任意向量a,b，下列关系式中不恒成立的是（ ） A．|a?b|?|a||b| B．|a?b|?||a|?|b|| C．(a?b)?|a?b| D．(a?b)(a?b)?a?b 【答案】B

2222

考点：1、向量的模；2、向量的数量积．

14.（15年陕西文科）对任意向量a,b，下列关系式中不恒成立的是（ ）

A．|a?b|?|a||b| B．|a?b|?||a|?|b|| C．(a?b)?|a?b| D．(a?b)(a?b)?a?b 【答案】B

2222

考点：1.向量的模；2.数量积.

15.（15年天津理科）在等腰梯形ABCD 中,已知AB//DC,AB?2,BC?1,?ABC?60 ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,BE??BC,DF?【答案】

1DC, 则AE?AF的最小值为 . 9?29 18【解析】

试题分析：因为DF?1111?9?1?9?DC,DC?AB，CF?DF?DC?DC?DC?DC?AB， 9?29?9?18?1?9?1?9?AB?AB?BC， AE?AB?BE?AB??BC，AF?AB?BC?CF?AB?BC?18?18?221?9???1?9??1?9??AE?AF?AB??BC??AB?BC??AB??BC??1???AB?BC

18???18??18???? ?1?9?19?9?2117211729?4????2?1?cos120?? ????2????18?18?9?2189?21818当且仅当

22129??即??时AE?AF的最小值为.

3189?2DFCEAB

考点：1.向量的几何运算；2.向量的数量积；3.基本不等式.

16.（15年天津文科）在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB?2,BC?1,?ABC?60, 点E和点F分别在线段BC和CD上,且BE?【答案】

21BC,DF?DC, 则AE?AF的值为 ． 3629 18ABCD

中,由

【解析】

试题分析：在等腰梯形

ABDC,AB?2,BC?1,?ABC?60,得

AD?BC?11,AB?AD?1,DC?AB ,所以AE?AF?AB?BE?AD?DF 22????22121111129???? ??AB?BC???AD?AB??AB?AD?BC?AD?AB?BC?AB?1????31231218331818????考点：平面向量的数量积.

17.（15年山东理科）已知菱形ABCD的边长为a，?ABC?60，则BD?CD?

(A)?a2 (B) ?a2 (C)

3234323a (D) a2 42解析：由菱形ABCD的边长为a，?ABC?60可知?BAD?180?60?120，

23BD?CD?(AD?AB)?(?AB)??AB?AD?AB??a?acos120?a2?a2，答案选(D)

218.（15年江苏）已知向量a=(2,1)，b=(1,?2), 若ma+nb=(9,?8)(m,n?R), m?n的值为______. 【答案】?3 【解析】

[来源:学科网ZXXK]

试题分析：由题意得：2m?n?9,m?2n??8?m?2,n?5,m?n??3. 考点：向量相等

11k?k?k?,sin?cos)(k?0,1,2,?,12)，则?(ak?ak?1)的值为 19.（15年江苏）设向量ak?(cos666k?0【答案】93 【解析】 试题分析：?cos20k?k?k?(k?1)?(k?1)?(k?1)?ak?ak?1?(cos,sin?cos)?(cos,sin?cos) 116666662k???k?(k?1)?332k???1(2k?1)??coscos??sin?cos 6664626?611?sin因此?ak?ak?1?k?033?12?93 4专题六 数列

1.（15北京理科）设?an?是等差数列. 下列结论中正确的是

A．若a1?a2?0，则a2?a3?0 B．若a1?a3?0，则a1?a2?0 C．若0?a1?a2，则a2?a1a3 D．若a1?0，则?a2?a1??a2?a3??0 【答案】C

考点：1.等差数列通项公式；2.作差比较法

?2an，an≤18，…?． 2.（15北京理科）已知数列?an?满足：a1?N*，a1≤36，且an?1???n?1，2，2a?36，a?18n?n记集合M?an|n?N*．

（Ⅰ）若a1?6，写出集合M的所有元素；

??（Ⅱ）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．

【答案】（1）M?{6,12,24}，（2）证明见解析，（3）8 【解析】

①试题分析：（Ⅰ）由a1?6，可知a2?12,a3?24,a4?12,则M?{6,12,24}；（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数，用数学归纳法证明对任意n?k，an是3的倍数，当k?1时，则M中的所有元素都是3的倍数，如果k?1时，因为ak?2ak?1或2ak?1?36，所以2ak?1是3的倍数，于是ak?1是3的倍数，类似可得，从而对任意n?1，ak?2,......a1都是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数.第二步集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设akan是3的倍数，

?2an，an≤18，是3的倍数，由已知an?1??，用数学归纳法证明对任意n?k，an是3的倍数；第三步

2a?36，a?18n?n由于M中的元素都不超过36，M中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由an的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，由定义可知，an?1和2an除以9的余数一样，分an中有3的倍数和an中没有3的倍数两种情况，研究集合M中的元素个数，最后得出结论集合M的元素个数的最大值为8.

?2an，an≤18，试题解析：（Ⅰ）由已知an?1??可知：a1?6,a2?12,a3?24,a4?12,

2a?36，a?18n?n?M?{6,12,24}

?2an，an≤18，（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数，由已知an?1??，

2a?36，a?18n?n可用用数学归纳法证明对任意n?k，an是3的倍数，当k?1时，则M中的所有元素都是3的倍数，如果k?1时，因为ak?2ak?1或2ak?1?36，所以2ak?1是3的倍数，于是ak?1是3的倍数，类似可得，

ak?2,......a1都是3的倍数，从而对任意n?1，an是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数.

（Ⅲ）由于M中的元素都不超过36，由a1?36，易得a2?36，类似可得an?36，其次M中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由an的定义可知，第三个数及后

面的数必定是4的倍数，另外，M中的数除以9的余数,由定义可知，an?1和2an除以9的余数一样，

考

点：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析. 3.（15北京文科）已知等差数列?an?满足a1?a2?10，a4?a3?2． （Ⅰ）求?an?的通项公式；

（Ⅱ）设等比数列?bn?满足b2?a3，b3?a7，问：b6与数列?an?的第几项相等？ 【答案】（1）an?4?2(n?1)?2n?2；（2）b6与数列?an?的第63项相等. 【解析】

试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用等差数列的通项公式，将a1,a2,a3,a4转化成a1和d，解方程得到a1和d的值，直接写出等差数列的通项公式即可；第二问，先利用第一问的结论得到b2和b3的值，再利用等比数列的通项公式，将b2和b3转化为b1和q，解出b1和q的值，得到b6的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n的值，即项数.

试题解析：（Ⅰ）设等差数列?an?的公差为d. 因为a4?a3?2，所以d?2.

又因为a1?a2?10，所以2a1?d?10，故a1?4. 所以an?4?2(n?1)?2n?2 (n?1,2,).

2015年高考数学试题分类汇编及答案解析

目录

专题一 集合 ...................................................................................................................................................................... 1 专题二 函数 ...................................................................................................................................................................... 6 专题三 三角函数 ............................................................................................................................................................ 21 专题四 解三角形 ............................................................................................................................................................ 32 专题五 平面向量 ............................................................................................................................................................ 40 专题六 数列 .................................................................................................................................................................... 48 专题七 不等式 ................................................................................................................................................................ 68 专题八 复数 .................................................................................................................................................................... 80 专题九 导数及其应用 .................................................................................................................................................... 84 专题十 算法初步 ........................................................................................................................................................... 111 专题十一 常用逻辑用语 .............................................................................................................................................. 120 专题十二 推理与证明 .................................................................................................................................................. 122 专题十三 概率统计 ...................................................................................................................................................... 126 专题十四 空间向量、空间几何体、立体几何 .......................................................................................................... 149 专题十五 点、线、面的位置关系 .............................................................................................................................. 186 专题十六 平面几何初步 .............................................................................................................................................. 187 专题十七 圆锥曲线与方程 .......................................................................................................................................... 192 专题十八 计数原理 .................................................................................................................................................... 218 专题十九 几何证明选讲 ............................................................................................................................................ 221 专题二十 不等式选讲 ................................................................................................................................................ 226 专题二十一 矩阵与变换 .............................................................................................................................................. 230 专题二十二 坐标系与参数方程 .................................................................................................................................. 231

专题一 集合

1.（15年北京文科）若集合??x?5?x?2，??x?3?x?3，则?A．x?3?x?2 B．x?5?x?2 C．x?3?x?3 D．x?5?x?3 【答案】A

??????（ ）

????????

考点：集合的交集运算.

2.(15年广东理科) 若集合M={x|(x+4)(x+1)=0}，N={x|(x-4)(x-1)=0}，则MN=

A．? B．??1,?4? C．?0? D．?1,4? 【答案】A．

【考点定位】本题考查一元二次方程、集合的基本运算，属于容易题． 3.(15年广东文科) 若集合????1,1?，????2,1,0?，则???（ ）

A．?0,?1? B．?0? C．?1? D．??1,1? 【答案】C 【解析】 试题分析：????1?，故选C．

考点：集合的交集运算． 4.（15年广东文科）若集合????p,q,r,s?0?p?s?4,0?q?s?4,0?r?s?4且p,q,r,s???，

F???t,u,v,w?0?t?u?4,0?v?w?4且t,u,v,w???，用card???表示集合?中的元素个数，则

card????card?F??（ ）

A．50 B．100 C．150 D．200 【答案】D

考点：推理与证明．

5.（15年安徽文科）设全集U??1，2?，B??2，，，，，，，23456?，A??134?，则A（A）?1，，，256? （B）?1? （C）?2? （D）?1，，，234? 【答案】B 【解析】

试题分析：∵CUB??1,5,6? ∴A考点：集合的运算.

[学优高考网gkstk]

?CUB??( )

1 ∴选B ?CUB????

6.（15年福建文科）若集合M?x?2?x?2，N??0,1,2?，则MA．?0? B．?1? C．?0,1,2? D?0,1? 【答案】D

??N等于（ ）

考点：集合的运算． 7.(15年新课标1文科)

8.(15年新课标2理科) 已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（ ）

（A）｛--1,0｝ （B）｛0,1｝ （C）｛-1,0,1｝ （D）｛,0,，1，2｝

【答案】A

【解析】由已知得B?x?2?x?1，故A??B???1,0?，故选A

B?（ ）

9.(15年新课标2文科) 已知集合A??x|?1?x?2?,B??x|0?x?3?,则AA．??1,3? B．??1,0? C．?0,2? D．?2,3? 【答案】A

考点：集合运算.

10.(15年陕西理科) 设集合M?{x|x2?x}，N?{x|lgx?0}，则MN?（ ）

A．[0,1] B．(0,1] C．[0,1) D．(??,1] 【答案】A 【解析】

2试题分析：??xx?x??0,1?，??xlgx?0?x0?x?1，所以??????????0,1?，故选A．

考点：1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算． 11.(15陕西文科) 集合M?{x|x?x}，N?{x|lgx?0}，则MA．[0,1] B．(0,1] C．[0,1) D．(??,1] 【答案】A

2N?（ ）

考点：集合间的运算.

12.(15年天津理科) 已知全集U??1,2,3,4,5,6,7,8? ，集合A??2,3,5,6? ，集合B??1,3,4,6,7? ，则集合

AeUB?

（A）?2,5? （B）?3,6? （C）?2,5,6? （D）?2,3,5,6,8? 【答案】A

【解析】

试题分析：eUB?{2,5,8},所以A考点：集合运算.

13.(15年天津理科) 已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,3,5},集合B={1,3,4,6},则集合A（e）=UBe}，故选A. UB?{2,5（ ）

(A) {3} (B) {2,5} (C) {1,4,6} (D){2,3,5} 【答案】B 【解析】

试题分析：A={2,3,5},eUB={2,5},则A（eUB）={2,5},故选B. 考点：集合运算 14.(15年浙江理科)

5.(15年山东理科) 已知集合A={x|x2?4x?3?0},B?{x|2?x?4}，则AB?

(A)(1,3) (B)(1，4) (C)(2，3) (D)(2，4)

解析：A?{x|x2?4x?3?0}?{x|1?x?3},AB?(2,3),答案选(C)

16.(15年江苏) 已知集合A??1,2,3?，B??2,4,5?，则集合A?B中元素的个数为_______. 【答案】5 【解析】 试题分析：AB?{1，2，3}{2，4，5}?{1，2，3，4，，5}5个元素

考点：集合运算

1

2.（15北京文科）设a，b是非零向量，“a?b?ab”是“a//b”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】

试题分析：由已知得cos?a,b??1，即?a,b??0，a//b.而当a//b时，a?b?|a|?|b|cos?a,b?，?a,b?还可能是?，此时a?b??|a||b|，故“a?b?ab”是“a//b”的充分而不必要条件. 考点：充分必要条件、向量共线.

3.（15年广东理科）在平面直角坐标系xoy中，已知向量m?? （1）若m?n，求tan x的值 （2）若m与n的夹角为【答案】（1）1；（2）x??22????，n??sinx,cosx?，x??0,?。 ,???22??2????，求x的值。 35?． 12

【考点定位】本题考查向量数量积的坐标运算、两角和差公式的逆用、知角求值、值知求角等问题，属于中档题．

4.（15年广东文科）在平面直角坐标系x?y中，已知四边形??CD是平行四边形，????1,?2?，?D??2,1?，则?D??C?（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】

试题分析：因为四边形??CD是平行四边形，所以?C?????D??1,?2???2,1???3,?1?，所以

?D??C?2?3?1???1??5，故选D．

考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算．

???????5.（15年安徽文科）?ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a、b满足AB?2a，AC?2a?b，则下列

结论中正确的是 。（写出所有正确结论得序号）

?????????①a为单位向量；②b为单位向量；③a?b；④b//BC；⑤(4a?b)?BC。

【答案】①④⑤ 【解析】

试题分析：∵等边三角形ABC的边长为2,AB?2a∴AB?＝2a＝2?a?1,故①正确；

∵AC?AB?BC?2a?BC ∴BC?b?b?2，故②错误，④正确；由于AB?2a,BC?b?a与b夹

?角为120，故③错误；又∵(4a?b)?BC?(4a?b)?b?4a?b?b?4?1?2?(?)?4?0

212∴(4a?b)?BC，故⑤正确 因此，正确的编号是①④⑤. 考点：1.平面向量的基本概念；2.平面向量的性质.

6.（15年福建理科）已知AB?AC,AB?,AC?t ，若P 点是?ABC 所在平面内一点，且

1tAP?ABAB?4ACAC ，则PB?PC 的最大值等于（ ）

A．13 B．15 C．19 D．21 【答案】A

yCPBAx

考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．

7.（15年福建文科）设a?(1,2)，b?(1,1)，c?a?kb．若b?c，则实数k的值等于（ ） A．?3553 B．? C． D．

3232【答案】A

考点：平面向量数量积．

8.（15年新课标1理科）已知M（x0，y0）是双曲线C：

x2?y2?1 上的一点，F1、F2是C上的两个2焦点，若MF1?MF2＜0，则y0的取值范围是

（A）（-33，） 33 （B）（-33，） 66（C）（?【答案】A

22222323，） （D）（?，）

3333

9.（15年新课标1理科）设D为ABC所在平面内一点

=3，则

（A）=+ (B)=

（C）=+ (D)=

【答案】A

1411【解析】由题知AD?AC?CD?AC?BC?AC?(AC?AB)?=?AB?AC，故选A.

3333

10.(15年新课标1文科)

11.（15年新课标2理科）设向量a，b不平行，向量?a?b与a?2b平行，则实数??_________． 【答案】

1 2ka?2b）【解析】因为向量?a?b与a?2b平行，所以?a?b?（，则????k，1

所以??．

2?1?2k,12.（15年新课标2文科）已知a??1,?1?,b???1,2?,则(2a?b)?a?（ ） A．?1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】

2试题分析：由题意可得a?2 ,a?b??3, 所以?2a?b??a?2a?a?b?4?3?1.故选C.

2

A.

5???? B. C. D. 12346【答案】D. 【解析】

试题分析：向右平移?个单位后，得到g(x)?sin(2x?2?)，又∵|f(x1)?g(x2)|?2，∴不妨

2x1?∴

?2?2k?，2x2?2????2?2m?，∴x1?x2??2???(k?m)?，又∵x1?x2min??3，

?2????3????6，故选D.

考点：三角函数的图象和性质.

10.（15年江苏）已知tan???2，tan??????【答案】3 【解析】

1?2tan(???)?tan?7试题分析：tan??tan(?????)???3. 1?tan(???)tan?1?271，则tan?的值为_______. 7考点：两角差正切公式

11.（15年江苏）在?ABC中，已知AB?2,AC?3,A?60. （1）求BC的长； （2）求sin2C的值. 【答案】（1）7（2）【解析】

43 7?考点：余弦定理，二倍角公式

专题四 解三角形

sin2A? sinC1.（15北京理科）在△ABC中，a?4，b?5，c?6，则

【答案】1 【解析】

．

2?425?36?16sin2A2sinAcosA2ab2?c2?a2???1 ???试题分析：

62?5?6sinCsinCc2bc考点：正弦定理、余弦定理

2.（15北京文科）在???C中，a?3，b?【答案】

6，???2?，则??? ． 3?4

【解析】

试题分析：由正弦定理，得

362ab?，即，所以sinB?，所以?B?. ??2sinAsinB43sinB2考点：正弦定理.

3.（15年广东理科）设?ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a?3， sinB?则b? 【答案】1．

1π，C?，26【考点定位】本题考查正弦定理解三角形，属于容易题．

4.（15年广东文科）设???C的内角?，?，C的对边分别为a，b，c．若a?2，c?23，cos??且b?c，则b?（ ）

A．3 B．2 C．22 D．3 【答案】B 【解析】

试题分析：由余弦定理得：a?b?c?2bccos?，所以2?b?232223，222??2?2?b?23?3，即2b2?6b?8?0，解得：b?2或b?4，因为b?c，所以b?2，故选B．

考点：余弦定理．

5.(15年安徽理科) 在?ABC中，A??4,AB?6,AC?32,点D在BC边上，AD?BD，求AD的长。

??6.（15年安徽文科）在?ABC中，AB?6，?A?75，?B?45，则AC? 。

【答案】2 【解析】

试题分析：由正弦定理可知：考点：正弦定理.

7.（15年福建理科）若锐角?ABC的面积为103 ，且AB?5,AC?8 ，则BC 等于________． 【答案】7 【解析】

试题分析：由已知得?ABC的面积为以A?ABAC6AC????AC?2 ??sin[180??(75??45?)]sin45?sin60sin451?3AB?ACsinA?20sinA?103，所以sinA?，A?(0,)，所222?3222．由余弦定理得BC?AB?AC?2AB?ACcosA?49，BC?7．

考点：1、三角形面积公式；2、余弦定理．

008.（15年福建文科）若?ABC中，AC?3，A?45，C?75，则BC?_______．

【答案】2 【解析】

试题分析：由题意得B?180?A?C?60．由正弦定理得

00ACBCACsinA?，则BC?， sinBsinAsinB3?所以BC?3222?2．

考点：正弦定理． 9.(15年新课标1理科)

10.（15年新课标2理科）?ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，?ABD是?ADC面积的2倍。

sin?B(Ⅰ)求;

sin?C(Ⅱ) 若AD=1，DC=

2求BD和AC的长. 2

11.（15年新课标2文科）△ABC中D是BC上的点,AD平分?BAC,BD=2DC. （I）求

sin?B ；

sin?C（II）若?BAC?60,求?B. 【答案】（I）

1；30. 2

考点：解三角形

12.(15年陕西理科) ???C的内角?，?，C所对的边分别为a，b，c．向量m?a,3b 与n??cos?,sin??平行． （I）求?； （II）若a?【答案】（I）

??7，b?2求???C的面积．

?33；（II）． 32试题解析：（I）因

为m//n，所以asinB-3bcosA=0，

3sinBcosA=0

由正弦定理，得sinAsinB-又sin??0，从而tanA=3， 由于0?A??，所以A??3

222(II)解法一：由余弦定理，得a=b+c-2bccosA 而a=7b=2,??2?3

2得7=4+c-2c，即c-2c-3=0 因为c>0，所以c=3. 故?ABC的面积为

133. bcsinA=22

考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式.

13.（15年陕西文科）?ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，向量m?(a,3b)与n?(cosA,sinB)平行.

(I)求A；

(II)若a?7,b?2求?ABC的面积. 【答案】(I) A??3；(II)

33. 2试题解析：(I)因为

m//n，所以asinB?3bcosA?0

由正弦定理，得sinAsinB?3sinBcosA?0， 又sinB?0，从而tanA?由于0?A?? 所以A?3，

?3

(II)解法一：由余弦定理，得

a2?b2?c2?2bccosA，而a?7,b?2，A?得7?4?c?2c，即c?2c?3?0 因为c?0，所以c?3， 故?ABC面积为

22?3，

133bcsinA?. 227sin?2 sinB解法二：由正弦定理，得?3从而sinB?21 727 7又由a?b知A?B，所以cosB?故sinC?sin(A?B)?sin(B??3)

?sinBcos?3?cosBsin?3?321， 14所以?ABC面积为

133. absinC?22考点：1.正弦定理和余弦定理；2.三角形的面积.

14.（15年天津理科）在?ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知?ABC的面积为315 ，

1b?c?2,cosA??, 则a的值为 .

4【答案】8 【解析】

2试题分析：因为0?A??，所以sinA?1?cosA?15， 4又S?ABC??b?c?2115得b?6,c?4，由余弦定理得 bcsinA?bc?315,?bc?24，解方程组?28bc?24??1?a2?b2?c2?2bccosA?62?42?2?6?4?????64，所以a?8.

?4?考点：1.同角三角函数关系；2.三角形面积公式；3.余弦定理.

15．（15年天津文科）△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为

1315,b?c?2,cosA??,

4（I）求a和sinC的值； （II）求cos?2A?????? 的值. 6?1515?73；（II）. 816【答案】（I）a=8,sinC?【解析】

考点：1.正弦定理、余弦定理及面积公式；2三角变换.

专题五 平面向量

1.（15北京理科）在△ABC中，点M，N满足AM?2MC，BN?NC．若MN?xAB?yAC，则x? ；y? ．

【答案】

11,? 26【解析】

试题分析：特殊化，不妨设AC?AB,AB?4,AC?3，利用坐标法，以A为原点，AB为x轴，AC为

y轴，建立直角坐标系，A(0,0),M(0,2),C(0,3),B(4,0),N(2,)，

121232MN?(2,?),AB?(4,0),AC?(0,3)，则(2,?)?x(4,0)?y(0,3)，

111,?x?,y??. 2264x?2,3y??考点：平面向量

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