高一数学常用公式、结论、方法集锦(终结版)

高一（上）部分

1.集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性. 2.德摩根公式：

CU(A?B)?CUA?CUB；CU(A?B)?CUA?CUB.

3.包含关系：

） A?B?A?A?B?B?A?B.（注：集合A可能为空集！

4.集合{a1,a2,?,an}的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空真子集有2n–2个.

5.二次函数解析式的三种形式：

（1）一般式：f(x)?ax2?bx?c(a?0)； （2）顶点式：f(x)?a(x?h)2?k(a?0)；

（3）零点式（两根式）：f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0).

6.解连不等式：N?f(x)?M?[f(x)?M][f(x)?N]?0（穿针引线法）. 7.含绝对值不等式类型：

（1）|x|?a,|x|?a(a?0)型：|x|?a?x?a或x??a；|x|?a??a?x?a.

特别的，|ax?b|?c,|ax?b|?c(c?0)，

|ax?b|?mx?n,|ax?b|?mx?n(m?0).

（2）m?|ax?b|?n(0?m?n)型：?n?ax?b??m或m?ax?b?n. （3）|ax?b|?|mx?n|型：不等式两边平方.

（4）含两个或两个以上绝对值不等式：数形结合或零点分区间讨论法.

（5）含参数的绝对值不等式：分类讨论或应用|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|. 8.a?f(x)?a?[f(x)]max，a?f(x)?a?[f(x)]min. 9.（1）闭区间上的二次函数的最值：

二次函数y?f(x)?ax?bx?c(a?0)在闭区间[p,q]上的最值只能在

x??b2a2处或区间的两端点处取得，结合图象可得，具体如下：

b2a?[p,q]，则ymni?f(?b2a)，ymax?max{f(p),f(q)}；

①当a>0时，若x??若x??b2a?[p,q]，ymax?max{f(p),f(q)}，ymin?min{f(p),f(q)}.

b2a?[p,q]，则ymax?f(?b2a)，ymin?min{f(p),f(q)}；

②当a<0时，若x??若x??b2a?[p,q]，则ymax?max{f(p),f(q)}，ymin?min{f(p),f(q)}.

处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用

“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系.

第1页

（2）一元二次方程根的分布问题：

依据：若f(m)f(n)?0，则方程f(x)?0在区间(m,n)内至少有一个实根. 设f(x)?ax2?bx?c(a?0)，则

???0?b（1）两个实数根都小于k??k??；

2a??af(k)?0???0?b（2）两个实数根都大于k??k??； 2a??af(k)?0k k k k ???0?af(k1)?0k1 ?（3）两个实数根在区间(k1,k2)内??af(k)?0 2?b?k1???k22a?k2 k1 k2 ???0?（4）两个实数根有x1k2(x1

?af(k)?02?

k1 k2 k1 k2 k1 ???0k2 k1 k2 （5）两个根有且仅有一个根在(k1,k2)内???f(k1)f(k2)?0.

10.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据：

（1）在给定区间(??,??)的子区间L（形如[?,?]，(??,?]，[?,??)）上含参数的二次不等式f(x,t)?0（t为参数）恒成立的充要条件是f(x,t)min?0(x?L)； （2）在给定区间(??,??)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)?0（t为参数）恒成立的充要条件是f(x,t)max?0(x?L)； （3）f(x)?ax?bx42?a?0??c?0恒成立的充要条件是?b?0.

?c?0?第2页

11.常见结论的否定形式： 正面词语 否定 正面词语 否定 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有（n?1）个 小于 不小于 至多有n个 至少有（n?1）个 p且q ?p或?q p或q ?p且?q 12.真值表： p q ﹁p p或q p且q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 口诀 真假相对 一真必真 一假必假 13.四种命题的相互关系：

原命题 逆命题 若p则q 互逆 若q则p 互 为 为 互 互互否 否 逆 逆 否 否 否命题 若﹁p则﹁q 互逆 逆否命题 若﹁q则﹁p

★互为逆否命题等价即同真同假.

★区别：否命题（同时否定条件和结论）与命题的否定（只否定结论）. 14.充分条件与必要条件：

（1）充分条件：若p?q，则p是q充分条件； （2）必要条件：若q?p，则p是q必要条件；

（3）充要条件：若p?q，且q?p，则p是q充要条件. ★如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. ★等价命题：p?q??q??p；?p?q??q?p. ★“x>3”的一个充分不必要条件是 如x>4 ； “x>3”的一个必要不充分条件是 如x>2 .

15.映射与函数：

（1）映射：一对一或多对一（注意集合中的元素能否有剩余！）.

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（2）函数：A、B为非空数集的映射. 三要素（定义域、对应法则、值域） （3）集合A中有n个元素，集合B中有m个元素，则从A到B的映射个数为mn个. 16.抽象函数的定义域求法要点：

（1）函数的定义域是针对x而言的（理解它们的对应关系）；

（2）不管括号里的表达式怎么复杂，它们前后的范围是相同的.

17.相同函数的判断：先判断定义域是否相同，再找化简的解析式或值域是否相同. 18.函数值域的常用求法：

2（1）直接法（观察法）：适用于比较简单的函数，从解析式出发，利用|x|?0、x?0、

x?0等，直接得出函数的值域.

（2）单调性法.

（3）图象法：利用函数图象的直观性，求得函数值域.

（4）配方法：适用于解析式中含二次三项式的函数，但要注意所给的定义域. （5）最值法：利用基本不等式，并注意等式成立的条件.

（6）换元法：适用于某些无理函数，通过换元转化为有理函数.此时需要注意换元后辅助元的取值范围.

（7）逆求法（反函数法）.

（8）判别式法：将有理函数式转化为关于x的一元二次方程，然后利用△≥0来求解.需要注意：①x∈R；②讨论二次项系数是否为零.

（9）分离常数法：适用于分式型函数，且分子、分母同次. （10）构造法：构造斜率、距离、截距、复数、平面向量等. 19.函数解析式的求法：

（1）拼凑法；（2）换元法；（3）待定系数法；（4）消元法（解方程组法）；（5）赋值法；（6）图象（变换）法. 20.函数的单调性：

（1）定义：①任意性；②有大小；③同一单调区间.

（2）证明步骤：①取值；②作差变形；③定号；④判断. （3）性质：f(x)是增函数：x1?x2?f(x1)?f(x2)

f(x)是减函数：x1?x2?f(x1)?f(x2)

（4）判断或证明：①定义法；②图象法；③直接法（基本函数判定法）：

a、常见的基本函数在给定区间上的单调性.

b、y?f(x)与y?f(x)?c的单调性相同.

c、y?c?f(x)?d与y?f(x)的单调性：c?0时相同，c?0时相反. d、若f(x)?0，则

f(x)与f(x)具有相同的单调性.

e、当f(x)恒为正或恒为负时，y?1f(x)与y?f(x)的单调性相反.

f、在公共区间内：增+增=增；减+减=减；增-减=增.

第4页

④复合函数的单调性：同为增，异为减.

⑤求导法：设函数y?f(x)在某个区间内可导，

若f?(x)?0，则f(x)为增函数；若f?(x)?0，则f(x)为减函数.

（5）应用：比较大小；求值域或最值；解不等式. （6）掌握函数y?x?21.反函数：

（1）求反函数的步骤：①求原函数的值域，②由y?f(x)解得x?f出y?f?1?1a2x(a?0)的图象与性质.

(y)，③写

(x)，④写上反函数的定义域.

（2）原函数存在反函数的条件：一一映射. （3）原函数与其反函数具有的特性：

（定义域、值域）互换性、（相同）单调性、（图象）对称性、（互为）还原性. （4）性质：f(a)?b?ff[f?1?1(b)?a.即：设f(x)的定义域为A、值域为B，则有

?1，f(x)]?x（x∈B）

?1[f(x)]?x（x∈A）.

(x?1).

（5）区分：f(x?1)的反函数、f（6）结论：①定义域上的单调函数必有反函数；②奇函数的反函数也是奇函数；③

定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；④周期函数不存在反函数.

ax?b（7）分式函数y?f(x)?的相关结论：

cx?dda①定义域{x|x??}，值域{y|y?}；

cc?dx?b?1②反函数：f(x)?；

cx?a③自反函数：当a?d?0时，原函数和反函数是同一函数；

④对称中心：(?dc,ac)；

； ac⑥分式函数的图象可由反比例函数平移得到；

aa⑦单调区间：(??,)?(,??)，这两个区间是同增（或同减）区间.

cc22.函数的奇偶性：

（1）定义：若f(x)满足f(?x)??f(x)，则f(x)为奇函数；

若f(x)满足f(?x)?f(x)，则f(x)为偶函数.

（2）图象特征（见23（1））.

（3）判断：首先应判断定义域是否关于原点对称.

若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；

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⑤何时存在反函数：ad?bc，即

b?d

（4）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性.

（5）若f(x)是偶函数，那么f(x)?f(?x)?f(|x|)；

（6）定义域含零的奇函数必过原点（可用于求参数），即f(0)?0. 23.函数图象（或方程曲线）的对称性：

（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称. （2）y?f(x)和y?f?1(x)的图象关于直线y=x对称. （3）y?f(x)与y?f(?x)的图象关于y轴对称. （4）y?f(x)与y??f(x)的图象关于x轴对称.

（5）y?f(x)与y??f(?x)的图象关于原点对称.

（6）y?f(x)的图象关于直线x?a对称?f(a?x)?f(a?x)?y?f(x?a)是偶函数?f(2a?x)?f(x)，

（7）若函数y?f(x?a)是奇函数，则函数y?f(x)的图象关于点(a,0)成中心对称.

（8）若f(a?x)?f(b?x)恒成立，则函数f(x)的对称轴是x?（9）函数y?f(a?x)与y?f(b?x)的图象关于直线x?b?a2a?b2；

对称；

b?a2m（10）函数y?f(a?mx)与函数y?f(b?mx)的图象关于直线x?对称；

（11）证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；

（12）证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C2上，反之亦然；

其余详见P33.51.

24.几个常见的函数方程：

（1）正比例函数f(x)?kx：f(x?y)?f(x)?f(y). （2）指数函数f(x)?a：f(x?y)?f(x)f(y). （3）对数函数f(x)?logax：f(xy)?f(x)?f(y). 25.几个常见函数方程的周期（约定a>0）：

（1）若f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T?a； （2）若f(x)??f(x?a)，或f(x?a)?或f(x?a)??则f(x)的周期T?2a；

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x1f(x)1(f(x)?0)，

f(x)(f(x)?0),

（3）若f(x?a)?f(x?a)或f(x?2a)?f(x)，则y?f(x)是周期为2a的周期函数；

（4）若y?f(x)是偶函数，其图像又关于直线x?a对称，则y?f(x)是周期为2|a|的周期函数；

（5）若y?f(x)奇函数，其图像又关于直线x?a对称，则y?f(x)是周期为4|a|的周期函数；

（6）若y?f(x)关于点(a,0)，(b,0)对称，则y?f(x)是周期为2a?b的周期函数； （7）若y?f(x)图象关于直线x?a，x?b(a?b)对称，则函数y?f(x)是周期为2a?b的周期函数； （8）若f(x)?1?（9）f(a?x)?1f(x?a)(f(x)?0)，则f(x)的周期T?3a；

1?f(x)1?f(x)且f(a)?1，则f(x)的周期T?4a；

（10）f(x)?f(x?a)?f(x?2a)?f(x?3a)?f(x?4a)

?f(x)f(x?a)f(x?2a)f(x?3a)f(x?4a)，则f(x)的周期T?5a；

（11）f(x?a)?f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T?6a. 26.根式的性质： （1）(na)n?a.

nn（2）当n为奇数时，a?a；当n为偶数时，a?|a|??nn?a,a?0??a,a?0.

（3）a?1(a?0). 27.分数指数幂：

m0（1）a（2）an?nam?mn；

?（a?0,m,n?N，且n?1）.

?1man28.指数幂的运算性质：

（1）a?a?arsrrsrrsr?s(a?0).

（2）(a)?a(a?0). （3）(ab)?ab(a?0).

29.指数式与对数式的互化： logaN?b?ab?N(a?0,a?1,N?0). 30.对数的运算法则：

若a?0，a?1，M?0，N?0，则 （1）loga(MN)?logaM?logaN；

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r（2）logaMNn?logaM?logaN； ?nlogaM(n?R).

（3）logaM推论、性质：a?0，a?1，m,n?0,且m?1,n?1, N?0 （1）基本性质：loga1?0，logaa?1. （2）恒等式：alogaN?N，logaab?b.

（3）换底公式 ：logaN?（4）logbmlogmNlogmaa；

a?1.

n31.指数函数与对数函数的图象与性质的比较：

an?mlogab；logb?logb（1）图象；（2）定义域、值域；（3）单调性（单调区间）；（4）定点. 32.设函数f(x)?logm(ax2?bx?c)(a?0)，记??b?4ac.

2若f(x)的定义域为R，则a?0，且??0；

若f(x)的值域为R，则a?0，且??0.对于a?0的情形，需要单独检验. 33.平均增长率的问题：

如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有

y?N(1?p).

x34.数列的通项公式an与前n项的和Sn的关系：

?S1,n?1an??

?Sn?Sn?1,n?235.等差数列与等比数列的知识对比：

等差数列 等比数列

an?1?q(q?0) （1）定义式（递推公式）：an?1?an?d an（2）通项公式：an?a1?(n?1)d?kn?b an?a1qn?1?（3）前n项和公式：Sn?n(a1?an)a1q?q(n?N)

n*2a?anqn(n?1)?na1?d Sn?1,q?1

21?q?d2n?(a1?2 Sn?na1,q?1

12d)n ?a1(1?q)1?qn?A?Aq

n（4）等差（等比）中项：a,A,b成等差数列 a,G,b成等比数列

?2A?a?b ?G2?ab?0

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（5）等差（等比）数列的判断或证明方法：定义法，通项、前n项和、中项公式.

a?am（6）性质：①an?am?(n?m)d d?n ①an?amqn?m

n?m②am?an?ap?aq m?n?p?q ②am?an?ap?aq

③“等长片断”Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,??,成等差（等比）数列

④{?1an??2bn}，{c?an?b} ④{an?bn}，{1an}，{c?an}

另：①对等差数列{an}，当项数为2n时，S偶—S奇＝nd；当项数为2n－1时，S－S偶＝a中（n∈N*）.

②{an}，{bn}是等差数列，Sn，Tn分别为其前n项和，则有

a奇

anbn?S2n?1T2n?1.

③{an}为等差数列?{cn}是等比数列（其中c?0，且c?1）. ④{an}为等比数列?{logcan}是等差数列an?0）（其中c?0，且c?1，.

36.数列求和方法：

（1）公式法，（2）倒序相加法，（3）错位相减法，（4）分组求和法，（5）裂项拆项求和法.

37.通项公式的求法：

?a1?a（1）满足?的数列{an}的通项求法：累加法.

?an?1?an?f(n)?a1?a（2）满足?的数列{an}的通项求法：累积法.

?an?1?anf(n)?S1,n?1（3）含an与Sn的递推式Sn?f(an)，方法：an??.

S?S,n?2n?1?nqq?p(an?). （4）满足an?1?pan?q的数列{an}，方法：化归为an?1?1?p1?p38.分期付款(按揭贷款) ：

每次还款x?

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ab(1?b)nn(1?b)?1元(贷款a元，n次还清，每期利率为b).

高一（下）部分

1.等分象限法

2.弧长公式、扇形面积公式

|?|?l12R，S?2lR?12|?|R（其中?为弧度制）

3.三角函数在Rt△中的定义和直角坐标系中的定义、三角函数线.

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4.三角函数值在各象限的符号.

5.诱导公式：（1）口诀，（2）特殊角的三角函数值（含150，750）

6?426?42 sin150??cos75，sin7500??cos15

06.同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：sin??cos??1 （2）商数关系：tan??sin?cos?22

（3）倒数关系：tan?cot??1 （4）齐次式的处理：引入“1”，构造正切 7.和差角公式：

cos(???)?cos?cos??sin?sin?； sin(???)?sin?cos??cos?sin?；

tan??tan?1?tan?tan?tan(???)?.

变形、结论：（1）tan??tan??tan(???)(1?tan?tan?)；

（2）sin??cos??2sin(???4)?2cos(???4)；

（3）sin??cos??2sin(???4)??2cos(???4)；

（4）形如

1?tan?1?tan??tan(?4??)、

1?tan?1?tan??tan(?4??)等；

（5）角的拼凑，如2??(???)?(???)、??(???)??等.

ba8.辅助角公式：asin??bcos??22a?bsin(???)，其中tan??.

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9.几个常见的三角不等式： （1）若0????2，则sin????tan?.

（2）若sin?cos??0，则1?|sin??cos?|?2；

特别的，若?为锐角，则1?sin??cos??2；

若sin?cos??0，则0?|sin??cos?|?1. （3）有界性：|sin?|?1，|cos?|?1.

（4）当sin??cos?时，角α的终边落在直线y?x上方； 当sin??cos?时，角α的终边落在直线y?x下方；

当sin??cos?时，角α的终边落在直线y?x上.

10.二倍角公式：

sin2??2sin?cos?；

cos2??cos2??sin2??1?2sin2??2cos2??1；

tan2??2tan?1?tan2?

（1）降幂公式：cos2??1?cos2?，sin2??1?cos2?22，

tan2??1?cos2?1?cos2?；

（2）消“1”公式：1?cos2??2cos2?，1?cos2??2cos2?，1?sin2??(sin??cos?)2；

（3）tan?cos?2?sin?1?cos??1?sin?；

（4）sin??cos?、sin??cos?、sin?cos?的相互转化.

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11.三角函数的周期公式：

（1）y?Asin(?x??)?k型：T?2?|?|； y?Atan(?x??)型：T??|?|；

（2）y?|sin?x|型：T??2?|?|；y?|sin?x?k|(k?0)型：T?|?|.

12.三角函数的奇偶性：

（1）若y?Asin(?x??)是奇函数，则??k?(k?Z)；

若y?Asin(?x??)是偶函数，则???2?k?(k?Z).

（2）若y?Acos(?x??)是偶函数，则??k?(k?Z)；

若y?Acos(?x??)是奇函数，则???2?k?(k?Z).

13.解三角不等式：①利用单位圆和三角函数线；②借助于三角函数的图象. 14.三角函数的对称性：

（1）y?sinx：对称轴x??2?k?(k?Z)，对称中心(k?,0)(k?Z)；（2）y?cosx：对称轴x?k?(k?Z)，对称中心(?2?k?,0)(k?Z)；（3）y?tanx：对称中心(k2?,0)(k?Z)；

15.三角函数的图象变换：

（1）相位变换→周期变换→振幅变换；（注意提取系数！） （2）周期变换→相位变换→振幅变换.

16.三角函数的最值：

（1）y?asinx?bcosx型； （2）y?asinx?bcos2x?c型；

（3）y?asin2x?bsinxcosx?ccos2x型；

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（4）y?asinx?bsinx?bcsinx?d或y?accosx?d型；

（5）y?asinxcosx?b(sinx?cosx)型. 17.反三角函数：

（1）y?arcsinx，x?[?1,1]，y?[???2,2].arcsin(?a)??arcsina.

（2）y?arccosx，x?[?1,1]，y?[0,?].arccos(?a)???arccosa.

（3）y?arctanx，x?R，y?(???2,2).arctan(?a)??arctana.

（4）求解步骤：先求锐角，再根据所在象限分别表示之. 18.正弦定理：

asinA?bsinB?csinC?2R（R为△ABC外接圆的半径）

变形：a:b:c?sinA:sinB:sinC. 另：三角形的内切圆半径r?2S?ABCa?b?c.

19.余弦定理：

a2?b2?c2?2bccosA； b2?a2?c2?2accosB； c2?a2?b2?2abcosC.

变形：（1）cosA?b2?c2?a22bc；

2cosB?a?c2?b22ac；

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cosC?a?b?c2ab2222.

2 （2）sinsinsin2A?sinB?sinC?sinB?sinA?sinA?sinC?2sinBsinCcosA C?2sinAsinCcosB B?2sinAsinBcosC

22222220.三角形中的性质、结论： （1）面积公式：S?12absinC?12bcsinA?12acsinB?12×底×高?abc4R.

（2）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. （3）A?B?C??.

互补关系：sin(A?B)?sinC等；

A?B2C2C b A

D

c a

B

互余关系：sin?cos等.

（4）勾股定理：在Rt△中，a2?b2?c2，C=A+B=900. （5）射影定理：c?acosB?bcosA.

（6）大边对大角，小边对小角：a?b?A?B?sinA?sinB. （7）若A、B、C成等差数列，则B?60.

21.平面向量的基本定理：如果向量e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且仅有一对实数λ1、λ2，使得a＝λ1e1+λ2e2. 不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 22.a与b的数量积（或内积）：a?b?|a||b|cos?.

几何意义：数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos?的乘积.即性质：e?a?a?e?|a|?cos?.

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0

23.平面向量的坐标运算：

（1）设a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则a?b?(x1?x2,y1?y2)，

a?b?x1x2?y1y2；

（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1)； （3）设a?(x,y)，λ∈R，则λa?(?x,?y). 24.向量的平行、垂直：（口诀：平行交叉，垂直相加） 设a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，且b?0，则： （1）a∥b?b?λa?x1y2?x2y1；

（2）a⊥b?a?b?0?x1x2?y1y2?0?|a?b|?|a?b|. 特别的，若a?(x,y)，且a⊥b，则可设b?λ(?y,x)； 若a?(x,y)，且a∥b，则可设b?λ(x,y). 25.向量模公式：设a?(x,y)，则|a|?x?y22.

(x1?x2)?(y1?y2).

2226.两点间距离公式：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则|AB|?另：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则S?ABC?27.两向量的夹角公式： cos??a?b|a||b|?x1x2?y1y2x1?y1212|x1y2?x2y1|.

22x2?y22222，其中a?(x1,y1)，b?(x2,y2).

28.向量的其他重要性质、结论：

（1）(a?b)?a?2a?b?b，a?b?(a?b)(a?b). （2）a?a?a?|a|2. （3）0∥a.

（4）设OA、OB不共线，则A、B、P三点共线??29.三角形“四心”向量形式的充要条件：

O是△ABC所在平面上一点，a、b、c分别是A、B、C的对边，则 （1）O为△ABC的重心?OA?OB?OC?0；

（2）O为△ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA；

??OP??OA??OB??????1222.

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（3）O为△ABC的外心?|OA|?|OB|?|OC|； （4）O为△ABC的内心?a?OA?b?OB?c?OC?0.

顺便提醒：△ABC的重心G把中线分成2：1，即 △ABC的角平分线定理：

B D

30.线段的定比分点公式：

C

B

E

C

G. A ABAC?BECEAGGD?21；

（AE是∠BAC的平分线）.

A 设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P是线段P1P2的分点，???1，且P1P??PP2，则

x1??x2?x??1???OP?1OP??OP.

?12y1??y21??1???y?1???特别的，（1）当P是线段P1P2的中点时，x?12(x1?x2)，y?12(y1?y2)；

11（2）△ABC的重心G坐标（(x1?x2?x3)，(y1?y2?y3)）.

3331.平移公式：

（1）点的平移公式：

?x??x?h?x?x??h???OP??OP?PP?. ??y??y?k?y?y??k图形F上的任意一点P(x,y)按向量a?PP??(h,k)平移后图形Fˊ上的对应点为

P?(x?,y?).

（2）“按向量平移”的几个结论：

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①点P(x,y)按向量a?(h,k)平移后得到点P?(x?h,y?k).

②函数y?f(x)的图象C按a?(h,k)平移后得到图象C′，则C′的函数解析式为y?k?f(x?h)，即y?f(x?h)?k.

③图象C按a?(h,k)平移后得到图象C′，若C′的函数解析式为y?f(x)，则C的解析式为y?k?f(x?h)，即y?f(x?h)?k.

④向量b?(m,n)按向量a?(h,k)平移后得到的向量仍为b?(m,n).

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