2017年上海市徐汇区中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】
1．（4分）如果2x=3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（ ）
??2????+??5??2A．= B．=3 C．= D．= ??3???????3??+??52．（4分）如果一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（ ）
125512A． B． C． D．
5121313
3．（4分）如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2各单位后所得新抛物线的表达式是y=2（x﹣1）2，那么原抛物线的表达式是（ ） A．y=2（x﹣3）2﹣2
2
B．y=2（x﹣3）2+2 C．y=2（x+1）2﹣2 D．y=2（x+1）
+2
4．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（ ）
A．DE∥BC B．∠AED=∠B C．AE：AD=AB：AC D．AE：DE=AC：BC
5．（4分）一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的距离是（ ） A．6000米 B．1000 3米
C．2000 3米
D．3000 3米
6．（4分）已知二次函数y=﹣2x2+4x﹣3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是（ ） A．x≥1
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知线段a=9，c=4，如果线段b是a、c的比例中项，那么b= ． 8．（4分）点C是线段AB延长线的点，已知????=??，????=??，那么????= ． 9．（4分）如图，AB∥CD∥EF，如果AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD= ．
→
→
→
→
→
B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≥﹣2
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10．（4分）如果两个相似三角形的对应中线比是 3：2，那么它们的周长比是 ． 11．（4分）如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么请你写出一个关于线段AP、BP、AB之间的数量关系的等式，你的结论是： ．
12．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，如果CD=4，BD=3，那么∠A的正弦值是 ．
13．（4分）正方形ABCD的边长为3，点E在边CD的延长线上，连接BE交边AD于F，如果DE=1，那么AF= ．
14．（4分）已知抛物线y=ax2﹣4ax与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是﹣2，那么a= ．
15．（4分）如图，矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果AB：BC=3：4，那么AB的长是 ．
16．（4分）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于O，如果△BOC、△ACD的面积分别是9和4，那么梯形ABCD的面积是 ．
17．（4分）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=3，CD是∠ACB的平分线，将△ABC沿直线CD翻折，点A落在点E处，那么AE的长是 ．
18．（4分）如图，在?ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂
????
足分别为P、Q，那么的值为 ．
????
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三、解答题：（本大题共7题，第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）
19．（10分）计算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+
??????45°??????30°?1
．
20．（10分）将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD的面积．
21．（10分）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分∠DCB，过点DE∥AB，分别交AC、BC于F、E，设????=??，????=??．求： （1）向量????（用向量??、??表示）； （2）tanB的值．
→
→
→
→
→
→
→
22．（10分）如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，距离小岛120海里的A处，该海轮从A处正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C北偏东45°方向的B处．
（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离（记过保留根号）；
（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据： 2=1.41， 3=1.73）
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23．（12分）如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC上，满足AE?CD=AD?CE． （1）求证：DE∥AB；
（2）如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：DF=AF．
24．（12分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E． （1）求点D的坐标；
（2）联结CD、BC，求∠DBC余切值；
（3）设点M在线段CA延长线，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．
25．（14分）如图，已知△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ
并
延
长
，
交
边
AC
于
点
P
．
设
BD=x
，
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AP=y．
（1）求y关于x的函数解析式及定义域； （2）当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；
（3）连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．
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2017年上海市徐汇区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】
1．（4分）（2017?徐汇区一模）如果2x=3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（ ）
??2????+??5??2A．= B．=3 C．= D．= ??3???????3??+??5
【分析】根据比例的性质逐项判断，判断出各式中正确的是哪个即可． 【解答】解：∵2x=3y， ??3∴=， ??2∴选项A不正确；
∵2x=3y， ??3∴=， ??2??3∴==3， ?????3?2∴选项B正确；
∵2x=3y， ??3∴=， ??2
??+??3+25∴==，
??22∴选项C不正确；
∵2x=3y， ??3∴=， ??2??33∴==， ??+??3+25
第6页（共29页）
∴∴选项D不正确． 故选：B．
【点评】此题主要考查了比例的性质和应用，要熟练掌握．
2．（4分）（2017?徐汇区一模）如果一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（ ）
125512A． B． C． D．
5121313
【分析】根据坡比=坡角的正切值，设竖直直角边为5x，水平直角边为12x，由
勾股定理求出斜边，进而可求出斜坡坡角的余弦值． 【解答】解：如图所示：
15
由题意，得：tanα=i==，
2.412
设竖直直角边为5x，水平直角边为12x，
则斜边= 25??2+144??2=13x， 则cosα=
12??12
=． 13??13
故选D．
【点评】此题主要考查坡比、坡角的关系以及勾股定理；熟记坡角的正切等于坡比是解决问题的关键．
3．（4分）（2017?徐汇区一模）如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2各单位后所得新抛物线的表达式是y=2（x﹣1）2，那么原抛物线的表达式是（ ）
A．y=2（x﹣3）2﹣2
2
B．y=2（x﹣3）2+2 C．y=2（x+1）2﹣2 D．y=2（x+1）
+2
【分析】根据图象反向平移，可得原函数图象，根据图象左加右减，上加下减，可得答案．
【解答】解：一条抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线
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的表达式为y=2（x﹣1）2，
抛物线的表达式为y=2（x﹣1）2，左移2个单位，下移2个单位得原函数解析式y=2（x+1）2﹣2， 故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了图象左加右减，上加下减的规律．
4．（4分）（2017?徐汇区一模）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（ ） A．DE∥BC B．∠AED=∠B C．AE：AD=AB：AC D．AE：DE=AC：BC 【分析】根据题意画出图形，再由相似三角形的判定定理进行解答即可． 【解答】解：如图， A、∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，故本选项错误； B、∵∠AED=∠B，∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB，故本选项错误； C、∵AE：AD=AB：AC，∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；
D、AE：DE=AC：BC不能使△ADE和△ABC相似，故本选项正确． 故选D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，属于基础题，关键是掌握相似三角形的几种判定定理．
5．（4分）（2017?徐汇区一模）一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的距离是（ ）
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A．6000米 B．1000 3米 C．2000 3米 D．3000 3米
【分析】根据题意可构造直角三角形，利用所给角的正弦函数即可求解． 【解答】解：如图所示：
由题意得，∠CAB=60°，BC=3000米， 在Rt△ABC中，∵sin∠A=
????????
，
????3000∴AC===2000 3米．
???????? 32故选C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是借助俯角构造直角三角形，并结合三角函数解直角三角形．
6．（4分）（2017?徐汇区一模）已知二次函数y=﹣2x2+4x﹣3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是（ ） A．x≥1
B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≥﹣2
【分析】把抛物线化为顶点式可求得开口方向及对称轴，再利用增减性可得到关于x的不等式，可求得答案． 【解答】解：
∵y=﹣2x2+4x﹣3=﹣2（x﹣1）2﹣1， ∴抛物线开口向下，对称轴为x=1， ∴当x≥1时，y随x的增大而减小， 故选A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
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二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）（2017?徐汇区一模）已知线段a=9，c=4，如果线段b是a、c的比例中项，那么b= 6 ．
【分析】根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2=ac．即可求解． 【解答】解：若b是a、c的比例中项， 即b2=ac．则b= ????= 9×4=6． 故答案为：6．
【点评】本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．
8．（4分）（2017?徐汇区一模）点C是线段AB延长线的点，已知????=??，????=??，那么????= ??﹣?? ．
【分析】根据向量????、????的方向相反进行解答．
【解答】解：如图，向量????、????的方向相反，且????=??，????=??， 所以????=????+????=??﹣??． 故答案是：??﹣??．
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
【点评】本题考查了平面向量，注意向量既有大小，又有方向．
9．（4分）（2017?徐汇区一模）如图，AB∥CD∥EF，如果AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD=
127 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【解答】解：∵AC=2，AE=5.5，
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∴CE=3.5， AB∥CD∥EF，
????????∴=， ????????
12∴BD=，
7
12
故答案为：．
7
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，列出比例式．
10．（4分）（2017?徐汇区一模）如果两个相似三角形的对应中线比是 3：2，那么它们的周长比是 3：2 ．
【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：∵两个相似三角形的对应中线比是 3：2， ∴它们的周长比为 3：2． 故答案为： 3：2．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比是解答此题的关键．
11．（4分）（2017?徐汇区一模）如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么请你写出一个关于线段AP、BP、AB之间的数量关系的等式，你的结论是： AP2=BP?AB ．
【分析】根据黄金分割的概念解答即可． 【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点， ∴AP2=BP?AB，
故答案为：AP2=BP?AB．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．
12．（4分）（2017?徐汇区一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，
第11页（共29页）
如果CD=4，BD=3，那么∠A的正弦值是
34 ．
【分析】求出∠A=∠BCD，根据锐角三角函数的定义求出tan∠BCD即可．
【解答】解：∵CD⊥AB， ∴∠CDB=90°， ∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°， ∴∠A=∠BCD，
????3
∴tanA=tan∠BCD==，
????4
3
故答案为：．
4
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，则sinA=
13．（4分）（2017?徐汇区一模）正方形ABCD的边长为3，点E在边CD的延长线上，连接BE交边AD于F，如果DE=1，那么AF=
94????????
，cosA=
????????
，tanA=
????????
．
．
【分析】由四边形ABCD为正方形即可得出∠A=∠ADC=90°、AB∥CD，根据平行线的性质以及邻补角即可得出∠EDF=∠A、∠ABF=∠DEF，从而得出△ABF∽△DEF，
????????
再根据相似三角形的性质即可得出==3，结合AF+DF=AD=3即可求出AF的
????????
长度，此题得解．
【解答】解：依照题意画出图形，如图所示． ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠A=∠ADC=90°，AB∥CD，
∴∠EDF=180°﹣∠ADC=90°=∠A，∠ABF=∠DEF， ∴△ABF∽△DEF，
????????
∴==3， ????????
第12页（共29页）
∵AF+DF=AD=3，
39∴AF=AD=．
44
9
故答案为：．
4
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、平行线的性质以及邻补角，通过两组相等的角证出△ABF∽△DEF是解题的关键．
14．（4分）（2017?徐汇区一模）已知抛物线y=ax2﹣4ax与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是﹣2，那么a=
12 ．
【分析】首先利用配方法确定函数的顶点坐标，根据顶点C的纵坐标是﹣2，即可列方程求得a的值．
【解答】解：y=ax2﹣4ax=a（x2﹣4x+4）﹣4a=a（x﹣2）2﹣4a， 则顶点坐标是（2，﹣4a）， 则﹣4a=﹣2， 解得a=．
2
1
故答案是：．
2
1
【点评】本题考查了配方法确定函数的顶点坐标，正确进行配方是关键．
15．（4分）（2017?徐汇区一模）如图，矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果AB：BC=3：4，那么AB
73的长是 ．
4第13页（共29页）
【分析】作辅助线，构建相似三角形，证明△ABE∽△BCF，列比例式求BE的长，利用勾股定理可以求AB的长．
【解答】解：过A作AE⊥BM于E，过C作CF⊥BM于F，则CF=1，AE=2， ∴∠AEB=∠BFC=90°， ∴∠ABE+∠BAE=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， ∴∠ABE+∠CBE=90°， ∴∠BAE=∠CBE， ∴△ABE∽△BCF，
????????∴=， ????????3????∴=， 41
3∴BE=，
4
32
在Rt△ABE中，AB= 22+()=
4 73故答案为：．
4
73， 4
【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、两平行线的距离以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
16．（4分）（2017?徐汇区一模）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于O，
第14页（共29页）
如果△BOC、△ACD的面积分别是9和4，那么梯形ABCD的面积是 16 ． 【分析】如图，设△AOD的面积为x，则△ODC的面积为4﹣x．由AD∥BC，推
??△??????????2??△??????????????
出△AOD∽△COB，可得=（），因为=，得到=（）2，
??△????????????△??????????94???解方程即可．
【解答】解：如图，设△AOD的面积为x，则△ODC的面积为4﹣x．
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
??△??????????2∴=（）， ??△????????????△??????????∵=， ??△??????????????∴=（）2， 94???解得x=1或16（舍弃）， ∵S△ABD=S△ADC=1， ∴S△AOB=S△DOC=3，
∴梯形ABCD的面积=1+3+3+9=16， 故答案为16．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、梯形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
17．（4分）（2017?徐汇区一模）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=3，CD是∠ACB的平分线，将△ABC沿直线CD翻折，点A落在点E处，那么AE的长是 2 5 ．
【分析】由勾股定理求AB=4，再根据旋转的性持和角平分线可知：点A的对应点E在直线CB上，BE=2，利用勾股定理可求AE的长． 【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线，
第15页（共29页）
∴将△ABC沿直线CD翻折，点A的对应点E在直线CB上， ∵∠ABC=90°，AC=5，BC=3， ∴AB=4，
由旋转得：EC=AC=5， ∴BE=5﹣3=2，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE= ????2+????2= 42+22=2 5， 故答案为：2 5．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理，明确折叠前后的两个角相等，两边相等；在图形中确定直角三角形，如果知道了一个直角三角形的两条边，可以利用勾股定理求第三边．
18．（4分）（2017?徐汇区一模）如图，在?ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么
????????
的值为
2 3913 ．
【分析】如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、
1
Q，作DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．根据?AP?BE=?DF?AQ，
22
1
利用勾股定理求出BE、DF即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．
第16页（共29页）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∠BAD=∠BCD=120°，
1
∴S△ABE=S△ADF=S平行四边形ABCD，
2
在Rt△CDH中，∵∠H=90°，CD=AB=2a，∠DCH=60°， ∴CH=a，DH= 3a，
在Rt△DFH中，DF= ????2+????2= (3??)+( 3??)=2 3a， 在Rt△ECG中，∵CE=a，
3∴CG=a，GE=a，
22
3722在Rt△BEG中，BE= ????2+????2= (2??)+(2??)= 13a，
22
1
11
∴?AP?BE=?DF?AQ， 22????2 32 39∴==， ???? 1313
2 39故答案为．
13
【点评】本题考查平行四边形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的
关键是利用面积法求线段的长，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题：（本大题共7题，第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）
19．（10分）（2017?徐汇区一模）计算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+
??????45°??????30°?1
．
【分析】首先根据特殊角的三角函数进行代入，然后再根据绝对值的性质计算绝对值，然后合并同类二次根式即可．
1 3【解答】解：原式=2×﹣| 3?1|+3，
2?1
2第17页（共29页）
= 3? 3+1+2 3?2，
=﹣2 3﹣3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．
20．（10分）（2017?徐汇区一模）将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD的面积．
【分析】（1）首先求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式，利用配方法求得D的坐标，令y=0求得C的横坐标，令y=0，解方程求得B的横坐标；
（2）过D作DA⊥y轴于点A，然后根据S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC求解． 【解答】解：（1）抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是y=x2﹣4x+4﹣9，即y=x2﹣4x﹣5． y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9， 则D的坐标是（2，﹣9）．
在y=x2﹣4x﹣5中令x=0，则y=﹣5， 则C的坐标是（0，﹣5）， 令y=0，则x2﹣4x﹣5=0， 解得x=﹣1或5， 则B的坐标是（5，0）； （2）过D作DA⊥y轴于点A．
111
则S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC=（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．
222
【点评】本题考查了配方法确定二次函数的顶点坐标，以及函数与x轴、y轴的
第18页（共29页）
交点的求法，正确求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是关键．
21．（10分）（2017?徐汇区一模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分∠DCB，过点DE∥AB，分别交AC、BC于F、E，设????=??，????=??．求： （1）向量????（用向量??、??表示）； （2）tanB的值．
→
→
→
→
→
→
→
【分析】（1）首先证明四边形ABED是平行四边形，推出DE=AB，推出????=????=??，
1→→→1→????=????=??，????=??+??．
222
→
→→
→
1
→
????????1
==，求出BC，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，????????2
????
根据AC= ????2?????2= 62?42=2 5，由tanB=，即可解决问题．
????
（2）由△DFC∽△BAC，推出
【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB， ∴AC平分∠DCB， ∴∠DCA=∠ACB， ∴∠DAC=∠DCA， ∴AD=DC，
∵DE∥AB，AB⊥AC， ∴DE⊥AC， ∴AF=CF， ∴BE=CE，
∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
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∴DE=AB，
1→1→
∴????=????=??，????=????=??，
22
→→1→∴????=??+??．
2
→
→
→
→
（2）∵∠DCF=∠ACB，∠DFC=∠BAC=90°， ∴△DFC∽△BAC，
????????1∴==， ????????2
∵CD=AD=3，∴BC=6， 在Rt△BAC中，∠BAC=90°， ∴AC= ????2?????2= 62?42=2 5，
????2 5 5∴tanB===．
????42
【点评】本题考查平面向量、梯形、解直角三角形、平行四边形的判定和性质、
勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于基础题．
22．（10分）（2017?徐汇区一模）如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，距离小岛120海里的A处，该海轮从A处正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C北偏东45°方向的B处．
（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离（记过保留根号）；
（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据： 2=1.41， 3=1.73）
【分析】（1）首先过点C作CD⊥AB于D，构建直角△ACD，通过解该直角三角形得到CD的长度即可；
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当PB=BC时，②当PC=BC=2时，③当PC=PB时，分别求得BD的长即可； （3）先根据已知条件判定四边形BCED是等腰梯形，判定△BDQ∽△QEC，得出????????????????3??3???22
=，即2DQ=x，再根据DE∥BC，得出=，即=，求得x的值????????????????2 23即可．
【解答】解：（1）如图所示，过点D作DF∥AC，交BP于F，则 根据QE=2DQ，可得 ????????1==， ????????2又∵DE∥BC，
????????
∴==1， ????????
∴EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF=
3??????2
，
∵DF∥AC， ????????3????????∴=，即=， ????????2??39?3??∴y=，定义域为：0＜x＜3；
2??+3
（2）∵DE∥BC， ∴△PEQ∽△PBC，
∴当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形， ①当PB=BC时，△ABC∽△BPC， ∴BC2=CP?AC，即4=3（3﹣y）， 解得y=，
39?3??5∴=， 2??+33
12
解得x==BD；
19
②当PC=BC=2时，AP=y=1， ∴=1， 2??+3
6
解得x==BD；
5
③当PC=PB时，点P与点A重合，不合题意；
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5
9?3??
（3）∵DE∥BC， ∴∠BDQ+∠CBD=180°， 又∵∠CQB和∠CBD互补， ∴∠CQB+∠CBD=180°， ∴∠CQB=∠BDQ， ∵BD=CE，
∴四边形BCED是等腰梯形， ∴∠BDE=∠CED， ∴∠CQB=∠CED，
又∵∠DQB+∠CQB=∠ECQ+∠CED， ∴∠DQB=∠ECQ， ∴△BDQ∽△QEC， ????????
∴=，即2DQ2=x2， ????????
??3??∴DQ=，DE=，
2 2∵DE∥BC，
????????3??3???∴=，即=， ????????2 23
54 2?24
解得x=．
73
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，运用
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相似三角形的对应边成比例进行求解．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
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参与本试卷答题和审题的老师有：放飞梦想；wd1899；nhx600；ZJX；zhjh；Ldt；HJJ；王学峰；CJX；知足长乐；zjx111；曹先生；tcm123；弯弯的小河；gbl210；szl（排名不分先后） 菁优网
2017年3月14日
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