2017-2018年北京市房山区高三数学文科一模试题及答案

房山区2018年高考第一次模拟测试试卷

数学（文）

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合M?{?1,0,1,2}，N?{y|y?2x?1,x?M}，则集合M?N等于

（A）{?1,1}

（B）{1,2}

（C）{?1,1,3,5}

（D）{?1,0,1,2}

?x?y?3?（2）已知x，y满足约束条件?y?x，那么x?3y的最大值是

?x?1?（A）4 （B）6 （C）7 （D）8 （3）下列函数中，与函数y?x3的单调性和奇偶性相同的函数是

（A）y?x （B）y?lnx （C）y?tanx （D）y?ex?e?x

（4）阶乘(factorial)是基斯顿·卡曼于1808年发明的运算符号，n的阶乘n??1?2?3?????n.例如：

2?????，????????.执行如图所示的程序框图．则输出n?的值是

（A）2 （B）6 （C）24 （D）120

（5）圆x2?y2?4被直线y??3x?b截得的劣弧所对的圆心角的大小为120，则b的值

（A） ?2 （B）?23 （C）2 （D）3

?

开始 输入 n,k n=1, k=1 k≤4 是 否 输出n! 结束 k =k +1 n=n +1

（6）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为

（A）8?42

（B）2?22?43 （C）2?63 （D）2?42?23

2（7）“a?2”是“函数f(x)?logax(a?0,且a?1)的图象与函数f(x)?x?4x?4的图象的交点个

数为2个的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（8）若五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为2.第二位同学首次报出的数也为2，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第27个数被报出时，五位同学拍手的总次数为

（A）7

（B）6

（C）5

（D）4

第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

y2?1的渐近线的距离为 . （9）抛物线x?4y的焦点到双曲线x?322（10）如果复数?2?i??1?mi?（其中i是虚数单位）是实数，则实数m? .

x（11）已知命题p:?x?(0,??)，2?1，则?p为 .

（12）已知|a|?1，|b|?2，且a与b的夹角为

?，则|a?2b|? . 3（13）已知函数f(x)同时满足以下条件：?周期为?；?值域为[0,1]；?f(x)?f(?x)?0． 试写出一个满足条件的函数解析式f(x)? .

?x?a,?2?x?0,?（14）设函数f?x????1?x则

??2?,0?x?1.???① f??1??? ； ?2?② 若f?x?有最小值，且无最大值，则实数a的取值范围是 . 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分）

已知数列?an?是等差数列，a3?a8?37，a7?23.

（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；

（Ⅱ）设bn?an?2n，求数列?bn?的前n项和Sn． （16）（本小题13分）

在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且cos2B?cosB?0． （Ⅰ）求角B的值； （Ⅱ）若b?

（17）（本小题14分）

2017年冬，北京雾霾天数明显减少．据环保局统计三个月的空气质量，达到优良的天数超过70天，重度污染的天数仅有4天．主要原因是政府对治理雾霾采取了有效措施，如①减少机动车尾气排放；②实施了煤改电或煤改气工程；③关停了大量的排污企业；④部分企业季节性的停产．为了解农村地区实施煤改气工程后天燃气使用情况，从某乡镇随机抽取100户，进行月均用气量调查，得到的用气量数据（单位：千立方米）均在区间(0,5]内，将数据按区间列表如下：

分组 频数 频率

14 0.14 (0,1]

(1,2] x m

55 0.55 (2,3]

4 0.04 (3,4]

2 0.02 (4,5]

1 100 合计

（Ⅰ）求表中x，m的值；

（Ⅱ）若同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该乡镇每户月平均用气量；

（Ⅲ）从用气量高于3千立方米的用户中任选2户，进行燃气使用的满意度调查，求这2户用气量处于不同区间的概率.

7，a?c?5，求△ABC的面积．

（18）（本小题14分）

如图，四棱锥P?ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，PD?CD?2，

1//AD，CD?AD. PB=3，BC?2（Ⅰ）若E为PD中点，求证：CE//平面PAB； （Ⅱ）求证：CD?平面PAD； （Ⅲ）求四棱锥P?ABCD的体积.

（19）（本小题13分）

A P

E D

B C

x2y22 已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点?0,?1?，离心率e?.

ab2（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点F?1,0?作斜率为k?k?0?的直线l，l与椭圆C交于M，N两点，若线段MN的垂直平分线交x轴于点P，求证：|MN|?22|PF|．

（20）（本小题13分）

已知函数f(x)?(2x?1)lnx?（Ⅰ）求l的方程； （Ⅱ）求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）设g(x)?f'(x)?x?a，若关于x的不等式g(x)?0有解，求实数a的取值范围．

12x?2x，l为曲线C:y?f(x)在点(1,f(1))处的切线． 2

房山区2018年高三一模考试试卷

数学（文科） 参考答案

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

题号 答案 (1) A (2) C (3) D (4) D (5) A (6) D (7) A (8) B 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）（0，1） （10）

1x (11)?x?(0,??),2?1 (12)13 252（1，] ,

22 (13)y?sinx或 y?cosx等 (14)

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分）

（Ⅰ）由等差数列 ?an? 中 a3?a8?37，a7?23. 得a1?5 ，所以 d?32?5?3． 10?1所以an?5?3(n?1)?3n?2 ． ????6分 （Ⅱ）由 （Ⅰ） 知，

n(5?3n?2)2(1?2n)n(7?3n)Sn????2n?1?2 ????13分

21?22（16）（本小题13分）

2（Ⅰ）解：由已知得 2cosB?cosB?1?0，

即 (2cosB?1)(cosB?1)?0．

解得 cosB?1，或cosB??1． 2因为 0?B?π，故舍去cosB??1． 所以 B?π． ????6分 3222（Ⅱ）解：由余弦定理得 b?a?c?2accosB．

将B?π，b?7代入上式，整理得(a?c)2?3ac?7． 3因为 a?c?5，

所以 ac?6．

所以 △ABC的面积S?

133． acsinB?22

????13分

(17) 解：（Ⅰ）x=100-75=25，m=25=0.25 100（Ⅱ）

0.5?14+1.5?25+2.5?55+3.5?4+4.5?2?2.05

100（Ⅲ）设（3,4]组内数据为a,b,c,d（4,5]组内数据为：e,f

从月均用气量高于3千立方米的中随机抽取2户的基本事件空间为

Ω={（a,b）,(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)} 共有15种情况,

设随机抽取2户不在同一组为事件A

则A中共有：(a,e),(a,f),(b,e),(b,f),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f)共有8种情况 P(A)=

(18) 证明：（I）法1：取PA的中点F，连接EF，BF 在 △APD中，E F分别为PA，PD的中点，

F A 8 ????13分 15P E

D 1AD 21//AD?BC?2

//?EF?B //BC ?EF?C

?四边形FECB为平行四边形

?FB//CE

?CE?面PAB,BF?面PAB

?CE//平面PAB ????5分

法2：作AD的中点O，连接EO，CO

//?在△APD中，EO?1//AD?BC?2

1AP 2//AO ?BC?P F A E

D O B ?四边形ABCO为平行四边形 ?AB//CO

?CO?EO?O ?面EOC//面PAB ?CE?面EOC

?CE//面PAB

（Ⅱ）取AD的中点O，连接PO，OB

C

1?BC?//ADO为AD的中点2， ?BC?//ODP

E

A D O B ?四边形OBCD为平行四边形?BO?//CD

?CD?OD?BO?OD

由题BO?2,PO?1,PB?3

C

?PB2?PO2?OB2?PO?OB?PO?OD?O

?BO?面PAD

?CD?面PAD ????5分

（Ⅲ）在等腰直角三角形PAD中，O为AD的中点 ?PO?AD

P-ABCD的高 又AD?OB?O?PO?面ABCD?PO为四棱锥1112 ????4分 ?V?PO?S梯形ABCD??(1?2)?2??3322

（19）（Ⅰ）根据题意

?b?1??c2?a?2? ?e??解得：? a2??b?1??a2?b2?c2?x2?y2?1所以椭圆C的方程为 ????5分 2

（Ⅱ）设直线l的方程为y?k(x?1)

?x2由??2?y2?1 ??y?k(x?1)得 (2k2?1)x2?4k2x?2k2?2?0

由??0得k?R且k?0

设M(x1,y1),N(x2,y2)，线段MN中点Q(x0,y0) 4k22k2那么x?21?x2?2k2?1，x1x2?2k2?1

xx1?x22k2?0?2?2k2?1,y0?k(x0?1)?k2k2?1 设P(p,0)，根据题意PQ?MN

?k所以y02k2?11k2x? 0?p2k2??，得p?2k2?12k2?1?pkk2k2所以|PF|?1?2k2?1??12k2?1

|MN|?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2] =(1?k2)[(4k224(2k2?2)22(1?k2)2k2?1)?2k2?1]?2k2?1|MN|?22|PF|

(20)解：（Ⅰ）f'(x)?2lnx?1x?x. 所以f(1)??552，切点为(1,?2).

f'(1)?0

所以L的方程为y??52 （Ⅱ）定义域为?xx?0?

f'(x)?2lnx?1x?x ????14分………………… 5分

设g(x)?2lnx?1?x xx?1??'g(x)??x22?0恒成立

所以g(x)在?0,???上是减函数，且g(1)?0 则当x??0,1?时g(x)?0，即f'(x)?0 则当x??1,???时g(x)?0，即f'(x)?0

所以f(x)的单调递增区间为?0,1?，f(x)的单调递减区间?1,???.

………………… 9分

（Ⅲ）因为g(x)?2lnx? g(x)?'1?a x212x?1?2?2 xxx1?2??1?,???时g'(x)?0 ?2?121?2?a?2?2ln2?a 2 当x??0,?时g'(x)?0 ，当x???? 所以g(x)在?0,???上的最小值为g()=2ln 所以若关于x的不等式g(x)?0有解，则2?2ln2?a?0，即a?2?2ln2

………………… 13分

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