全科网 www.qk-w.com l A y O P B l x A y O x （备用图）
【关键词】直线与圆的位置关系，相切的判定，正三角形的性质，相似的性质 【答案】 l A y O P B P2 第（1）题
第（2）题 l x A C E y O P1 D B x
解：（1）⊙P与x轴相切．
0?，与y轴交于B?0，-8?， 直线y??2x?8与x轴交于A??4，?OA?4，OB?8，
?PB?PA?8?k． 由题意，OP??k，22?k??3， 在Rt△AOP中，k?4??8?k?，2?OP等于⊙P的半径，?⊙P与x轴相切．
（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD．
当圆心P在线段OB上时，作PE⊥CD于E．
?△PCD为正三角形，?DE?12CD?32，PD?3，?PE?332．
??AOB??PEB?90°，?ABO??PBE，?△AOB∽△PEB，
33?AOAB?PEPB，即445?3152，?PB?，
PB2全科网 www.qk-w.com 全科网 www.qk-w.com ?PO?BO?BP?8?3152?315?，?P?0，?8?，
??2???k?3152?8．
当圆心P在线段OB延长线上时，同理可得P?0，-???3152??8?， ???k??3152?8，
? 当k?3152?8或k??3152?8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点
的三角形是正三角形．
20．(2009年湖州)若P为△ABC所在平面上一点，且?APB??BPC??CPA?120°，则点P叫做△ABC的费马点．
（1）若点P为锐角△ABC的费马点，且?ABC?60°，PA?3，PC?4，则PB的值为________；
（2）如图，在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连结BB′． 求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′＝PA?PB?PC． A B?B
C
【关键词】阅读理解题，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，综合题 【答案】（1）23． （2）
A E P B
证明：在BB?上取点P，使?BPC?120°，
连结AP，再在PB?上截取PE?PC，连结CE． ??BPC?120°， ??EPC?60°，
?△PCE为正三角形，
C B?
全科网 www.qk-w.com 全科网 www.qk-w.com ?PC?CE，?PCE?60°，?CEB?＝120°， ?△ACB?为正三角形， ?AC?B?C，?ACB?＝60°，
??PCA??ACE??ACE??ECB?＝60°， ??PCA??ECB?′， ?△ACP≌△B?CE．
??APC??B?CE?120°，PA?EB?， ??APB??APC??BPC?120°，
?P为△ABC的费马点，
?BB?过△ABC的费马点P，且BB?＝EB?+PB?PE?PA?PB?PC．
21．(2009年温州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．0为BC边上一点，以0为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连结DE． ’ (1)当BD＝3时，求线段DE的长；
(2)过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F．求证：△FAE是等腰三角形．
【关键词】直角三角形、圆的性质，相似的判定，切线的性质，等腰三角形的判定 【答案】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5， ∵DB为直径，
∴∠DEB＝∠C＝90°，
又∵∠B＝∠B ，∴△DBE∽△ABC
∴
DEAC?95BDAB 即
DE3?35
∴DE＝。
（2）解法一：连结OE，
∵EF为半圆O的切线， ∴∠DEO+∠DEF＝90°， ∵∠AEF+∠DEF＝90°， ∴∠AEF＝∠DEO， ∵△DBE∽△ABC， ∴∠A＝∠EDB，
又∵∠EDO＝∠DEO， ∴∠AEF＝∠A，
∴△FAE是等腰三角形。 解法二：连结OE，
∵EF为半圆O的切线， ∴∠AEF+∠OEB＝90°，
全科网 www.qk-w.com 全科网 www.qk-w.com ∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°， ∵OE＝OB
∴∠OEB＝∠B， ∴∠AEF＝∠A
∴△FAE是等腰三角形。
22．（2009临沂）如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC＝1km，B村到公路l的距离BD＝2km，B村在A村的南偏东45?方向上． （1）求出A，B两村之间的距离；
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．
北
东
D
C
l
A B
【关键词】等腰直角三角形的性质，勾股定理，尺规作图
【答案】解：（1）方法一：设AB与CD的交点为O，根据题意可得?A??B?45°． ?△ACO和△BDO都是等腰直角三角形．
?AO?2，BO?22．
2?22?32（km）．
?A，B两村的距离为AB?AO?BO?方法二：过点B作直线l的平行线交AC的延长线于E． 易证四边形CDBE是矩形， ?CE?BD?2．
在Rt△AEB中，由?A?45°，可得BE?EA?3．
?AB?3?3?32（km）
22?A，B两村的距离为32km．
（2）作图正确，痕迹清晰．
全科网 www.qk-w.com 全科网 www.qk-w.com A C
O P
N D l
M
B
作法：①分别以点A，B为圆心，以大于半径作弧，两弧交于两点M，N，
12AB的长为
作直线MN；
②直线MN交l于点P，点P即为所求．
1．（2009年中山）如图所示，△ABC是等边三角形， D点是AC的中点，延长BC到E，使CE?CD，
（1）用尺规作图的方法，过D点作DM?BE，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：BM?EM．
【关键词】等腰三角形，等边三角形 【答案】解：（1）作图见下图，
A D M B
C
E
（2）?△ABC是等边三角形，D是AC的中点， ?BD平分?ABC（三线合一）， ??ABC?2?DBE． ?CE?CD，
??CED??CDE．
又??ACB??CED??CDE， ??ACB?2?E． 又??ABC??ACB， ?2?DBC?2?E，
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全科网 www.qk-w.com 17．等腰三角形与勾股定理（解答题）
三、解答题
1．（2009年崇左）如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD//BC，AB＝DC,AD＝2,BC＝4，延长BC到E，使CE＝AD． （1）证明：ΔBAD≌ΔDCE；
（2）如果AC⊥BD，求等腰梯形ABCD的高DF的值． A D B
【关键词】在等腰梯形性质进行转化。 【答案】
??CDA??DCE． （1）证明：?AD∥BC，又?四边形ABCD是等腰梯形，??BAD??CDA， ??BAD??DCE． ?AB?DC，AD?CE， ?△BAD≌△DCE．
?四边形ACED是平行四边形， （2）?AD?CE，AD∥BC，?AC∥DE． ?AC?BD，?DE?BD．
由（1）可知，△BAD≌△DCE，?DE?BD． 所以，△BDE是等腰直角三角形，即?E?45°， ?DF?FE?FC?CE．
?四边形ABCD是等腰梯形，而AD?2，BC?4， ?FC?1． ?CE?AD?2 ?DF?3．
．（2009年浙江省绍兴市）如图，在△ABC中，AB?AC，?BAC?40°，分别以AB，AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使?BAD??CAE?90°． （1）求?DBC的度数；
（2）求证：BD?CE．
F C
（第24题）
E
全科网 www.qk-w.com 全科网 www.qk-w.com 【关键词】等腰三角形的性质
【答案】（1）ΔABD是等腰直角三角形，?BAD?90°，所以∠ABD＝45°,AB＝AC,所以∠ABC＝70°,所以∠CBD＝70°+45°＝115°．
(2)AB＝AC,?BAD??CAE?90°,AD＝AE,所以ΔBAD≌ΔCAE,所以BD＝CE． 2．（2009年宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(?8，0)，直线BC经过点B(?8，6)，C(0，6)，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转?度得到四边形OA?B?C?，此时直线OA?、直线B?C?分别与直线BC相交于点P、Q． （1）四边形OABC的形状是 ， 当??90°时，
BPBQ的值是 ；
（2）①如图2，当四边形OA?B?C?的顶点B?落在y轴正半轴时，求
BPBQ的值；
②如图3，当四边形OA?B?C?的顶点B?落在直线BC上时，求△OPB?的面积．
（3）在四边形OABC旋转过程中，当0??≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使
BP?12BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
y B? y Q C? y A? ? Q） B（B A? P C B C P B C A O （图2）
x A
O （图3）
C? x A O （备用图）
x
【关键词】勾股定理
【答案】解：（1）矩形（长方形）；
BPBQ?47．
（2）①??POC??B?OA?，?PCO??OA?B??90°， ?△COP∽△A?OB?．
?CPA?B??92OCOA?，即
CP6?68，
72?CP?，BP?BC?CP?．
同理△B?CQ∽△B?C?O，
全科网 www.qk-w.com 全科网 www.qk-w.com ?CQC?Q?B?CB?C?，即
CQ6?10?68，
?CQ?3，BQ?BC?CQ?11．
?BPBQ?722．
②在△OCP和△B?A?P中，
??OPC??B?PA?，? ??OCP??A??90°，?OC?B?A?，??△OCP≌△B?A?P(AAS)．
?OP?B?P．
设B?P?x，
在Rt△OCP中， (8?x)?6?x，解得x??S△OPB??12?254?6?754222254．
．
12BQ．
（3）存在这样的点P和点Q，使BP???32点P的坐标是P1??9???7?6，6?，P2??，6?．
4???对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求． 过点Q画QH⊥OA?于H，连结OQ，则QH?OC??OC，
?S△POQ?12PQ?OC，S△POQ?12OP?QH，
?PQ?OP．
设BP?x，
?BP?12BQ，
?BQ?2x，
① 如图1，当点P在点B左侧时，
OP?PQ?BQ?BP?3x，
在Rt△PCO中，(8?x)?6?(3x)，
222全科网 www.qk-w.com 全科网 www.qk-w.com y B? y B? P B A? Q C H O 32C? B A? P H O C Q C? A
x 32A x 解得x1?1?6，x2?1?326（不符实际，舍去）．
?PC?BC?BP?9?6，
3??P1??9?2??6，6?．
?②如图2，当点P在点B右侧时，
?OP?PQ?BQ?BP?x，PC?8?x．
在Rt△PCO中，(8?x)?6?x，解得x??PC?BC?BP?8??7??P2??，6?．
?4???32254?74222254．
，
综上可知，存在点P1??9?1?7??BQ． 6?，使BP?6，6?，P2??，24???3．(2009年义乌)如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD?BC于点D，
以AD为一边向右作正三角形ADE。 （1）求?ABC的面积S；
（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明。 【关键词】正三角形 【答案】
解：（1）在正△ABC中，AD?4?121232?23，
?S?BC?AD??4?23?43．
（2）AC、DE的位置关系：AC⊥DE．
在△CDF中，??CDE?90°??ADE?30°，
??CFD?180°??C??CDE?180°?60°?30°?90°， ?AC⊥DE．
4．（2009恩施市）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著
全科网 www.qk-w.com 全科网 www.qk-w.com 名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路X同侧，
AB?50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1?PA?PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A?，连接BA?交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2?PA?PB．
（1）求S1、S2，并比较它们的大小； （2）请你说明S2?PA?PB的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
Y B A P
图（1）
X P 图（2） B A A? B Q A X O P 图（3）
X
【关键词】勾股定理、对称、设计方案 【答案】
解:⑴图10（1）中过B作BC⊥AP,垂足为C,则PC＝40,又AP＝10,
∴AC＝30
在Rt△ABC 中，AB＝50 AC＝30 ∴BC＝40
∴ BP＝CPS1＝402?BC2?402
2?10
⑵图10（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C＝50， 又BC＝40 ∴BA'＝402?502?1041
由轴对称知：PA＝PA' ∴S2＝BA'＝10∴S1﹥S2
(2)如 图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA＝MA' ∴MB+MA＝MB+MA'﹥A'B ∴S2＝BA'为最小
（3）过A作关于X轴的对称点A', 过B作关于Y轴的对称点B'， 连接A'B',交X轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q即为所求
41
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全科网 www.qk-w.com 过A'、 B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G, A'B'＝1002?502?505
∴所求四边形的周长为50?505
YBB'QPAX
A'以下是湖北孔小朋的分类：
5．（2009年甘肃庆阳）（8分）如图14，在平面直角坐标系中，等腰Rt△OAB斜边OB在y轴上，且OB＝4．
（1）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的三角形；
（2）求线段OB在上述旋转过程中所扫过部分图形的面积（即旋转前后OB与点B轨迹所围成的封闭图形的面积）．
图14
【关键词】平面直角坐标系；旋转 【答案】本小题满分8分
解：（1）画图正确（如图）；
（2）所扫过部分图形是扇形，它的面积是：
90360π?4?4π．
2
6．（2009年河南）如图所示，∠BAC＝∠ABD,AC＝BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系,并给出证明．
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【关键词】等腰三角形的性质与判定 【答案】OE⊥AB． 证明：在△BAC和△ABD中，
AC＝BD， ∠BAC＝∠ABD， AB＝BA．
∴△BAC≌△ABD．
∴∠OBA＝∠OAB,
∴OA＝OB．
又∵AE＝BE, ∴OE⊥AB．
7．（2009泰安）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD。
（1） 求证：BE＝AD；
（2） 求证：AC是线段ED的垂直平分线； （3） △DBC是等腰三角形吗？并说明理由。
（4）
【关键词】直角梯形、垂直平分线、等腰三角形 【答案】证明：（1）∵∠ABC＝90°，BD⊥EC， ∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余， ∴∠1＝∠2
∵∠ABC＝∠DAB＝90°，AB＝AC ∴△BAD≌△CBE ∴AD＝BE
（2）∵E是AB中点， ∴EB＝EA
由（1）AD＝BE得：AE＝AD ∵AD∥BC
∴∠7＝∠ACB＝45° ∵∠6＝45° ∴∠6＝∠7
全科网 www.qk-w.com 全科网 www.qk-w.com 由等腰三角形的性质，得：EM＝MD，AM⊥DE。 即，AC是线段ED的垂直平分线。
（3）△DBC是等腰三角（CD＝BD） 理由如下：
由（2）得：CD＝CE 由（1）得：CE＝BD ∴CD＝BD
∴△DBC是等腰三角形。
8．（2009年新疆）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a，b，斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． （1）画出拼成的这个图形的示意图． （2）证明勾股定理．
c
b
b
c
c
a c
b
a
c
b
c
a
a
【关键词】勾股定理的验证 【答案】方法一解：（1）如图
a
c c
c
a
b
a
c
b
b
a
b
c b
a
全科网 www.qk-w.com 全科网 www.qk-w.com （2）证明：?大正方形的面积表示为(a?b),大正方形的面积也可表示为
c?4?2212ab,?(a?b)?c?4?2212ab，a?b?2ab?c?2ab，?a?b?c．即
222222直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 方法二解：（1）如图
（2）证明：?大正方形的面积表示为：c2，又可以表示为：
12ab?4?(b?a)2222,
?c?212ab?4?(b?a)2，
c?2ab?b?2ab?a222，
?c?a?b．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
9．(2009年牡丹江市)有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．
【关键词】勾股定理的应用
【答案】在Rt△ABC中，?ACB?90°，AC?8，BC?6由勾股定理有：AB?10，扩充部分为Rt△ACD，扩充成等腰△ABD，应分以下三种情况：①如图1，当AB?AD?10时，可求CD?CB?6,得△ABD的周长为32m．②如图2，当AB?BD?10时，可求
AD?45,得△ABD的周长为20?45m．CD?4,由勾股定理得：③如图3，当AB为
??底时，设AD?BD?x，则CD?x?6，由勾股定理得：x?A A
253,得△ABD的周长为
A 803m．
D
B C 图1
D
C 图2
B D
C 图3
B
10．（2009白银市）如图13，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，
D为AB边上一点，求证：
222（1）△ACE≌△BCD；（2）AD?DB?DE．
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【关键词】全等三角形的判定、勾股定理
【答案】27．证明:（1） ∵ ?ACB??ECD，
∴ ?ACD??BCD??ACD??ACE． 即 ?BCD??ACE
∵ BC?AC,DC?EC，
∴ △ACE≌△BCD
（2）∵ ?ACB是等腰直角三角形， ∴ ?B??BAC?45?．
∵ △ACE≌△BCD， ∴ ?B??CAE?45?． ∴ ?DAE??CAE??BAC?45??45??90?． ∴ AD?AE?DE． 由（1）知AE＝DB，
11．（2009年衡阳市）如图，△ABC中，AB＝AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC和外角的平分线，BE⊥AE． （1）求证：DA⊥AE；
（2）试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论． 【关键词】等腰三角形、矩形
B D C
【答案】解：（1）证明：
AD平分?BAC??BAD＝AE平分?BAF??BAE＝ ?BAC??BAF?180???BAD??BAE＝121212?BAC?????????12?180??90?222E
A F
?BAF(?BAC??BAF)?
??DAE?90??DA?AE（2）AB＝DE，理由是：
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全科网 www.qk-w.com ????AD?BC??ADB?90??AD平分?BAC??? ??四边形AEBD是矩形? BE?AE??AEB?90?? ?DAE?90???AB?AC?AB?DE
12．（山东省临沂市）
如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC＝1km，B村到公路l的距离BD＝2km，B村在A村的南偏东45方向上．
（1）求出A，B两村之间的距离；
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．
北 东
D C l ?A B
解：（1）方法一：设AB与CD的交点为O，根据题意可得?A??B?45°． ?△ACO和△BDO都是等腰直角三角形．
?AO?2，BO?22．
?A，B两村的距离为AB?AO?BO?2?22?32（km）．
方法二：过点B作直线l的平行线交AC的延长线于E． 易证四边形CDBE是矩形， ?CE?BD?2．
在Rt△AEB中，由?A?45°，可得BE?EA?3．
?AB?3?3?32（km）
22?A，B两村的距离为32km．
全科网 www.qk-w.com 全科网 www.qk-w.com A C
O P
N D l
M
B
（2）作图正确，痕迹清晰．
作法：①分别以点A，B为圆心，以大于半径作弧，两弧交于两点M，N，
作直线MN；
②直线MN交l于点P，点P即为所求． （7分
13．（四川省泸州市）在某段限速公路BC上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米／时 (即
50312AB的长为
米／秒)，并在离该公路100米处设置了一个监测点
A．在如图8所示的直角坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在A的北偏西60°方向上，点C在A的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y轴上，AO为其中的
一段．
(1)求点B和点C的坐标；
(2)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速?(参考数据：3?1.7)
(3)若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?
解：在RtΔAOB中，OA＝100,∠BAO＝60° 所以OB＝OA·tan∠BAO＝1003． RtΔAOC中,∠CAO＝45° 所以OC＝OA＝100,
全科网 www.qk-w.com 全科网 www.qk-w.com 所以B(-1003,0),C（100，0）
1003?10015（2）BC＝BO+CO＝1003+100,?503?18
18>,
所以这辆车超速了。
（3）高大货车行驶到某一时刻行驶了x米，则此时小汽四行驶 了2x米，且两车的距离为
y?(100?x)?(100?2x)22＝5(x?60)2?2000
当x＝60时，y有最小值是2000?205米， 答：两四相距的最近距离为205米．
14．（2009年重庆）作图，请你在下图中作出一个以线段AB为一边的等边△ABC．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论） A
19题图
B
已知： 求作：
【关键词】等边三角形, 尺规作图 【答案】
解：已知：线段AB． 求作：等边△ABC．
作图如下：（注：每段弧各1分，连接线段AC、BC各1分）
C A
B
15．（2009年重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE?AC． （1）求证：BG?FG；
（2）若AD?DC?2，求AB的长． A
F B E
G
C D 全科网 www.qk-w.com 全科网 www.qk-w.com 【关键词】勾股定理、直角三角形性质、等腰三角形性质和全等三角形的判定方法 【答案】（1）证明：??ABC?90°，DE⊥AC于点F， ??ABC??AFE．
?AC?AE，?EAF??CAB， ?△ABC≌△AFE ?AB?AF． 连接AG，
AG＝AG,AB＝AF，
?Rt△ABG≌Rt△AFG． ?BG?FG．
（2）解：∵AD＝DC,DF⊥AC，
?AF?12AC?12AE．
??E?30°．
??FAD??E?30°， ?AF?3．
3．
?AB?AF?A B E D F G
C
16．（2009年广西钦州）已知：如图2，⊙O1与坐标轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，点O1的纵坐标为5．求⊙O1的半径． 【关键词】垂径定理、勾股定理 【答案】
解：过点O1作O1C⊥AB，垂足为C，
则有AC＝BC． yO1O 2 由A（1图，0）、B（5，0），得AB＝4，∴AC＝2． 在Rt△AO1C中，∵O1的纵坐标为∴O1C＝5A OACBB x5，
．
O1C2∴⊙O1的半径O1A＝?AC2?(5)?222＝3．
17．(2009年甘肃定西)如图13，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝
22290°，D为AB边上一点，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD?DB?DE．
全科网 www.qk-w.com 全科网 www.qk-w.com 【关键词】全等三角形、勾股定理
【答案】证明:（1） ∵ ?ACB??ECD，
∴ ?ACD??BCD??ACD??ACE． 即 ?BCD??ACE．
∵ BC?AC,DC?EC，
∴ △ACE≌△BCD．
（2）∵ ?ACB是等腰直角三角形， ∴ ?B??BAC?45?．
∵ △ACE≌△BCD， ∴ ?B??CAE?45?． ∴ ?DAE??CAE??BAC?45??45??90?． ∴ AD?AE?DE． 由（1）知AE＝DB， ∴ AD2+DB2=DE2．
18．（2009年莆田）已知：等边△ABC的边长为a． 探究（1）：如图１，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成
△MNG，求证：△MNG是等边三角形且．MN?3a；
222探究（2）：在等边△ABC内取一点O，过点O分别作OD?AB、OE?BC、OF?CA，垂足分别为点D、E、F．
①如图2，若点O是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1．OD?OE?OF?3232a；结论
2．AD?BE?CF?a；
2是否仍然成立？如果成立，②如图3，若点O是等边△ABC内任意一点，则上述结论1、请给予证明；如果不成立，请说明理由．
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全科网 www.qk-w.com M A
D G
B
C （图1）
B O E （图2） A F C B D A F O E （图3）
C B D A F O E （图4）
C N
【关键词】等边三角形
证明：如图1，?△ABC为等边三角形 ??ABC?60°
?BC?MN，BA?MG ∴?CBM??BAM?90° ??ABM?90°-?ABC?30?
M A
G
B
C （图1）
??M?90?-?ABM?60?N
同理：?N??G?60? ?△MNG为等边三角形． 在Rt△ABM中，BM?ABsinMBCtanN?asin60?atan60??23333a
在Rt△BCN中，BN???a
?MN?BM?BN?3a
（2）②：结论1成立．
全科网 www.qk-w.com 全科网 www.qk-w.com A D
O F C 证明；方法一：如图2，连接AO、BO、CO
12a?OD?OE?OFB
E H （图2）
由S△ABC?S△AOB?S△BOC?S△AOC＝作AH?BC，垂足为H，
?
则AH?ACsin?ACB?a?sin60??32a
?S△ABC?12BC·AH?12a·32a
?12a?OD?OE?OF??312a·32a
?OD?OE?OF?2a
方法二：如图3，过点O作GH∥BC，分别交AB、AC于点G、H，过点 H作HM⊥BC于点M，
??DGO??B?60°，?OHF??C?60° ?△AGH是等边三角形 ?GH?AH ?OE⊥BC ?OE∥HM
?四边形OEMH是矩形 ?HM?OE
在Rt△ODG中，OD?OG·sin?DGO?OG·sin60??A D G B
F H M C
32OH 32OG
O E
在Rt△OFH中，OF?OH·sin?OHF?OH·sin60??全科网 www.qk-w.com 全科网 www.qk-w.com 在Rt△HMC中，HM?HC·sinC?HC·sin60??32HC
?OD?OE?OF?OD?HM?OF?3232OG?32HC?323OH
?M A D D? F?
?GH?HC??2AC?32a
F O E
E?
B
C G
N
（2）②:结论2成立．
证明：方法一：如图４，过顶点A、B、C依次作边AB、BC、CA的垂线围成△MNG，由（1）得△MNG为等边三角形且MN?3a
过点O分别作OD??MN于D?,OE??NG于NG于点E?，OF??MG于点F? 由结论1得：
OD??OE??OF????MN?32?3a?32a
又?OD?AB，AB?MG，OF??MG ??ADO??DAF???OF?A?90? ?四边形ADOF?为矩形 ?OF??AD
同理：OD??BE，OE??CF
?AD?BE?CF?OD??OE??OF??32a
方法二：（同结论1方法二的辅助线）
全科网 www.qk-w.com 全科网 www.qk-w.com A D G B
F H O
E M C （图3）
在Rt△OFH中，FH?OFtan?OHF?33OF
在Rt△HMC中，HC?HMsinC?23333OE
?CF?HC?FH?233OE?OF
同理：AD?233OF?33OD，BE?233OD?33OE
?AD?BE?CF
＝
233OF?33OD?233OD?33OE?233OE?33OF
＝3?OD?OE?OF?
32由结论1得：OD?OE?OF?A D
O B E
（图5）
C F
a
?AD?BE?CF?3?32a?32a
方法三：如图5，连接OA、OB、OC，根据勾股定理得：
BE?OECF?OF2222?OB?BD?OD① ?OC22222?CE?OE②
2222AD?OD?AO?AF?OF③
①+②+③得：
22全科网 www.qk-w.com 全科网 www.qk-w.com BE?CF222?AD22?BD?CE?AF22222
?BE?CF2?AD??a?AD???a?BE22?2??a?CF2?
22?a?2AD?a?AD?a?2BE?a?BE?a?2CF?a?CF
2整理得：2a?AD?BE?CF??3a
?AD?BE?CF?32a
212分
20．(2009年南充)如图8，半圆的直径AB?10，点C在半圆上，BC?6． （1）求弦AC的长；
（2）若P为AB的中点，PE⊥AB交AC于点E，求PE的长．
C E A
P
B
【关键词】圆的性质，三角形相似的性质
【答案】解：?AB是半圆的直径，点C在半圆上， ??ACB?90°． 在Rt△ABC中，AC?AB?BC22?10?622?8
（2）?PE⊥AB，
??APE?90°．??ACB?90°， ??APE??ACB． 又??PAE??CAB， ?△AEP∽△ABC，
?PEBC?APAC
12?PE610??3088?4 ．
?PE?15
19．(2009年湖州)如图，在平面直角坐标系中，直线l∶y＝?2x?8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P?0，k?是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P． （1）连结PA，若PA?PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？
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全科网 www.qk-w.com ??DBC??E，
?BD?DE．
又?DM?BE， ?BM?EM． 23．（2009年牡丹江）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．
【关键词】等腰三角形，勾股定理
【答案】在Rt△ABC中，?ACB?90°，AC?8，BC?6
由勾股定理有：AB?10，扩充部分为Rt△ACD，扩充成等腰△ABD，应分以下三种情况．
①如图1，当AB?AD?10时，可求CD?CB?6 得△ABD的周长为32m．
②如图2，当AB?BD?10时，可求CD?4
由勾股定理得：AD?45，得△ABD的周长为?20?45?m． ③如图3，当AB为底时，设AD?BD?x，则CD?x?6， 由勾股定理得：x?A 253803，得△ABD的周长为m．
A
A D
B C 图1
D
C 图2
B D
C 图3
B
24．(2009年宁德市)（本题满分13分）如图，已知抛物线C1：y?a?x?2??5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值；（4分）
（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）
（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．（5分）
2全科网 www.qk-w.com 全科网 www.qk-w.com C1 y N A O P 图2 图（2）B Q E F x A O P B x C1 y M C4 C2 C3 图1 图（1） 【关键词】二次函数,勾股定理的运用
C1 A y H O P B M G x C2 C3 图(1)
2解：（1）由抛物线C1：y?a?x?2??5得
顶点P的为（-2，-5） ∵点B（1，0）在抛物线C1上 ∴0?a?1?2?2?5
5
解得，a＝
9
（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G
∵点P、M关于点B成中心对称 ∴PM过点B，且PB＝MB ∴△PBH≌△MBG
∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3
∴顶点M的坐标为（4，5）
抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到
∴抛物线C3的表达式为y??59?x?4?2?5
（3）∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到
∴顶点N、P关于点Q成中心对称 由（2）得点N的纵坐标为5
设点N坐标为（m，5）
全科网 www.qk-w.com 全科网 www.qk-w.com C1 A y N H B Q G E O P K F x C4 图(2)
作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G 作PK⊥NG于K
∵旋转中心Q在x轴上
∴EF＝AB＝2BH＝6
∴FG＝3，点F坐标为（m+3，0）
H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），
根据勾股定理得
PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104 PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50 NF2＝52+32＝34
4419
，∴Q点坐标为（，0） 33102
②当∠PFN＝90o时，PF2+ NF2＝PN2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0）
33
③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90o
192
综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点
33
的三角形是直角三角形．
25．(2009年河北)图10是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD ＝ 24 m，
①当∠PNF＝90o时，PN2+ NF2＝PF2，解得m＝
OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE ＝ （1）求半径OD；
（2）根据需要，水面要以每小时0．5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？
1213．
C A E D B O
图10
【关键词】解直角三角形,勾股定理,
解：（1）∵OE⊥CD于点E，CD＝24，
∴ED ＝
12CD＝12．
在Rt△DOE中，
∵sin∠DOE ＝EDOD ＝1213，
全科网 www.qk-w.com 全科网 www.qk-w.com ∴OD ＝13（m）．
（2）OE＝＝
OD?ED22 ．
13?12=522 ∴将水排干需：
5÷0．5＝10（小时）．
26
A．
⊥B(2009
，年潍坊)
，B?在
C四
B⊥C，D?，CABCD边形中，
A?且a≤?b．取AD的中点P，连，
结PB、PC．
（1）试判断三角形PBC的形状；
（2）在线段BC上，是否存在点M，使AM⊥MD．若存在，请求出BM的长；若不存在，请说明理由．
P A B
C D
?AB∥DC， 解：（1）在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，?四边形ABCD为直角梯形（或矩形）．
过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，?PQ∥AB， 又点P是AD的中点，?点Q是BC的中点， 又PQ?12(AB?CD)?12(a?b)?12BC，
?PQ?BQ?QC，
?△PQB与△PQC是全等的等腰直角三角形， ??BPC??BPQ??QPC?90°，PB?PC，
?△PBC是等腰直角三角形．
（2）存在点M使AM⊥MD． 以AD为直径，P为圆心作圆P．
当a?b时，四边形ABCD为矩形，PA?PD?PQ，
圆P与BC相切于点Q，此时，M点与Q点重合，存在点M，使得AM⊥MD， 此时BM?12(a?b)．
当a?b时，四边形ABCD为直角梯形，
全科网 www.qk-w.com 全科网 www.qk-w.com AD?BC，PA?PD?PQ，圆心P到BC的距离PQ小于圆P的半径，圆P与BC相
交，BC上存在两点M1，M2，使AM⊥MD，
过点A作AE⊥DC，在Rt△AED中，AE?a?b，DE?b?a，
AD2?AE?DE，AD222?2a?2b，AD?2a?2b222222a?2b22 连结PM1，PM2，则PM1?PM2?，
222在直角三角形PQM1中，QM1??BM1?BQ?M1Q?a．
PM1?PQ22?2a?2b4?(a?b)4?b?a2，
同理可得：BM2?BQ?M2Q?b．
综上所述，在线段BC上存在点M，使AM⊥MD． 当a?b时，有一点M，BM?P A B
D E C
a?b2；当a?b时，有两点M1，M2，BM1?a，BM2?b．
M1 Q M2
27．（09湖北宜昌）已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关
于点E对称，PB分别与线段CF， AF相交于P，M． (1)求证：AB＝CD；
(2)若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD 的数量关系，并说明理由．
CPAEDMF
【关键词】全等三角形的性质与判定、等腰三角性的性质 【答案】解：(1)证明：∵AF平分∠BAC，
B全科网 www.qk-w.com
全科网 www.qk-w.com ∴∠CAD＝∠DAB＝
12∠BAC．
∵D与A关于E对称，∴E为AD中点．
∵BC⊥AD，∴BC为AD的中垂线，∴AC＝CD．
在Rt△ACE和Rt△ABE中，注：证全等也可得到AC＝CD ∠CAD+∠ACE＝∠DAB+∠ABE＝90°， ∠CAD＝∠DAB．
∴∠ACE＝∠ABE，∴AC＝AB． 注：证全等也可得到AC＝AB ∴AB＝CD．
(2)∵∠BAC＝2∠MPC， 又∵∠BAC＝2∠CAD，∴∠MPC＝∠CAD．
∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA， ∴∠MPC＝∠CDA． ∴∠MPF＝∠CDM．
∵AC＝AB，AE⊥BC，∴CE＝BE． 注：证全等也可得到CE＝BE
∴AM为BC的中垂线，∴CM＝BM． 注：证全等也可得到CM＝BM
∵EM⊥BC，∴EM平分∠CMB，(等腰三角形三线合一)
∴∠CME＝∠BME． 注：证全等也可得到∠CME＝∠BME ∵∠BME＝∠PMF，
∴∠PMF＝∠CME，
∴∠MCD＝∠F(三角形内角和)． 注：证三角形相似也可得到∠MCD＝∠F
28．（09湖南怀化）如图12，在直角梯形OABC中， OA∥CB，A、B两点的坐标分别为A（15，0），B（10，12），动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P、Q运动时间为t（单位：秒）． （1）当t为何值时，四边形PABQ是等腰梯形，请写出推理过程； （2）当t＝2秒时，求梯形OFBC的面积；
（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程．
【关键词】一元二次方程解法及应用、勾股定理及逆定理、等腰三角形、等腰梯形的判定 【答案】
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解：（1）如图4，过B作BG?OA于G， 则AB?BG?GA22?12?（15?10）?22169?13
过Q作QH?OA于H， 则QP?QH2?PH2?12?（10?t?2t)22?144?(10?3t)2
要使四边形PABQ是等腰梯形，则AB?QP，
2即144?(10?3t)?13,
?t?53或t?5（此时PABQ是平行四边形，不合题意，舍去）
（2）当t?2时，OP?4，CQ?10?2?8，QB?2。
?CB∥DE∥OF，?QBAF?QEEF?QDDP?QBOP?12.
?AF?2QB?2?2?4，?OF?15?4?19.
?S梯形OFBC1?（10?19）?12?174. 222（3）①当QP?PF时，则12?(10?t?2t)?15?2t?2t，
?t?13或t?193.
2222②当QP?QF时，则12?(10?t?2t)?12?FH?12?[15?2t?(10?t)]
2222即12?(10?3t)?12?(5?3t)，?t?2256
41422?t?或t??(舍去）. ③当QF?PF时，则12?(5?3t)?15，33
综上，当t?13，t?193，t?56，t?43时，△PQF是等腰三角形．
29．（09湖南邵阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB?AD?DC，AC?AB，将CB延长至点F，使BF?CD．
全科网 www.qk-w.com 全科网 www.qk-w.com （1）求?ABC的度数；
（2）求证：△CAF为等腰三角形．
D A C
B
F
【关键词】等腰三角性的性质与判定、等腰梯形的性质
??DAC??ACB，?AD?DC，??DCA??DAC，【答案】（1）?AD∥BC，
??DCA??ACB?12?DCB，?DC?AB，??DCB??ABC，??ACB?12?ABC．
??CAB?90°，在△ACB中，?AC?AB，
??ACB??ABC?90°，?12?ABC??ABC?90°，?ABC?60°；
（2）连接DB．?在梯形ABCD中，AB?DC，?AC?DB，
在四边形DBFA中，DA∥BF，DA?DC?BF， ?四边形DBFA是平行四边形，?DB?AF， ?AC?AF，即△ACF为等腰三角形．
【关键词】直角三角形的有关计算、勾股定理 【答案】C
30．（2009年湖北十堰市）如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向，办公楼B位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C处，此时测得教学楼A恰好位于正北方向，办公楼B正好位于正南方向．求教学楼A与办公楼B之间的距离（结果精确到0．1米）．
（供选用的数据：2≈1．414，3≈1．732）
【关键词】直角三角形的有关计算、测量问题、勾股定理 【答案】解：由题意可知 ∠ACP＝ ∠BCP＝ 90°，∠APC＝30°，∠BPC＝45°…2分 在Rt△BPC中，∵∠BCP＝90°，∠BPC＝45°，∴BC?PC?60 在Rt△ACP中，∵∠ACP＝90°，∠APC＝30°，∴AC∴AB?AC?BC?60?203
≈60+20×1．732 ＝94．64≈94．6(米)
答：教学楼A与办公楼B之间的距离大约为94．6米．
说明：（1）其它解法请参照上述评分说明给分；（2）不作答不扣分．
?203
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31．(2009年达州)如图10，⊙O的弦AD∥BC,过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F．
(1)求证：DF垂直平分AC； （2）求证：FC＝CE；
（3）若弦AD＝5㎝，AC＝8㎝，求⊙O的半径．
【关键词】圆,平行四边形,勾股定理 【答案】
（1）∵DE是⊙O的切线，且DF过圆心O ∴DF⊥DE 又∵AC∥DE ∴DF⊥AC
∴DF垂直平分AC
（2）由（1）知：AG＝GC 又∵AD∥BC
∴∠DAG＝∠FCG 又∵∠AGD＝∠CGF
∴△AGD≌△CGF（ASA） ∴AD＝FC
∵AD∥BC且AC∥DE
∴四边形ACED是平行四边形 ∴AD＝CE ∴FC＝CE5分
（3）连结AO； ∵AG＝GC，AC＝8cm，∴AG＝4cm
全科网 www.qk-w.com 全科网 www.qk-w.com 在Rt△AGD中，由勾股定理得 GD＝AD2-AG2＝52-42＝3cm 设圆的半径为r，则AO＝r，OG＝r-3
在Rt△AOG中，由勾股定理得 AO2＝OG2+AG2 有：r2＝(r-3)2+42解得 r＝256 ∴⊙O的半径为256cm．
32．（2009年广东省）如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE?CD．
（1）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：BM?EM．
A D B E
C 【关键词】等边三角形；线段和角的概念、性质、画法及有关计算 【答案】解：（1）作图如下图，
A D M C B
E
（2）?△ABC是等边三角形，D是AC的中点 ?BD平分?ABC（三线合一），
??ABC?2?DBE， ?CE?CD， ??CED??CDE，
又??ACB??CED??CDE ??ACB?2?E， 又??ABC??ACB， ?2?DBC?2?E， ??DBC??E， ?BD?DE， 又?DM⊥BE，
?BM?EM
33．（2009 黑龙江大兴安岭）在边长为4和6的矩形中作等腰三角形，使等腰三角形的一条边是矩形的长或宽，第三个顶点在矩形的边上，求所作三角形的面积． （注：形状相同的三角形按一种计算．）
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【关键词】等腰三角形
【答案】． 面积是12,面积是8和12
34．（2009年崇左）如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥AB?DC，AD?2，BC?4，延长BC到E，使CE?AD． （1）证明：△BAD≌△DCE；
（2）如果AC?BD，求等腰梯形ABCD的高DF的值．
D A
B 【关键词】在等腰梯形性质进行转化。 F C
（第24题） 【答案】
??CDA??DCE． （1）证明：?AD∥BC，又?四边形ABCD是等腰梯形，??BAD??CDA， ??BAD??DCE． ?AB?DC，AD?CE， ?△BAD≌△DCE．
?四边形ACED是平行四边形， （2）?AD?CE，AD∥BC，?AC∥DE． ?AC?BD，?DE?BD．
由（1）可知，△BAD≌△DCE，?DE?BD． 所以，△BDE是等腰直角三角形，即?E?45°， ?DF?FE?FC?CE．
?四边形ABCD是等腰梯形，而AD?2，BC?4， ?FC?1． ?CE?AD?2 ?DF?3．
（2009龙岩）阅读下列材料：
正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形． 数学老师给小明同学出了一道题目：在图正方形网格（每个小正方形边长为1）中画出格点△ABC，使AB?AC?5BC，
E
，BC?2；
2?122小明同学的做法是：由勾股定理，得AB?AC??5，BC?12?12?2，于
是画出线段AB、AC、BC，从而画出格点△ABC．
全科网 www.qk-w.com 全科网 www.qk-w.com （1）请你参考小明同学的做法，在图23－2正方形网格（每个小正方形边长为1）中画出格点△A?B?C?（A?点位置如图所示），使A?B?＝A?C?＝5，B?C??不写过程）；
（2）观察△ABC与△A?B?C?的形状，猜想∠BAC与∠B?A?C?有怎样的数量关系，并证明．．你的猜想．
【关键词】等腰三角形
【答案】（1）正确画出△A?B?C?
（画出其中一种情形即可）
（2）猜想：∠BAC ＝∠B?A?C?
证明：∵
ABA?B?ABA?B?10．（直接画出图形，
B C
A
A?
?ACA?C?ACA?C??55BC，
BCB?C??210?55；
∴
??B?C?，
∴△ABC ∽ △A?B?C?，
∴∠BAC ＝∠B?A?C?
B? C? B? A? C?
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