排列与组合
导学目标： 1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能解决简单的实际问题．
自主梳理
1．排列的定义：__________________________________________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
排列数的定义：_____________________________________________________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示．
n！mm
2．排列数公式的两种形式：(1)An＝n(n－1)?(n－m＋1)，(2)An＝，其中公式
?n－m?！
(1)(不带阶乘的)主要用于计算；公式(2)(阶乘形式)适用于化简、证明、解方程．
说明：①n！＝________________________，叫做n的阶乘；②规定0！＝______；③当m＝n时的排列叫做全排列，全排列数Ann＝______.
3．组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做_____________．从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的________，用________表示．
4．组合数公式的两种形式：
n?n－1??n－2???n－m＋1?Amnm
(1)Cn＝m＝；
Amm?m－1?·?·3·2·1
n！nm
(2)Cn＝，其中公式(1)主要用于计算，尤其适用于上标是具体数且m≤的
2m！?n－m?！
情况，公式(2)适用于化简、证明、解方程等．
k*
5．Cmn＝Cn?______________，m、k∈N，n∈N.
m
6．组合数的两个性质：(1)Cmn＝__________，(2)Cn＋1＝____________________. 自我检测 1．(2010·北京)8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( )
2222
A．A8B．A8 C．A8D．A88A9 8C9 8A7 8C7 2．(2011·广州期末七区联考)2010年上海世博会某国展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该国展出这5件作品的不同方案有( )
A．24种 B．48种 C．72种 D．96种
3．从4台甲型与5台乙型电视机中任选3台，其中至少要有甲、乙型电视机各一台，则不同的取法共有( )
A．140种 B．84种 C．70种 D．35种 4．(2011·烟台期末)2008年9月25日晚上4点30分，“神舟七号”载人飞船发射升空，某校全体师生集体观看了电视实况转播，观看后组织全体学生进行关于“神舟七号”的论文评选，若三年级文科共4个班，每班评出2名优秀论文(其中男女生各1名)依次排成一列进行展览，若规定男女生所写论文分别放在一起，则不同的展览顺序有( )
A．576种 B．1 152种 C．720种 D．1 440种 5．(2010·全国Ⅱ)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有( )
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种 6．(2010·重庆)某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有( )
A．30种 B．36种 C．42种 D．48种
探究点一 含排列数、组合数的方程或不等式
3
C54n－1＋Cn－3
例1 (1)求等式＝3中的n值； 35Cn－3
112
(2)求不等式3－4<5中n的解集．
CnCnCn
43
变式迁移1 (1)解方程：A2x＋1＝140Ax；
x－2
(2)解不等式：Ax9>6A6.
探究点二 排列应用题 例2 (2011·莆田模拟)六人按下列要求站一排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站两端； (2)甲、乙必须相邻； (3)甲、乙不相邻； (4)甲、乙之间恰间隔两人； (5)甲、乙站在两端； (6)甲不站左端，乙不站右端．
变式迁移2 用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，求这样的六位数的种数．
探究点三 组合应用题
例3 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名； (2)至少有1名女运动员； (3)队长中至少有1人参加；
(4)既要有队长，又要有女运动员．
变式迁移3 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法总数是( )
26
A．C2 B．C28A3 8A6
22
C．C2 D．C28A6 8A5
1．解排列、组合应用题应遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事件发生的过程进行分步．
2．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．
3．关于排列组合问题的求解，应掌握以下基本方法与技巧：(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价转化．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2009·湖南)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )
A．85 B．56 C．49 D．28 2．(2010·全国Ⅰ)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若
要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )
A．30种 B．35种 C．42种 D．48种 3．(2010·重庆)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排一人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( )
A．504种 B．960种 C．1 008种 D．1 108种 4．(2011·济宁月考)6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4，现从中任取三条网线且使这三条网线通过最大信息量的和大于等于6的方法共有( )
A．13种 B．14种 C．15种 D．16种
5．五人排成一排，甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同排法数是( ) A．24 B．36 C．48 D．60 二、填空题(每小题4分，共12分) 6．(2011·北京)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有____________个．(用数字作答)
7．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐3、4名，则大师赛共有________场比赛．
8．(2011·马鞍山调研)参加海地地震救援的中国救援队一小组共有8人，其中男同志5人，女同志3人．现从这8人中选出3人参加灾后防疫工作，要求在选出的3人中男、女同志都有，则不同的选法共有________种(用数字作答)．
三、解答题(共38分) 9．(12分)(1)计算C98100＋C199200；
28－n2n
(2)求C3n＋C21－n的值；
m＋1m＋1n
(3)求证：Cm＝C＝Cm＋－. nn1
n＋1n－mn1
10．(12分)有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数．
(1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文课代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任语文课代表；
(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．
11．(14分)从1,3,5,7,9五个数字中选2个，0,2,4,6,8五个数字中选3个，能组成多少个无重复数字的五位数？
排列与组合
自主梳理
1．从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列 从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的所有不同排列的个数 2.①n·(n－1)·?·2·1 ②1 ③n！ 3.从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
mn－mm－1
组合数 Cn 5.m＝k或m＋k＝n 6.(1)Cn (2)Cm n＋Cn自我检测
2
1．A [不相邻问题用插空法，先排学生有A88种排法，老师插空有A9种方法，所以共有82A8A9种排法．]
2．A [2件书法作品看作一个元素和标志性建筑设计进行排列有A22种不同排法，让两
22
件绘画作品插空有A3种插法，两件书法作品之间的顺序也可交换，因此共有2A2] 2A3＝24(种)．
3．C [从4台甲型机中选2台，5台乙型机中选1台或从4台甲型机中选1台，5台乙
112
型机中选2台，有C24C5＋C4C5＝70(种)选法．]
4
4．B [女生论文有A44种展览顺序，男生论文也有A4种展览顺序，男生与女生论文可以
442
交换顺序，有A22种方法，故总的展览顺序有A4A4A2＝1 152(种)．]
5．B [先将1,2捆绑后放入信封中，有C13种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个
2
信封中，有C24C2种方法，
22
所以共有C13C4C2＝18(种)方法．]
6．C [若甲在16日值班，在除乙外的4人中任选1人在16日值班有C14种选法，然后
22122
14日、15日有C4C2种安排方法，共有C4C4C2＝24(种)安排方法；
12
若甲在15日值班，乙在14日值班，余下的4人有C14C3C2种安排方法，共有12(种)；
2
若甲、乙都在15日值班，则共有C24C2＝6(种)安排方法． 所以总共有24＋12＋6＝42(种)安排方法．] 课堂活动区
m
例1 解题导引 (1)在解有关Amn、Cn的方程或不等式时要注意运用n≥m且m、n∈N*的条件；(2)凡遇到解排列、组合的方程式、不等式问题时，应首先应用性质和排列、组合的意义化简，然后再根据公式进行计算．注意最后结果都需要检验．
解 (1)原方程可变形为 C519143n－1
，C5C， 3＋1＝n－1＝55n－3Cn－3
?n－1??n－2??n－3??n－4??n－5?即
5！
14?n－3??n－4??n－5?＝·， 53！
化简整理得n2－3n－54＝0，
解得n＝9或n＝－6(不合题意，舍去)， ∴n＝9.
624
(2)由－
n?n－1??n－2?n?n－1??n－2??n－3?
240
<， n?n－1??n－2??n－3??n－4?
可得n2－11n－12<0，解得－1 ∴n∈{5,6,7,8,9,10,11}． ??2x＋1≥4， 变式迁移1 解 (1)根据原方程，x (x∈N)应满足? ?x≥3，? * 解得x≥3.根据排列数公式， 原方程化为(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x－2) ＝140x·(x－1)·(x－2)， 因为x≥3，两边同除以4x(x－1)， 得(2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)， 即4x2－35x＋69＝0， 23 解得x＝3或x＝ (x∈N*，应舍去)． 4 所以原方程的解为x＝3. x≤9，??x－2≤6， (2)根据原不等式，x (x∈N)应满足?x>0， ??x－2>0， * － x2 故2 9！6！84得>6×，所以>1， ?9－x?！?8－x?！9－x所以－75 故2 例2 解题导引 (1)求排列应用题最基本的方法有直接法：把符合条件的从正面考虑解决，直接列式计算；间接法：根据正难则反的解题原则，如果问题从正面考虑情况比较多，容易重或漏，那么从整体中去掉不符合题意的情况，就得到满足题意的排列种数．(2)相邻问题，一般用捆绑处理的方法．(3)不相邻问题，一般用插空处理的方法．(4)分排问题，一般用直排处理的方法．(5)“小集团”排列问题中，先整体后局部的处理方法． 解 (1)方法一 要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A14种站 5 法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列，有A5种站法，根据分步乘法计数原理，共有A1A54·5＝480(种)站法． 5 方法二 若对甲没有限制条件共有A66种站法，甲在两端共有2A5种站法，从总数中减 5 去这两种情况的排列数即得所求的站法数，共有A66－2A5＝480(种)站法． (2)先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有A55种站法，再把甲、乙进行全排列， 52 有A2A2＝240(种)站法． 2种站法，根据分步乘法计数原理，共有A5· (3)因为甲、乙不相邻，所以可用“插空法”．第一步，先让甲、乙以外的4个人站队，4 有A4种站法；第二步，再将甲、乙排在4人形成的5个空档(含两端)中，有A25种站法， 42 故共有A4·A5＝480(种)站法． (4)先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有A24种；然后 3 把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列，有A3种站法；最后对甲、 乙进行排列，有A22种站法， 故共有A2A3A24·3·2＝144(种)站法． (5)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A22种站法，再让其他4人在中间位置作全 4 排列，有A4种站法，根据分步乘法计数原理，共有A2A42·4＝48(种)站法． 5 (6)甲在左端的站法有A5种站法，乙在右端的站法有A55种，且甲在左端而乙在右端的站4654 法有A4种站法，共有A6－2A5＋A4＝504(种)站法． 22 变式迁移2 解 依题意先排列除1和2外的剩余4个元素有2A2·A2＝8(种)方案，再向 1 这排好的4个元素中选1空位插入1和2捆绑的整体，有A5种插法， ∴不同的安排方案共有2A2A2A12·2·5＝40(种)． 例3 解题导引 (1)区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题，用组合解答，有序的问题属排列问题． (2)解组合问题时，常遇到“至多”、“至少”问题，解决的方法常常用间接法比较简单，计算量也较小；用直接法也可以解决，但分类要恰当，特别对限制条件比较多的问题． 3 解 (1)第一步：选3名男运动员，有C6种选法． 第二步：选2名女运动员，有C24种选法． 32 共有C6·C4＝120(种)选法． (2)“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”． 5 从10人中任选5人，有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C6种． 5 所以“至少有1名女运动员”的选法有C510－C6＝246(种)． (3)从10人中任选5人，有C510种选法． 其中不选队长的方法有C58种． 5 所以“至少1名队长”的选法有C510－C8＝196(种)． (4)当有女队长时，其他人选法任意，共有C49种选法．不选女队长时，必选男队长，共444有C8种选法．其中不含女运动员的选法有C5种，所以不选女队长时共有C48－C5种选法．故 44 既要有队长，又要有女运动员的选法有C49＋C8－C5＝191(种)． 2 变式迁移3 C [从后排8人中选2人有C8种，这2人插入前排4人中且前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空位插一人有5种；余下的一人则要插入前排5人的空档有6 22 种，故为A26.∴所求总数为C8A6.] 课后练习区 39×8×71．C [丙不入选的选法有C9＝＝84(种)， 3×2×17×6×5 甲乙丙都不入选的选法有C3＝＝35(种)． 7 3×2×1 所以甲、乙至少有一人入选，而丙不入选的选法有84－35＝49(种)．] 2．A [方法一 可分两种互斥情况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选1 221 门，共有C13C4＋C3C4＝18＋12＝30(种)选法． 3 方法二 总共有C3再减去只选B类的C37＝35(种)选法，减去只选A类的C3＝1(种)，4＝4(种)，故有30种选法．] 6 3．C [不考虑丙、丁的情况共有A22A6＝1 440(种)排法． 5 在甲、乙相邻的条件下，丙排10月1日有A22A5＝240(种)排法，同理，丁排10月7日 4 也有240种排法．丙排10月1日，丁排10月7日也有A2则满足条件的排2A4＝48(种)排法， 262524 法有A2A6－2A2A5＋A2A4＝1 008(种)．] 1 4．C [当选用信息量为4的网线时有C2当选用信息量为3的网线时有C15种；2C2＋1种， 11 共C25＋C2C2＋1＝15(种)．] 5．B [五人中不排甲、乙、丙，另2人排列有A22种方法，这两人中有3个空，按甲在两头和中间分为两类，当甲在两头中的一头时，乙有2种插空法，乙插入后有3个空供丙插， 2111 因此有A2·C2·C2·C3＝24(种)，当甲在中间时，乙有2种插法，乙插入后也有3个空供丙插， 211 所以共有A2·C2·C3＝12(种)，由分类加法计数原理得：共有24＋12＝36(种)．] 6．14 解析 数字2,3至少都出现一次，包括以下情况： “2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C14＝4(个)四位数． “2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C24＝6(个)四位数． “2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C34＝4(个)四位数． 综上所述，共可组成14个这样的四位数． 7．16 2 解析 每组有C24场比赛，两组共有2C4场，每组的第一名与另一组的第二名比赛有2场，决出冠军和第3名各1场，所以共有2C24＋2＋1＋1＝16(场)． 8．45 解析 从3名女同志和5名男同志中选出3人，分别参加灾后防疫工作，若这3人中男、 3 女同志都有，则从全部方案中减去只选派女同志的方案数C3，再减去只选派男同志的方案 333 数C35，合理的选派方案共有C8－C3－C5＝45(种)． 19921 9．(1)解 C98100＋C200＝C100＋C200 100×99＝＋200＝4 950＋200＝5 150.(4分) 2???0≤28－n≤3n，?7≤n≤28，?(2)解 即? ?0≤2n≤21－n，?0≤n≤7，?? 28－n2n 又n∈N*，∴n＝7，∴C3n＋C21－n＝2.(8分) m＋1m＋1m＋1?n＋1?！ (3)证明 ∵Cn＋1＝· n＋1n＋1?m＋1?！?n－m?！n！ ＝＝Cmn；(10分) m！?n－m?！ ?n－1?！nn Cm· n－1＝n－mn－mm！?n－1－m?！n！ ＝＝Cmn，(11分) m！?n－m?！ m＋1m＋1n ∴CmCn＋1＝Cm－.(12分) n＝n＋1n－mn1 241 10．解 (1)先取后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有C35C3＋C5C3种，后排有A55种， 241 共有(C3A55C3＋C5C3)·5＝5 400(种)．(3分) (2)除去该女生后，先取后排C4A47·4＝840(种)．(6分) (3)先取后排，但先安排该男生， 4 有C4C1A4＝3 360(种)．(9分) 7·4· 1 (4)先从除去该男生和该女生的6人中选3人有C36种，再安排该男生有C3种，其余3人全排有A33种， 共有C3C1A36·3·3＝360(种)．(12分) 11．解 从1,3,5,7,9五个奇数中选出2个，再从2、4、6、8四个偶数中再选出3个， 35 排成五位数，有C25C4A5＝10×4×120＝4 800个．(6分) 从5个奇数中选出2个，再从2、4、6、8四个偶数中再选出2个，将选出的4个数再选一个做万位数．余下的3个数加上0排在后4个数位上，有 2214C5C4C4A4＝10×6×4×24＝5 760个．(12分) 由分类计数原理可知这样的五位数共有 235214C5C4A5＋C25C4C4A4＝10 560个. (14分) 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库排列组合一轮复习在线全文阅读。
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