八年级下册湘教版第四章：二次根式说课稿

《二次根式》说课稿

一、 说教材

教材的地位及作用

“二次根式”是《课程标准》“数与代数”的重要内容。本章是在第13章实数（13.1平方根；13.2立方根；13.3实数）的基础上，进一步研究二次根式的概念，性质，和运算。本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也是以后将要学习的“锐角三角函数”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础。第一节研究了二次根式的概念和性质。它是学习本章的关键，它也是学习二次根式的化简和运算的依据。 2、 教学目标

根据大纲的要求和教材结构内容分析，结合九年级学生的实际水平，考虑到学生已有的认知结构心理特征，本节课可确定如下教学目标： （1） （2） （3） （4）

知识技能：使学生理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围和二数学思考：使学生理解二次根式被开方数的取值范围的重要性 解决问题：培养学生根据条件处理问题的能力及分类讨论问题

情感态度：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，次根式的取值范围

发展学生观察、分析、发现问题的能力，培养学生辩证唯物主义观点 3、 教学重点难点 （1） （2） 二、 说教法

教学活动的本质是一种合作，一种交流。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。依据学生的年龄特点和已有的知识基础，本节课注重加强知识间的纵向联系，拓展学生探索的空间，体现由具体到抽象的认识过程。为了为后续学习打下坚实的基础，例如在“锐角三角函数”一章中，会遇到很多实际问题，在解决实际问题的过程中，要遇到对二次根式进行条件约束等问题，本课适当加强练习，让学生养成联系和发展的观点学习数学的习惯。 三、 说学法

新课程标准指出：学生是学习的主体。要让学生成为真正的主人，需要在数学教学的过程中，让老师引导学生自主思考、合作探究、共同总结，从而体现学生学习的主体地位。本节课主要采用自主学习，合作探究，引领提升的方式，启发式、讲练结合的方法展开教学。先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念；再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简的学习。通过对本节课的学习，使学生们的发散性思维得以启发,学生们的观察、分析、发现问题的能力得以锻炼，学生辩证唯物主义观点得以培养。 四、 说教学手段

使用多媒体与黑板板书结合，有条理，有逻辑性地展示问题的发现、分析研究、得出结论的过程，加深学生们的理解 五、 说教学过程

?

活动一 温故知新 回顾思考

首先带领学生复习平方根与算术平方根的使用，由四个实际问题（三个几何问题，一个物理问题）

入手，设置问题情境，让学生感受到研究二次根式来源于生活又服务于生活。

思考：用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点？ （1） （2）

要做一个两条直角边的长分别为7cm和4cm的三角尺，斜边的长应为 cm（学生口答） 面积为S的正方形的边长为 （学生口答） 教学重点：二次根式中被开方数的取值范围 教学难点：二次根式的取值范围

（3） 要修建一个面积为6.28m的圆形喷水池，它的半径为 m（?取3.14）（学生举手回

2答） （4）

一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位:s）与开始落下时的高度h（单位：

2m）满足关系h=5t.如果用含有h的式子表示t，则t= （学生举手回答，最快举手者回答）

（目的：既可以巩固旧知识，又可以让学生有一个明确的思考方向，同时，还可以培养学生的观察能力，做到老师是课堂上的引导者，学生是学习的主人） ?

活动二 探求新知 分析例题

学生发现复习题结果都是一些正数的算术平方根，教师引导学生用一个式子表示这些有共同特点的式子。学生表示为a，此时教师启发学生回忆已学平方根的性质让学生总结出a(a?0)这一条件。在

此基础上引出二次根式的定义：一般的,我们把形如二次根号.

a(a?0)的式子叫做二次根式，“” 称为

又请同学们思考:为什么一定要加上a?0这一条件?引导学生说出只有正数和零才有平方根，负数没有平方根。

（目的：传授学生学习的方法：在于善于和以前学过的知识相联系、相结合，这便于对新知识的进行有层次的理解、记忆与运用） 继续请学生思考，二次根式可否简单而又笼统的理解为开算术平方根，为什么? 从而使学生得出一个认识：

a(a?0)表示非负数a的算术平方根,即(a?0)，(2)

a(a?0)也是非负数,它的平方等于a,有(1)a?0

?a?2?a?a?0?，由此引出二次根式的基本性质：?a?2?a?a?0?，且强调此性质常用于化简二次根式，但不作甚解，让学生带着疑问去学习、研究，从而在接下来的引领教学中培养学生辩证唯物主义观，为学生在下面的学习过程中产生顿悟的喜悦感设下伏笔

（目的：让学生领会，学数学，是一个感性到理性的培养过程，最终目的并不是仅仅学习如何去运算式子、计算数字，而是重点通过学数学培养、锻炼我们的分析、联想能力、启发性思维和发散性思维） 从二次根式的基本性质：

?a?2?a?a?0?，引导学生提出预习时发现的问题：

?a?2?a?a?0?与a ?a的区分 2从读法、意义、a的取值范围、外表、结果五个方面对它们进行区分：负数a的算术平方根进行乘方”；2?a?2?a?a?0?是“对非

a ?a是“对任意数a的平方开算术平方根”；显然前后“a”所

代表的意义都不相同；“a”的取值范围： 为任意数；运算结果：a?0时，

?a?22中的“a”必须满足“?a?0?”， a中的“a”a?22?a?2?a ，a?0时，无意义

?a?2无意义，??a. a .

2相同点：①都有平方和开平方运算；②运算结果都是非负数;③仅当a?0 时，

?a?2回顾所学过的式子的共同特点，发现它们都是用基本运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子，

这样的式子为代数式。让学生对所学知识有一个整体的认识。

(目的: 与?a?2?a?a?0?与a ?a的区分入手来研究二次根式的第二个性质2?a?2?a?a?0?，首先让学生通过小组探究活动研究它们的相同点和不同点得出区分方法，然后和老师一起总结，并请学生结合具体例子对这些结论进行分析；引导学生由具体到抽象，得出一般的结论，并发现开平方运算与平方运算的关系，培养学生由特殊到一般的思维方式，提高归纳、总结的能力。) 例题

例1.下列各式是否为二次根式? （1）

m2?1；（2）

a2；（3）

?n2；（4）

a?2；（5）

x?y

第（1）小题与学生一起分析；第（2）小题请学生分析；第（3）小题请学生认真思考后回答；（4）（5）两小题需要分情况讨论，请学生考虑清楚在回答. 例2.当x为何值时,下列各式在实数范围内有意义?

（1）

x?3；（2）

23?4x；（3）

?5x；（4）

x?1

第（1）（2）小题学生自己能够解决；第（3）小题注意符号问题；第（4）小题请学生思考后解答，并试着讨论.

（目的：通过对例题的共同探讨，让学生体会二次根式概念的初步应用。加深对二次根式定义的理解，并注重新旧知识间的联系，用转化的思想解决问题，总结出解题规律：求未知数的取值范围即转化为①被开方数大于等于0；②分母不为0列不等式或不等式组解决问题）

?

练习

1. 2.

一个矩形的面积是18cm,它的边长之比为2:3,它的边长应为多少？ 当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）3.

已知y=

2

活动三 接触新知 动手实践

a?1 （2）x?3-

2a?3

3?x,求x+y的值.

学生练习1、2两小题是基础题,学生自己能够完成；3题是灵活应用二次根式的取值范围才能解的

题目,需要学生认真思考.

(1、2两小题检查中等及以下学生对基础知识的掌握情况;3题检查中等以上学生是否对二次根式的

取值范围有更深刻的理解.)

（目的：通过课堂练习，检查学生对基础知识的掌握情况，了解学生是否对二次根式的取值范围有更深刻的理解，使学生进一步巩固知识，运用知识） ?

活动四 归纳知识 总结收获

查问学生本节课有什么收获和体会/总结有何收获和经验教训（从知识、方法、规律和注意点等方面谈），教师引领提升。 如:

1. 2.

二次根式的定义及被开方数的取值范围;

被开方数的取值范围在计算中经常作为隐含条件给出,注意合理应用.

（目的：有助于培养学生的总结能力,并让学生总结经验教训有助于学生大胆的说出自己的错误避免今后再出现同样的失误） ?

活动五 知识延伸 分层作业

基础练习：

1.下列各式是否为二次根式?

x?3；

2a2； ?a2；

m?7.

2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) (2)

3a; ?a?1;

(3)

6?2a2.

选作练习： 一、选择题

1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A．-7 B．37 C．x D．x

2．下列式子中，不是二次根式的是（ ） A． x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ） A．5 B．二、填空题

1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题

1．某工厂要制作一批体积为1m的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，?底面应做成正方形，试问底

面边长应是多少？

3

4 B．16 C．8 D．

15 C．

15 D．以上皆不对

2．当x是多少时，

2x?3x+x在实数范围内有意义？

2

3．若3?x+x?3有意义，则2x?2=_______．

4.使式子?(x?5)有意义的未知数x有（ ）个．

A．0 B．1 C．2 D．无数 5.已知a、b为实数，且a?5+210?2a=b+4，求a、b的值．

（目的：分层作业，分层训练学生对知识的理解与运用；大的作业量，小的要求，素质教育，让学生拥有多元化的选择和更多的思考与讨论的空间）

六、 板书设计

课题：21.1 二次根式 问题：1，2，3，4 1.二次根式的定义 2.例题与练习 例题与练习 总结收获 作业 例题与练习 （擦完黑板再写） 七、 教学评价

新的课程标准，倡导把课堂变为学生自主、合作、探究的场所，呼唤学生主体性的发展。教学活动中，学生在问题的基础之上逐步地得出这节课的重点内容，这样让学生感觉坡度不大，掌握起来比较容易。本课教学始终贯穿“发展、创新”两个主要思想，并以训练思维为主线，重视知识的形成、发展过程，解题思路的探索过程，重视知识的概括和总结，使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的科学精神和创新意识，形成自主、合作获取、发展新知，运用新知解决问题，以及用数学语言交流的能力。

《二次根式的乘除法》说 课 稿

一、教材的地位及作用。

《二次根式的乘法》是人教版初中数学，九年级上册第一章的内容。《二次根式的乘法》是初中数学的重要内容之一，是《课程标准》“数与代数”的重要内容，是对七年级上册“实数”、“代数式”等内容的延伸和补充。

教学重点：利用积的算术平方根的性质，进行二次根式的计算和化简，积的算术平方根的性质是本节课的中心内容，也是二次根式化简和混合运算的基础。

教学难点：二次根式与积的算术平方根的关系二次根式除法的应用。

二、学情分析：本节可的内容是在理解二次根式的定义及相关概念的基础上，进一步研究二次根式的运算，是对二次根式的简便运算。学生对算术平方根等概念已经有了初步认识，这为学生学习打下了基础，在和学生一起学习的过程中，我们要创造条件和机会，让学生发表自己的见解，发挥学生学习的主动性和积极性。

三、教学目标

知识技能目标：一是使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的简便运算；二是让学生能进行简单的二次根式的乘除法运算；三是希望学生能联系几何知识解决实际问题。

过程与方法：利用具体数据，通过练习活动，发现规律的过程，并利用逆向思维培养解决实际问题的能力。

情感态度与价值：培养学生对于事物规律的观察，发现能力，激发学生的学生学习激情。

四、教学法

积的算术平方根的性质及比较大小等内容都可以通过从特殊到一般的归纳方法，让学生通过计算具体的例子，引导他们做出一般的结论。由于归纳法是通过一些个别的，特殊的例子的研究，从表象到本质，进而猜想出一般的结论。因此，我采用了从特殊到一般总结归纳的方法，类比方法，讲授与练习相结合的方法，这种思维过程，对于初中生认识，研究和发现事物的规律有着重要作用，对于培养思维品质也有重要意义。

五、教学过程： 1、温故知新，探求新知

（学生活动）请同学们完成下列各题．

1．填空 （1）（2）（3）

×××

=_______，=_______，=________，

=_____

=________． =_______．

参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．

×_____，×_____，×________

设计意图：课堂教学首先通过几组简单的式子引入学习内容，并对先前的知识点进行回顾，我主张学生自己动手计算，肯定他们的想法，引入正题。这个环节的设计既能引导学生顺利进入学习情境，也能激发学生对新知识的学习兴趣和求职欲望，这个环节必须要有计划性地为学生铺垫新知建构。 2、讨论归纳，导入新课

通过学生结合上课时所学的知识讨论以上的两题的规律，并得出总结：

（1）被开方数都是正数；

（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．

一般地，对二次根式的乘法规定

反过来:

·=

＝·

．（a≥0，b≥0） （a≥0，b≥0）

进行简便练习，同时叫同学上台板书，同时思考这两题与除法的联系并叫学生回答

（1）× （1）·

＝

×

分析：直接利用（a≥0，b≥0）计算即可

对同学们的练习及上台演示的同学表示表扬，以促进他们对下一步的学习积极性， 根据大家的练习和回答，我们可以得到：

一般地，对二次根式的除法规定：

=（a≥0，b>0），

反过来，=（a≥0，b>0）

设计意图：这里我必须要从引入时的描述性语言过渡到严谨的数学语言。这一环节体现了以学生为主题，同时运用类比的方法要学生自己总结根式的除法规则，强化师生互相合作的教学新理念。

3、强化训练，巩固提高

例1 化简

（3）

（4）

例2 计算

×

例3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．

设计意图：针对本节课的重点难点，我给学生先后呈现了三个例题。我们在讲解例题时，不仅在于怎样解答，更在于为什么这样解答。及时对解题方法和规律进行概括，有利于发展学生的思维能力。重视课本例题，适当地堆立体进行引申，引发学生自主探寻与思考，突出例题在巩固强化中的作用，有利于学生对知识的串联，积累，加工，从而起到举一反三的效果。

4、归纳小结，

归纳时注意和同学一起回顾本节课所学的知识点，及注意事项（如最简式，取值范围等）

一般地，对二次根式的乘法规定

反过来:

·=＝·

．（a≥0，b≥0） （a≥0，b≥0）

一般地，对二次根式的除法规定：

=（a≥0，b>0），

反过来， =（a≥0，b>0）

设计意图：小结的重要性不容忽视，知识性的小结，能使学生尽快吸收课堂中传授的知识，这不仅仅是知识的简单罗列，也是优化知识结构，完善知识体系的有效手段。

5、作业布置

作业的布置我主要从巩固性和发展性考虑。总的设计意图是反馈教学，巩固提高，针对学生的素质差异进行不同的任务分配。既能使学生掌握知识，又能使学有余力的同学得到提高。

六、板书设计：

分为三大板块，左边主要是乘法的引题及乘法的规则，中间是学生的的板书及除法的规则，右边是练习题及布置的作业

《二次根式的加减法》说课稿

一、 教材分析

（一）教材的地位和作用

本节课是初中数学的重要内容之一。一方面，这是在学习了有理式的运算和二次根式的性质的基础上，对代数式的进一步深入和拓展；另一方面，又为学习二次根式的乘除、实数的混合运算以及解直角三角形、一元二次方程、二次函数等知识奠定了基础，是进一步研究代数式的工具性内容。 （二）教学目标

新课标指出，在教学中应以知识与技能为主线，渗透情感态度价值观，并把前面两者充分体现在数学思考和解决问题中。 知识与技能：

1、了解同类二次根式的概念，会识别同类二次根式，会合并同类二次根式。 2、理解二次根式的加减法法则，并能熟练地进行二次根式的加减法运算。 数学思考：

1. 经历二次根式的加减运算法则的形成过程，感悟类比思想； 2. 经历由实际问题引入数学问题的过程，发展学生的抽象概括能力； 3. 掌握运算法则，培养学生由特殊到一般的思维能力。 解决问题：

能根据情境提出问题并能有效地解决问题。 情感与态度：

通过主动探究，合作交流，让学生充分参与到数学学习的过程中来，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的合理性和严谨性，使学生养成积极思考，独立思考的好习惯，同时进一步培养同学间的合作交流能力和团队合作精神。

（三)教学重难点

我将本节课的重点确定为：

1、同类二次根式的概念及其识别；2、二次根式的加减法法则． 难点确定为：二次根式加减法的实际应用。 二、学情分析

初二阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。所以在教学中应抓住这些特点，一方面设置适当的情景，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。

学生已学过同类项、合并同类项、二次根式、最简二次根式的概念，对实数运算与性质有初步感受，为本节知识打下了基础。如果学生前面只是能够牢固掌握，本节相对简单。但是往往对于前一节的二次根式化简掌握不牢，要注意复习深化。

三、 教学模式

根据课标要求，结合本节课的内容特点和学生的年龄特征，本节课我采用讲练测结合的教学方法，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生认知范围内设置问题，倡导学生主动参与教学实践活动，以

独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。

四、教学设计

本节课我主要安排以下教学环节： （一）复习旧知，温故知新（5分钟）： 1.（1）什么是同类项？ （2）合并同类项的法则？

(3)计算： 2x-3x+5x 2ab – 3ab +

【设计意图】 引导学生回顾同类项的相关知识，为接下来学习同类二次根式和合并同类二次根式做铺垫。 2.二次根式的化简： （1）积的算数平方根法则： （2）商的算数平方根法则： （3）最简二次根式的定义： 3.化简：（1） （4）

2

2

8= ； （2）27a= ； （3）48a= ； （6）

227= ；

32= ； （5）348= ；

【设计意图】二次根式化简是本节课的基础，通过引导学生回顾复习，使学生熟练掌握化简方法和技巧，以提高本节课效率。

【注】此教师讲解化简方法。 4、尝试计算下列各式： （1）

2?22? ； （2）a?2a? ?a?0?；

【设计意图】提高学生的感性认识，引入新课。 通过问题创设，学生已激发了强烈的求知欲望，产生了强劲的学习动力，此时我把学生带入下一环节——— （二）自主学习（5分钟）

自学课本第10—11页内容，完成下面的题目：

1、试观察下列各组式子，哪些是同类二次根式：

（1）22与32 （2）2与3 （3）5与20 （4）18与12

从中你得到： 。

2、几个二次根式化成_______________后，如果它们的________相同，那么这几个二次根式称为同类二次根式。

3、同类二次根式可以像________那样进行合并。

4、二次根式相加减，应先把各个二次根式化成___________,然后把____________分别合并。 5、自学课本例1，例2后，仿例计算： （1）8+18 （2）7+27+39?7 （3）348-9 +312 【设计意图】1.提高学生的自主学习能力；

2.通过填空题，强调同类二次根式定义的关键，让学生体会合并同类二次根式的步骤。 （三）合作交流、展示反馈（5分钟）

【设计意图】通过学生自主合作交流，锻炼学生和合作交流能力，并通过此过程体会二次根式加减法的步骤。

22小组交流结果，比照例题，看谁的做法又快又准. ab3

（四）合作探究，深化知识（5分钟）

被开方式不同的几个二次根式，一定不是同类二次根式？ 【设计意图】进一步体会同类二次根式的定义。 （五）精讲点拨（5分钟）

【师】1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。

注意:同类二次根式只要求被开方数相同，与根号前的系数无关。

2、二次根式的加减法三个步骤： ①化成最简二次根式； ②找出同类二次根式；

③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并。

（六）强化训练，巩固双基（5分钟）

1、试观察下列各组式子，哪些是同类二次根式：

（1）22与32 （2）2与3 （3）5与20 （4）18与12

92ab5849ab34【步骤讲解中引导学生体会】

合并同类项的法则：系数相加减，字母与字母的指数不变。

合并同类二次根式的法则：将同类二次根式的系数相加减，根指数与被开方式不变。 （七）达标测试：（10分钟） 1、选择题

（2）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）． A．2x与2y B． 与

n?m x1x?4y?x2?y1yC．mn与n D．m?n与

(3)下列计算：①5?3?8； ②2?5?25；③32a?8a?2a；

④5a?3a?2a，其中错误的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2、计算：

（1）72+38-550 （2）

3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3cm，BC=6cm，求AB的长．

B【设计意图】通过检测，考察学生对本节课的掌握情况。

（八） 小结归纳，拓展深化（2分钟）

我的理解是，小结归纳不应该仅仅是知识的简单罗列，而应该是优化认知结构，完善知识体系的一种有效手段，为充分发挥学生的主题作用，从学习的知识、方法、体验是哪个方面进行归纳，我设计了这么

AC三个问题：

23x9xxy31xyx① 通过本节课的学习，你学会了哪些知识，还有什么疑惑； ② 通过本节课的学习，你最大的体验是什么；

③ 通过本节课的学习，你掌握了哪些学习数学的方法？ 【设计意图】

1.让学生通过说，进一步增进认识，加深理解和记忆； 2.通过互相讲解疑惑，激发学生思考，鼓励提出疑难问题。 （九）拓展提升（3分钟）

1、选择 ：如果最简二次根式4a?3b与b?12a?b?6能够合并，则（ ） A．a=2,b=2 B．a=2,b=1 C．a=1,b=2 D．a=1,b=1 2、已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（ +y2 ）-（x2 -5x ）的值

【设计意图】

给有余力的学生充分的空间展现。特别是第一道题与n次根式相联系，使学生进一步深化对同类二次根式概念的理解。 （十）布置作业，提高升华

以作业的巩固性和发展性为出发点，我设计了必做题和选做题。必做题是对本节课内容的一个反馈，选做题是对本节课知识的一个延伸。总的设计意图是反馈教学，巩固提高。 七、板书设计

黑板从左往右共分为四个板块：第二个板块用于复习回顾，第三个板块本节课的重点知识框架和新知识讲解的分析，第一个和第二个板块是学生板演区。 八、本课反思

本节课比较成功，值得借鉴地方：

1.复习同类项、最简二次根式的化简相关知识，是学生做好本节课的基础，提高了本节课的效率。 2.有效采用了小组合作。 不足：

个别上一节还没掌握好的学生，没及时督促跟上，导致本节课知识掌握很差。

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