山东省青岛市2012届高三上学期期末检测文科数学2012.1

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山东省青岛市2012届高三上学期期末检测

数学（文）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：

1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．

4.参考公式：锥体的体积公式V?13Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。

柱体体积公式V?Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高。 台体体积公式V?13(S??S?S?S)h，S?、S分别为上、下底面面积，h为台体的高.

43球的表面积公式S?4?r2，体积公式V??r，是球的半径。

3圆锥的侧面积为?rl，为圆锥底面半径，l为母线.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.命题“?x?R,x3?2x?1?0”的否定是 A．?x?R,x?2x?1?0 C．?x?R,x?2x?1?0

33B．不存在x?R, x?2x?1?0 D．?x?R, x?2x?1?0

33

2.关于命题：A????，命题：A???A，则下列说法正确的是 A．(?p)?q为假 C．(?p)?(?q)为假 3.已知tan(??A．

12

B．(?p)?(?q)为真 D．(?p)?q为真

?4)?3，则tan?的值为

B．??cos?x?f(x?1)?112

(x≤0)(x?0)C．

4314

43D．?14

4.已知f(x)??12，则f()?f(?)的值为

A． B．?12 C．?1 D．

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5.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 Ａ．

40003cm

3Ｂ．

800033cm Ｃ．2000cm

3 Ｄ．4000cm3

10 2010 20正视图

xsinx

20侧视图

20俯视图

6.函数y?，x?(??,0)?(0,?)的图象可能是下列图象中的

?x?4y?3?0?7.变量，满足?3x?5y?25，目标函数z?2x?y，则有

?x?1?A．zmin?3,z无最大值 C．zmax?12,zmin?3

B．zmax?12,无最小值 D．既无最大值，也无最小值

8.已知、b、为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a?b,a?c则b∥； ②若a?b,a?c则b；③若∥b,b则a?c. 其中正确的个数为 A．0个

B．个

C．个

D． 3个

9.已知函数f(x)?Acos(?x??)(A?0,??0,0????)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，

?EFG是边长为的等边三角形，则f(1)的值

为

A．?32 B．?62

C．3 D．?3

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10.点P?2,?1?为圆?x?1??y2?25内弦AB的中点，则直线AB的方程为 A．x?y?1?0

xa222B. 2x?y?3?0 C. x?y?3?0 D. 2x?y?5?0

2211.以双曲线

?yb?1(a?0,b?0)的左焦点为圆心，作半径为b的圆，则圆与双曲线的渐近线

A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定

12.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f(x)的图象恰好通过

n(n?N)个整点，则称函数f(x)为阶整点函数.有下列函数

*①f(x)?x?11x3(x?0) ② g(x)?x ③h(x)?() ④?(x)?lnx x3其中是一阶整点函数的是 A．①②③④

B．①③④

C．④

D．①④

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13.已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为、、3，则这个长方体的外接球的表面积为 .

?14.设i?、j是平面直角坐标系（坐标原点为O）内分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量，且

????OA??2i?j，OB?4i?3j，则?OAB的面积等于 . 15.已知点A(m,n)在直线x?2y?2?0上，则2m?4n的最小值为 . 16.对于正项数列?an?，定义Hn?2n?2na1?2a2?3a3???nan为?an?的“光阴”值，现知某数列的

“光阴”值为Hn?，则数列?an?的通项公式为 . 第 3 页 共 10 页

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三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤． 17．（本小题满分12分）

已知关于的一元二次函数f(x)?ax2?4bx?1.

（Ⅰ）设集合P??1,2,3?和Q???1,1,2,3,4?，分别从集合和Q中随机取一个数作为和b，求函数

y?f(x)在区间[1,??)上是增函数的概率；

?x?y?8?0?（Ⅱ）设点(a,b)是区域?x?0内的随机点，

?y?0?记A?{y?f(x)有两个零点,其中一个大于，另一个小于},求事件发生的概率.

18．（本小题满分12分） 已知函数f(x)?32sin2x?1222(cosx?sinx)?1，x?R,将函数f(x)向左平移

?6个单位后得函

数g(x)，设三角形?ABC三个角、、C的对边分别为、b、. （Ⅰ）若c?7，f(C)?0，sinB?3sinA，求、b的值；

??????（Ⅱ）若g(B)?0且m?(cosA,cosB)，n?(1,sinA?cosAtanB)，求m?n的取值范围.

19．（本小题满分12分） 设同时满足条件：①

bn?bn?22?bn?1；②bn?M(n?N?，M是与无关的常数)的无穷数列{bn}叫

aa?1(an?1)（为常数，且a?0，a?1）．

“嘉文”数列.已知数列{an}的前项和Sn满足：Sn?（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn?

2Snan?1??1，若数列{bn}为等比数列，求的值，并证明此时??为“嘉文”数列.

?bn?第 4 页 共 10 页

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20. （本小题满分12分）

如图，四边形ABCD为矩形，DA?平面ABE,AE?EB?BC?2，BF?平面ACE于点，且点在CE上.

（Ⅰ）求证：DE?BE；

（Ⅱ）求四棱锥E?ABCD的体积；

F D C

（Ⅲ）设点M在线段AB上，且AM?MB， 试在线段CE上确定一点N，使得MN//平面DAE.

21．（本小题满分12分） 已知函数f(x)?12ax?2x， g(x)?lnx.

2A M.

B

E （Ⅰ）如果函数y?f(x)在[1,??)上是单调函数，求的取值范围； （Ⅱ）是否存在正实数，使得函数??x??g(x)x1?f?(x)?(2a?1)在区间(,e)内有两个不同的零

e点？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

22. （本小题满分14分） 已知椭圆C:xa22?yb22?1(a?b?0)的离心率为

63，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角

形的面积为

523.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知动直线y?k(x?1)与椭圆C相交于、两点. ①若线段AB中点的横坐标为?7312，求斜率k的值；

②已知点M(?

????????,0)，求证：MA?MB为定值.

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高三模拟题

数学 (文科) 参考答案及评分标准 2012.01

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． DCADB CCBDC CD

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 14? 14. 5 15. 16． an?2n?12n

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤．

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵函数f(x)?ax2?4bx?1的图象的对称轴为x?要使f(x)?ax2?4bx?1在区间[1,??)上为增函数， 当且仅当a?0且

2ba?1,即2b?a ????????????2分

2ba,

若a?1则b??1，若a?2则b??1,1若a?3则b??1,1 ????????4分 记B?{函数y?f?x?在区间?1,???上是增函数} 则事件包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴P?B??515?13??6分

??a?b?8?0????（Ⅱ）依条件可知试验的全部结果所构成的区域为???(a,b)|?a?0?，

??b?0????其面积S??12?8?8?32 ??????????????8分

???事件构成的区域：A???a,b?????a?b?8?0?????a?0????????a,b?b?0????f?1??0??????a?b?8?0???a?0????

b?0????a?4b?1?0??由??a?b?8?0?a?4b?1?0,得交点坐标为(319,),????????????10分 55第 6 页 共 10 页

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?SA?12?(8?14)?315?96140，∴事件发生的概率为P(A)?SAS??9611280 ??12分

18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）f(x)?32sin2x?12(cosx?sinx)?1

22?32sin2x?12cos2x?1?sin(2x??6)?1 ????????????????1分

f(C)?sin(2C??662)?1?0,所以sin(2C?,),所以2C??62)?1

因为2C??6?(??11?62?6??,所以C??3???????????3分

由余弦定理知：a?b?2abcos?3?7，

因为sinB?3sinA,由正弦定理知：b?3a?????????????????5分 解得：a?1,b?3????????????????????????????6分 （Ⅱ）由条件知g(x)?sin(2x?所以sin(2B?因为2B??6?6)?1所以g(B)?sin(2B??6)?1?0,

?6)?1

?(?13?6,6),所以2B??6??2 即B??6

??m?(cosA,32?)，n?(1,sinA?3333cosA)

???于是m?n?cosA?32(sinA?cosA)?12cosA?32sinA?sin(A??6)?? 8分

?B??6?A?(0,56?),得 A??6?(?6,?)?????????????????10分

∴ sin(A??6???)?(0,1?，即m?n?(0,1????????????????????12分

aa?1an?1

(a1?1)所以a1?a

19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为S1?当n?2时，an?Sn?Sn?1?anan?1aa?1an?aa?1?a，即{an}以为首项，为公比的等比数列．

n?1n?a； ?????????????????4分 ∴an?a?a第 7 页 共 10 页

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2?（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn?(an?1)(3a?1)an?2aa?1， ?1?an(a?1)an3a?2aa若{bn}为等比数列，则有b2?b1?b3，而b1?3，b2?22，b3?3a?2a?2a22

故(3a?2a1)?3?23a?2a?2a2，解得a?13????????????7分

13再将a?3代入得：bn?3n，其为等比数列， 所以a??1bn?21?3n成立????8分

1由于①

bn?1n?223212?13n?213n?2?13n?1?1bn?1???????10分

（或做差更简单：因为

bn?21bn?2?1bn?1?53n?21?13n?1?23n?2?0，所以

bn?1bn?2?1bn?12也成立)

②

1bn?13n?13，故存在M?13；

?1?所以符合①②,故??为“嘉文”数列???????????????12分

?bn?

20. （本小题满分12分）

解（Ⅰ）因为DA?平面ABE，BC∥DA

D C

所以AE?BC，DA?BE 因为BF?平面ACE于点，

AE?BF???????????????2分

A F HM. P

E B

因为BC?BF?B，所以AE?面BEC， 则AE?BE

因为AE?AD?A，所以BE?面DAE，

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则DE?BE????????????????????????????4分 （Ⅱ）作EH?AB，因为面ABCD平面ABE，所以EH?面AC 因为AE?BE，AE?EB?BC?2，所以EH?VE?ABCD?13EH?SABCD?13?2?2?22?83?????????????8分

2??????????6分

（Ⅲ）因为BE?BC，BF?平面ACE于点，所以是EC的中点

设是BE的中点，连接MP,FP???????????????????10分 所以MP∥AE,FP∥DA

因为AE?DA?A，所以MF∥面DAE，则点N就是点???????12分

21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当a?0时，f(x)?2x在[1,??)上是单调增函数，符合题意． ?????????????????????????????1分 当a?0时，y?f(x)的对称轴方程为x??2a，

2a?1，解得a??2或a?0，

由于y?f(x)在[1,??)上是单调函数，所以?综上，的取值范围是a?0，或a??2． ??????????4分 （Ⅱ）??x??lnxx1e?(ax?2)?(2a?1)，

因??x?在区间(,e)内有两个不同的零点,所以??x??0，

2即方程ax?(1?2a)x?lnx?0在区间(,e)内有两个不同的实根. ????5分

1e设H(x)?ax?(1?2a)x?lnx (x?0)，

1x2H?(x)?2ax?(1?2a)??2ax?(1?2a)x?1x12a2?(2ax?1)(x?1)x ???7分

令H?(x)?0，因为为正数，解得x?1或x??1e（舍）

当x?(,1)时, H?(x)?0, H(x)是减函数；

当x?(1,e)时, H?(x)?0，H(x)是增函数. ??????????8分

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为满足题意，只需H(x)在(,e)内有两个不相等的零点, 故

e1??H??H?H??1()?0,e(x)min?H?1??0, 解得1?a?(e)?0,e?e2e?12 ???????????12分

22. （本小题满分14分） 解: （Ⅰ）因为

xa22?yb22222?1(a?b?0)满足a?b?c，

cay?63，????2分

12?b?2c?523。解得a?5,b?2253，则椭圆方程为

x225?53?1 ?????4分

（Ⅱ）（1）将y?k(x?1)代入

x25?y253?1中得

(1?3k)x?6kx?3k?5?0????????????????????6分 ??36k?4(3k?1)(3k?5)?48k?20?0

42222222x1?x2??6k223k?1??????????????????????????7分

因为AB中点的横坐标为?12，所以?26k223k?1??12，解得k??33????9分

（2）由（1）知x1?x2??6k23k?1，x1x2?3k?53k?122

????????7777所以MA?MB?(x1?,y1)(x2?,y2)?(x1?)(x2?)?y1y2 ?????11分

3333?(x1?732)(x2?73)?k(x1?1)(x2?1) 73?k)(x1?x2)?22?(1?k)x1x2?(4992?k???????????????12分

2?(1?k)23k?53k?1222?(73?k)(?26k23k?149)?499?k

2??3k?16k?53k?124?499?k?2????????????????????14分

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