2015届北京海淀区高三数学(理)第一学期期中考试试卷及答案

海淀区高三年级第一学期期中练习

数 学（理） 2014.11

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

（1）设集合A?{x?R|x?1}，B?{x?R|?1≤x≤2}，则A?B?（ ） （A）[?1,??)

（B）(1,??)

（C）(1,2]

（D）[?1,1)

答案：C

解析过程：由集合交集的运算法则可知，x的取值范围是1?x?2，故选C 知识点：集合与常用逻辑用语->集合的运算. 难度：1

（2）已知向量a?(2,?1)，b?(3,x). 若a?b?3，则x?（ ） （A）6

答案：D

（B）5

（C）4

（D）3

??解析过程：由向量数量积的坐标运算可知，a?b=2?3+(-1)x=3，解得x=3.

知识点：平面向量->平面向量基本定理及坐标表示->平面向量坐标运算. 难度：1

（3）若等比数列{an}满足a1?a3?5，且公比q?2，则a3?a5?（ ） （A）10

答案：C

解析过程：代入等比数列的通项公式，a1?a3?a1?a1?q?5，?q=2，?a1=1，

2（B）13 （C）20 （D）25

?a3?a5?a1?q2?a1?q4?20.

知识点：数列->等比数列. 难度：2

（4）要得到函数y?sin(2x? （A）向左平移

?个单位 3?个单位 3π)的图象，只需将函数y?sin2x的图象（ ） 3?（B）向左平移个单位

6（D）向右平移

（C）向右平移

?个单位 6答案：B

解析过程：平移只对x进行，与其前面的系数无关，y=sin(2x+相当于把x平移变成了x+

?3)=sin[2(x+

?6)]，?这个题

?6，所以答案是向左平移

?6个单位.

知识点：三角函数->三角函数->三角函数图像变换. 难度：2

111（5）设a?()3，b?log2，c?log23，则（ ）

32（A）a?b?c

（B）c?a?b

（C）a?c?b

（D）c?b?a

答案：B

解析过程：这是一道比较大小的问题，指对数综合比较大小时，通常借助单调性（同底数）

111或特殊值（0、1等）比较. 根据指对数的性质容易得到0?()3?1,log2?0,log23?1，

23?c>a>b.

知识点：函数与导数->基本初等函数与应用->指数与指数函数；函数与导数->基本初等函数

与应用->对数与对数函数. 难度：3

（6） 设a,b?R，则“ab?0且a?b”是“（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件答案：A

解析过程：由ab>0且a>b可知a、b同号，当a>b>0时，也成立，?充分性成立；当a<0

[来源:学科网]11?”的（ ） ab（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

1111?成立，当0>a>b时，?abab11

?成立，此时“ab>0且a>b”不成立，?必要ab

知识点：不等式->不等式的性质；集合与常用逻辑用语->常用逻辑用语->充分条件与必要条件.

难度：3

???x,x?0,（7）已知函数f(x)??若关于x的方程f(x)?a(x?1)有三个不相等的实数根，

??x,x≥0.则实数a的取值范围是（ ） （A）[,??)

12（B）(0,??) （C）(0,1) （D）(0,)

12答案：D

解析过程：这是一个分段函数， y=a(x+1)是恒过（-1,0）点的一条直线，画出分段函数和直线的图像，如下图所示，要想使得f(x)=a(x+1)有三个不相等的实数根，即直线和函数图像有三个不同的交点，直线的斜率a要比图中相切的时候小，所以此题关键是计算相切时的a的值. 联立??11?y?x解得a??，分析图像知，a>0，?a?，再由图像分析知a大

22??y?a(x?1)1，选D 2于0，?0?a?

知识点：函数与导数->基本初等函数与应用->分段函数，抽象函数与复合函数；函数与导数->基本初等函数与应用->幂函数；函数与导数->函数->零点与方程；函数与导数->函数->函数图象. 难度：4

（8）设等差数列{an}的前n项和为Sn.在同一个坐标系中，an?f(n)及Sn?g(n)的部分图象如图所示，则（ ）

an(Sn)0.77-0.4O-0.88n

（A）当n?4时，Sn取得最大值 （C）当n?4时，Sn取得最小值

（B）当n?3时，Sn取得最大值 （D）当n?3时，Sn取得最小值

答案：A

?a7?0.7?a7?0.7??解析过程：由图像可得，有可能有以下四种情况：（1）?a8??0.4；（2）?S8??0.4；

?S??0.8?S??0.8?7?7?a7??0.8?a7??0.8??（3）?a8??0.4；（4）?S8??0.4代入等差数列的公式验证可得，只有第四组符合，而且

?S?0.7?S?0.7?7?7容易求得a1?1,d??0.3，?a4?0.1?0,a5??0.2?0，?前4项和最大，故选A

知识点：数列->等差数列；数列->数列综合应用. 难度：4

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）设复数z?i，则z?______． 1?i答案：2 2ii(1?i)?1?i211??，? |z|?(?)2?()2?1?i(1?i)(1?i)2222解析过程：z?知识点：推理与证明、数系的扩充与复数->复数->复数乘除和乘方；推理与证明、数系的扩

充与复数->复数->复数概念和向量表示. 难度：2

（10） 已知函数y?2x?a的图象关于y轴对称，则实数a的值是 .

答案：0

解析过程：函数图像关于y轴对称，也就是函数是偶函数，根据偶函数的定义可知

2|?x?a|?2|x?a|，可得a?0.

知识点：函数与导数->函数->函数的奇偶性. 难度：2 （11）

?π?π(x?sinx)dx? ________.

答案：0

解析过程：根据微积分的基本定理，

12?2(??)2????(x?sinx)dx?(2x?cosx)|???(2?cos?)?[2?cos(??)]?0

?知识点：函数与导数->导数->积分. 难度：2

（12）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单

位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为C?池水中药品的浓度达到最大. 答案：2

解析过程：由题意知t>0，C?20t，则经过_______h后2t?420t20204t????5，当且仅当即t=2时等号24tt?4t?42t?tt成立，所以经过2h后药品浓度达到最大.

知识点：不等式->基本不等式->均值定理的应用. 难度：3

AD为BC边上的一点，13、如图所示，在△ABC中， 且BD?2DC.

????????????若AC?mAB?nAD(m,n?R)，则m?n?____.

答案：-2

BDC????????????????3????????3?????????3????1???解析过程：AC?AB?BC?AB?BD?AB?(AD?AB)??AB?AD，所以

222213m??,n?，所以m-n=-2.

22知识点：平面向量->平面向量的概念及几何运算->平面向量的几何运算；平面向量->平面向

量的概念及几何运算->平面向量的线性运算；平面向量->平面向量基本定理及坐标表示->平面向量基本定理. 难度：3

（14）已知函数f(x)?Asin(?x??)（A,?,?是常数，A?0,??0）的最小正周期为π,

设集合M?{直线ll为曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线，x0?[0,π)}.若集合

M中有且只有两条直线互相垂直，则?= ；A= .

1答案：2；

2

解析过程：最小正周期T?2???，w=2；切线的斜率为k?f'(x)?2Acos(2x??),两条w直线互相垂直的充要条件是斜率相乘为-1（斜率存在时），结合斜率的余弦型函数可得，要使得在一个周期内，只有两条直线互相垂直，只有最大值为1，最小值为-1时才可满足，故2A=1，A=

1. 2知识点：推理与证明、数系的扩充与复数->推理与证明->合情推理与演绎推理；函数与导数->导数->导数的概念和几何意义；三角函数->三角函数->三角函数的图像与性质. 难度：4

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （15）（本小题满分13分）

已知函数f(x)?sinx?sin(x?（Ⅰ）求f()的值；

（Ⅱ）求f(x)的单调递增区间. 答案：见解析

解析过程：解：（Ⅰ）f()?sinπ). 3π2πππ11?sin(?)?1??. 22322π（Ⅱ）f(x)?sinx?sin(x?)

3ππ ?sinx?(sinxcos?cosxsin)

33π2x?( ?sin12sixn?321cxos?)23xs?in2πxc?osx?s. in(3) ?函数y?sinx的单调递增区间为[2kπ? 由2kπ?ππ,2kπ?](k?Z)， 22πππ≤x?≤2kπ?(k?Z)， 232π5π(k?Z). 得2kπ?≤x≤2kπ?66π5π](k?Z). 所以 f(x)的单调递增区间为[2kπ?,2kπ?66知识点：三角函数->三角恒等变换->两角和与差的三角函数；三角函数->三角恒等变换->恒

等变换综合；三角函数->三角函数->三角函数的图像与性质；三角函数->三角函数->三角函数综合. 难度：2

（16）（本小题满分13分）

已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1?（Ⅰ）求{an}的通项公式；

[来源学科网]1，且a1,a3,?a2成等差数列. 2

（Ⅱ）求数列{an?n}的前n项和Sn. 答案：见解析

解析过程：解：（Ⅰ）因为 a1,a3,?a2成等差数列，

所以 2a3?a1?a2. 设数列{an}的公比为q(q?0)，由a1?即2q?q?1?0.

211211可得2?q??q， 22221或q??1（舍）. 211n?11 所以 an??()?n.

2221（Ⅱ）由（Ⅰ）得：an?n?n?n.

21111 所以 Sn??1?2?2?3?3???n?n

22221111 ??2?3???n?1?2?3???n

222211(1?n)2?n(n?1)?1?1?n(n?1). ?2n12221?2解得：q?知识点：数列->等比数列；数列->等差数列；数列->数列的求和->公式法，分组求和. 难度：2

A（17）（本小题满分13分）

如图所示，在四边形ABCD中，?D?2?B，且

DAD?1,CD?3,cosB?3. 3BC（Ⅰ）求△ACD的面积； （Ⅱ）若BC?23，求AB的长.

答案：见解析

解析过程：解：（Ⅰ）因为 ?D?2?B，cosB?所以 cosD?cos2B?2cosB?1??因为 ?D?(0,π)，

23， 31. 3所以 sinD?1?cosD?因为 AD?1,CD?3，

222. 3所以 △ACD的面积S?21122AD?CD?sinD??1?3??2. 22322（Ⅱ）在△ACD中，AC?AD?DC?2AD?DC?cosD?12. 所以 AC?23. 因为 BC?23，ACAB?， sinBsin?ACB 所以

23ABABABAB. ????sinBsin(??2B)sin2B2sinBcosB23sinB3 所以 AB?4.

知识点：三角函数->解三角形->正弦定理；三角函数->解三角形->余弦定理；三角函数->解三角形->解斜三角形；三角函数->三角函数->同角三角函数的基本关系式；三角函数->三角恒等变换->倍角公式. 难度：3

（18）（本小题满分14分）

已知函数f(x)?2alnx?x2?1.

（Ⅰ）若a?1,求函数f(x)的单调递减区间；

（Ⅱ）若a?0，求函数f(x)在区间[1,??)上的最大值； （Ⅲ）若f(x)?0在区间[1,??)上恒成立，求a的最大值. 答案：见解析

2解析过程：解：（Ⅰ）当a?1时，f(x)?2lnx?x?1.

2?2(x2?1)f?(x)??2x?，x?0.

xx?2(x2?1)?0. 令f?(x)?x 因为 x?0，

所以 x?1. 所以 函数f(x)的单调递减区间是(1,??).

2a?2(x2?a) （Ⅱ）f?(x)?,x?0. ?2x?xx令f'(x)?0，由a?0，解得x1?a，x2??a（舍去）.

① 当a?1，即0?a?1时，在区间[1,??)上f'(x)?0，函数f(x)是减函数. 所以 函数f(x)在区间[1,??)上的最大值为f(1)?0；

② 当a?1，即a?1时，x在[1,??)上变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表

x f'(x) 1 (1,a) + ↗ a 0 alna-a+1 (a,+?) - ↘ f(x)

0 所以 函数f(x)在区间[1,??)上的最大值为f(a)?alna?a?1.

综上所述：当0?a?1时，函数f(x)在区间[1,??)上的最大值为f(1)?0； 当a?1时，函数f(x)在区间[1,??)上的最大值为f(a)?alna?a?1. （Ⅲ）由（Ⅱ）可知：当0?a?1时，f(x)?f(1)?0在区间[1,??)上恒成立； 当a?1时，由于f(x)在区间[1,a]上是增函数， 所以 f(a)?f(1)?0,即在区间[1,??)上存在x?所以此时不成立.

综上所述，a的最大值为1.

知识点：函数与导数->导数->利用导数研究函数的单调性；函数与导数->导数->利用导数求

a使得f(x)?0

最值和极值；函数与导数->导数->导数的综合运用. 难度：4

（19）（本小题满分13分）

已知数列{an}的前n项和Sn?（Ⅰ）求a1的值；

（Ⅱ）求证：(n?2)an?1?(n?1)an?1(n?2)； （Ⅲ）判断数列{an}是否为等差数列，并说明理由. 答案：见解析 解析过程：

（Ⅰ）解：由题意知：S1?n(1?an)(n?1,2,3,?). 21?a11?a1，即a1?. 22 解得：a1?1.

n(1?an)(n?1,2,3,?)， 2(n?1)(1?an?1) 所以 Sn?1?（n≥2）.

2 （Ⅱ）证明：因为 Sn? 因为 an?Sn?Sn?1（n≥2）. 所以 an?nan?1?(n?1)an?1，即(n?2)an?1?(n?1)an?1(n?2).

2 （Ⅲ）数列{an}是等差数列.理由如下：

(n?2)(1?an?2)（n≥3），由（Ⅱ）可得：

2(n?1)an?1?1?(n?2)an?2an?1?Sn?1?Sn?2?（n≥3）.

2na?2(n?1)an?1?(n?2)an?2所以 an?an?1?n，

2又Sn?2?即(n?2)an?2(n?2)an?1?(n?2)an?2?0. 因为 n≥3，

所以 an?2an?1?an?2?0，即an?an?1?an?1?an?2（n≥3）. 所以 数列{an}是以1为首项，a2?1为公差的等差数列.

知识点：数列->等差数列；数列->等比数列；数列->数列的概念与通项公式；数列->数列的

递推关系；数列->数列综合应用. 难度：4

（20）（本小题满分14分）

11C:y?f(x)，为曲线在点(?1,)处的切线. L5x2?16x?2312（Ⅰ）求L的方程；

设函数f(x)?11（Ⅱ）当x??时，证明：除切点(?1,)之外，曲线C在直线L的下方；

512（Ⅲ）设x1,x2,x3?R，且满足x1?x2?x3??3，求f(x1)?f(x2)?f(x3)的最大值． 答案：见解析

解析过程：解：（Ⅰ）f?(x)??所以 f?(?1)??10x?16.

(5x?16x?23)221. 2411所以 L的方程为y?1??1(x?1)，即y??x?．

24241224（Ⅱ）要证除切点(?1,1)之外，曲线C在直线L的下方，只需证明121111恒成立. ??x??x?(??,?1)?(?1,?)，25x?16x?2324245因为 5x2?16x?23?0，

1所以 只需证明?x?(??,?1)?(?1,?)，5x3?11x2?7x?1?0恒成立即可．

51设g(x)?5x3?11x2?7x?1 (x≤?).

5则g?(x)?15x2?22x?7?(x?1)(15x?7).

令g?(x)?0，解得x1??1，x2??7. 151当x在(??,?]上变化时，g'(x),g?x?的变化情况如下表

5x g'(x) (??,?1) + ↗ (?1,??1 7)15- 7 150 (-71,-) 155+ ↗ 1? 5 0 0 15- ↘ g(x)

0 1)之外，12所以 ?x?(??,?1)?(?1,?)，5x3?11x2?7x?1?0恒成立, 即除切点(?1,曲线C在直线L的下方.

111（Ⅲ）（ⅰ）当x1??,x2??,且x3??时，

555111≤?x1?由（Ⅱ）可知：f(x1)?2，

5x1?16x1?232424f(x2)?111111≤?x2?，f(x3)?2. ≤?x3?5x2?16x2?2324245x3?16x3?2324242三式相加，得f(x1)?f(x2)?f(x3)??因为 x1?x2?x3??3，

11(x1?x2?x3)?. 2481所以 f(x1)?f(x2)?f(x3)≤，且当x1?x2?x3??1时取等号．

41（ⅱ）当x1,x2,x3中至少有一个大于等于?时，

518511851不妨设x1≥?，则5x12?16x1?23?5(x1?)2?≥5(??)2??20，

5555558515185151因为 5x22?16x2?23?5(x2?)2?≥，5x32?16x3?23?5(x3?)2?≥，

555555所以 f(x1)?f(x2)?f(x3)≤1551???． 20515141. 4知识点：函数与导数->导数->导数的概念和几何意义；函数与导数->导数->利用导数研究函数的单调性；函数与导数->导数->利用导数求最值和极值；函数与导数->导数->导数的综合运用. 难度：5

综上所述，当x1?x2?x3??1时f(x1)?f(x2)?f(x3)取到最大值

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