江苏省南京师大附属实验学校2012-2013学年高二下学期期中考试数

2012-2013学年江苏省南京师大附属实验学校高二（下）期中数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、填空题：本大题共17小题，每小题5分，共计85分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={1，2，5}，则A∩B= {1，2} ． 考点： 交集及其运算． 专题： 计算题． 分析： 利用交集的定义找出A，B的所有的公共元素组成的集合即为A∩B． 解答： 解：∵集合A={1，2，3}，B={1，2，5}， ∴A∩B={1，2} 故答案为：{1，2}． 点评： 本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，属于基础题． 2．（5分）复数（2+i）i在复平面上对应的点在第 二 象限． 考点： 复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算． 专题： 计算题． 分析： 本题考查的知识点是复数的几何意义，处理的方法是，先将复数（2+i）i化为代数形式即a+bi的形式后，再判断a，b的符号，进行判断． 解答： 解：∵（2+i）i=﹣1+2i 又∵﹣1＜0，2＞0 故复数（2+i）i在复平面上对应的点在第二象限 故答案为：二 点评： 要判断复数对应的点在第几象限，要先将复数化为代数形式，即a+bi的形式后，再判断a，b的符号，进行判断． 3．（5分）如图，给出一个算法的伪代码，则f（﹣3）+f（2）= ﹣8 ． 考点： 伪代码．

专题： 常规题型． 分析： 首先根据伪代码翻译为数学函数式，然后将﹣3，2分别代入函数表达式进行求解即可． 解答： 解：根据题意： 如果x≤0，则执行f（x）=4x 如果x＞0，则执行f（x）=2 当x=﹣3时，f（﹣3）=4×（﹣3）=﹣12 2当x=2时，f（2）=2=4 ∴f（﹣3）+f（2）=﹣8 故答案为：﹣8 点评： 本题考查伪代码，需要将伪代码翻译为数学函数表达式再代入求解，属于基础题． 4．（5分）（2013?南通二模）某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间（单位：分钟）用茎叶图表示（如图），图中左列表示训练时间的十位数，右列表示训练时间的个位数，则该运动员这7天的平均训练时间为 72 分钟．

x

考点： 茎叶图；众数、中位数、平均数． 专题： 概率与统计． 分析： 先由茎叶图写出所有的数据，求出所有数据和，再利用和除以数据的个数，得到该运动员的平均训练时间． 解答： 解：有茎叶图知，天中进行投篮训练的时间的数据为 64，65，67，72，75，80，81； ∴该运动员的平均训练时间为：=72． 故答案为：72． 点评： 解决茎叶图问题，关键是能由茎叶图得到各个数据，再利用公式求出所求的值． 5．（5分）根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为 35 ．

考点： 伪代码． 专题： 图表型． 分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13时，S的值． 解答： 解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13值． ∵S=1+4+7+10+13=35， 故输出的S值为35． 故答案为：35． 点评： 本题考查的知识点是伪代码，其中根据已知分析出循环的循环变量的初值，终值及步长，是解答的关键． 6．（5分）（2013?盐城二模）现有在外观上没有区别的5件产品，其中3件合格，2件不合格，从中任意抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为

．

考点： 古典概型及其概率计算公式． 专题： 概率与统计． 分析： 分别求出基本事件的总数和要求事件包含的基本事件的个数，根据古典概型的概率计算公式即可得出． 解答： 解：从5件产品中任意抽取2有=10种抽法，其中一件合格、另一件不合格的抽法有=6种． ． 根据古典概型的概率计算公式可得一件合格，另一件不合格的概率P=故答案为． 点评： 熟练掌握古典概型的概率计算公式和排列与组合的计算公式是解题的关键． 7．（5分）某单位有职工52人，现将所有职工按l、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是 19号 ． 考点： 系统抽样方法． 专题： 概率与统计． 分析： 根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则，构造一个等差数列，将四个职工的号码从小到大成等差数列，建立等式关系，解之即可． 解答： 解：设样本中还有一个职工的编号是x号， 则用系统抽样抽出的四个职工的号码从小到大排列：6号、x号、32号、45号，它们构成等差数列， ∴6+45=x+32， x=6+45﹣32=19 因此，另一学生编号为19． 故答案为：19号． 点评： 系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的，系统抽样的原则是等距，抓住这一原则构造等差数列，是我们常用的方法． 8．（5分）如图，某人向半径为1圆内投镖，如果他每次都投中圆内，那么他投中正方形区域的概率为

．（结果用分数表示）

考点： 几何概型． 专题： 计算题． 分析： 本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出正方形区域对应图形的面积，及整个事件的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解． 解答： 解：如图所示，设圆的半径R=1， ∴圆的面积为π 且圆内接正方形的对角线长为2R=2， ∴圆内接正方形的边长为 ∴圆内接正方形的面积为2 则投中正方形区域的概率为P=故答案为：． 点评： 本题考查的知识点是几何概型的意义，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型． 9．（5分）（2013?徐州一模）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000）（元）内应抽出 25 人．

考点： 用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图． 专题： 图表型． 分析： 直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可． 解答： 解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人 按分层抽样应抽出2500×=25人． 故答案为：25． 点评： 本题考查频率分布直方图与分层抽样的规则，解题的关键是从直方图中求得相应收入段的频率，再根据分层抽样的规则计算出样本中本收入段应抽的人数． 10．（5分）根据如图所示的算法，可知输出的结果为 16 ．

考点： 循环结构． 专题： 图表型． 分析： 当a=1，=1，满足条件a＜4，执行循环体，依此类推，直到不满足条件a＜4，退出循环体，从而求出最后的b值即为所求． 解答： 解：由图知，起始数据为a=1，b=1 第一次执行循环体后 b=2，a=2，满足条件a＜4， 第二次执行循环体 b=4，a=3，满足条件a＜4， 第三次执行循环体 b=16，a=4，不满足条件a＜4，退出循环体； 运行后输出的结果为b=16． 故答案为：16． 点评： 本题主要考查了当型循环结构，根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，属于基础题． 11．（5分）（2009?聊城二模）一容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：[10，20]，2；（20，30]，3；（30，40]，4；（40，50]，5；（50，60]，4；（60，70]，2．则样本在（﹣∞，50]上的频率是 0.7 ． 考点： 频率分布表． 分析： 求出样本容量，及样本在（﹣∞，50]上的样本频数，利用频率=求出频率． 解答： 解：由题意知样本容量n=20，

（﹣∞，50]上的频数为m=2+3+4+5=14， 则频率是． 故答案为：0.7 点评： 解决频率表中的频率问题，一般用到的公式是频率= 12．（5分）设P在[0，5]上随机地取值，求方程x+px++=0有实根的概率 2

．

考点： 几何概型． 专题： 计算题． 分析： 由题意知方程的判别式大于等于零求出p的范围，再判断出所求的事件符合几何概型，再由几何概型的概率公式求出所求事件的概率． 解答： 22解：若方程x+px++=0有实根，则△=（p）﹣4×（+）≥0， 即p﹣p﹣2≥0，解得，m≥2或 m≤﹣1； ∵记事件A：设P在[0，5]上随机地取值， 由方程x+px++=0有实根符合几何概型， ∴P（A）=故答案为：． 点评： 本题考查了求几何概型下的随机事件的概率，即求出所有实验结果构成区域的长度和所求事件构成区域的长度，再求比值． 13．（5分）口袋中有大小、形状都相同的2只白球和1只黑球，先摸出1只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出1只球，则出现“两次摸出的球颜色相同”的概率是

．

=． 22 考点： 相互独立事件的概率乘法公式． 专题： 计算题；分类讨论． 分析： 本题是一个有放回抽取的概率模型，故每次抽取时出现在同种颜色的球的概率是不变的，事件“两次摸出的球颜色相同”包括了两次摸出的都是黑球与都是白球两种情况，分别计算出它们发生的概率，求和既得答案 解答： 解：若两次抽取的球都是黑球，则它发生的概率是= 若两次抽取的球都是白球，则它发生的概率是所以事件“两次摸出的球颜色相同”的概率是+= 故答案为 = 点评： 本题考查相互独立事件的概率乘法公式，解题的关键是理解事件“两次摸出的球颜色相同”，本题的难点是理解事件两球颜色相同的抽取方法，能从中抽象出两次抽取之间是一个相互独立事件． 14．（5分）已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，利用组中值计算200辆汽车的平均时速为 67 km/h．

考点： 频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布． 专题： 概率与统计． 分析： 利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和即为数据的平均数，从而求出结果． 解答： 解：根据频率分布直方图可知，从左往右各个小组的频率分别为： 0.01×10，0.03×10，0.04×10，0.02×10．即0.1，0.3，0.4，0.2． ∴200辆汽车通过该路段时的平均时速是0.1×50+0.3×60+0.4×70+0.2×80=67， 即估计此200辆汽车的平均时速为 67． 故答案为：67． 点评： 解决频率分布直方图的有关特征数问题，平均数等于各个小矩形的面积乘以对应的矩形的底边中点的和，属于基础题． 15．（5分）运行如图的算法，则输出的结果是 25 ．

考点： 循环结构． 专题： 阅读型． 分析： 依次讨论x执行循环体后的值是否满足条件x＜20，一旦不满足就退出循环，输出x的值，解题的关键是弄清循环的次数． 解答： 解：第一次：x=1，满足条件x＜20 第二次：x=4，满足条件x＜20 第三次：x=25，不满足条件x＜20 故退出循环，此时x=25 故答案为：25 点评： 本题主要考查了当型循环，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题． 16．（5分）如图所示的流程图，若输出的结果是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为 16 ．

考点： 循环结构． 专题： 常规题型． 分析： 结合此程序框图，由于循环次数并比较少，可把每一次循环写出来，即可得到正确答案 解答： 解：在循环体内部，执行运算s=s+i，i=i+2，可知当执行完第四次循环后s=1+3+5+7=16，i=9 ∴第4次循环是最后一次循环 返回判断条件时，应不满足判断条件，退出循环 即s=16时，不满足判断条件 故答案为：16 点评： 考察循环结构，注意循环结构中的运算顺序，要求有较好的观察能力和逻辑推理能力 17．（5分）（2010?沈阳一模）一只蚂蚁在三边边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为

．

考点： 几何概型． 专题： 计算题． 分析： 本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1时对应线段的长度，并将它同三角形的周长一齐代入几何概型的计算公式，进行求解． 解答： 解：如下图所示，当蚂蚁位于图中红色线段上时，距离三角形的三个顶点的距离均超过1， 由已知易得：红色线段的长度和为：6 三角形的周长为：12 故P== 故答案为： 点评： 几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解． 二、解答题：本大题共5小题，共计75分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（14分）为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中抽取10株苗，测得苗高如下：

12 13 14 15 10 16 13 11 15 11 甲 11 16 17 14 13 19 6 8 10 16 乙 （1）分别计算两组数据的方差． （2）请说明哪种小麦长得比较整齐？ 考点： 极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数． 专题： 概率与统计． 分析： （1）根据题意，先求出其平均数，再根据方差的计算方法计算方差； （2）方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．要比较甲、乙两种小麦的长势更整齐，需比较它们的方差，进行比较可得结论． 解答： 解：（1）甲=×（12+13+…+11）=13， s甲=乙2×[（12﹣13）+（13﹣13）+…+（11﹣13）]=3.6， ×（11+16+…+16）=13， ×[（11﹣13）+（16﹣13）+…+（16﹣13）]=15.8， 22222222=2s乙=（2）由（1）知，因为s甲＜s乙，所以甲种麦苗长势整齐． ∴甲种小麦长势比乙种小麦整齐． 点评： 学生从自己的生活中提出与典型案例类似的统计问题．在提出这些问题后，要考虑问题中的总体是什么，要观测的变量是什么，如何获取样本，培养学生从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题的能力． 19．（14分）已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为（x，y），求当x，y∈R时，P满足（x﹣2）+

2

（y﹣2）≤4的概率． 考点： 几何概型． 专题： 计算题；概率与统计． 分析： 根据题意，满足|x|≤2且|y|≤2的点P在如图的正方形ABCD及其内部运动，而满足（x﹣2）+（y﹣2）≤4的点P在以C为圆心且半径为2的圆及其内部运动．因此，所求概率等于圆C与正方形ABCD重叠部分扇形面积与正方形ABCD的面积之比，根据扇形面积和正方形面积计算公式，即可求出本题的概率． 解答： 解：如图，点P所在的区域为正方形ABCD及其内部 22满足（x﹣2）+（y﹣2）≤4的点位于的区域是 以C（2，2）为圆心，半径等于2的圆及其内部 22∴P满足（x﹣2）+（y﹣2）≤4的概率为 P1=== 22222

答：当|x|≤2，|y|≤2且x，y∈R时，P满足（x﹣2）+（y﹣2）≤4的概率为． 点评： 本题给出点P满足的条件，求点P到点C（2，2）距离小于或等于2的概率．着重考查了正方形、扇形面积计算公式和几何概型计算公式等知识，属于基础题． 20．（15分）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，问： （1）两数之和为8的概率；

（2）两数之积是6的倍数的概率．

（3）以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点（x，y）在直线x﹣y=3的下方区域的概率． 考点： 古典概型及其概率计算公式． 专题： 概率与统计． 分析： （1）写出一颗骰子先后抛掷2次出现点数的所有可能情况，查出点数和等于8的事件个数，代入古典概型的概率计算公式求解； （2）在36个等可能基本事件中，找出两数之积是6的倍数的事件个数，代入古典概型的概率计算公式求解； （3）要使第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点（x，y）在

直线x﹣y=3的下方区域，利用线性规划知识可知需要保证点的横坐标与纵坐标的差大于3，在36个基本事件中只有（5，1）（6，1）（6，2）满足，仍利用古典概率模型的概率计算公式求解． 解答： 解：（1）将一颗骰子先后抛掷2次，向上的点数的可能情况共有如下： （1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6） （2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6） （3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6） （4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6） （5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6） （6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6） 其中两数之和为8的有5种，故两数之和为8的概率P=； （2）问题中同样含有36个等可能基本事件，记“向上的两数之积是6的倍数”为事件A， 由（1）表可知，事件A含有（2，3）（3，2）（3，4）（4，3）（1，6）（2，6） （3，6）（4，6）（5，6）（6，6）（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5） 共15个等可能基本事件，所以P（A）=； （3）此问题中含有36个等可能基本事件，记“点（x，y）在直线x﹣y=3的下方区域”为事件B， 则事件B含有的等可能基本事件应满足x﹣y＞3．为（5，1）（6，1）（6，2）共3个等可能基本事件． 所以P（B）=． 点评： 本题考查了古典概率模型及其概率计算公式，考查了线性规划知识，解答此题的关键是做到列举事件不重不漏，特别是（3）的转化是该题的关键点，此题是基础题． 21．（16分）为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组如下： 分组 频数 频率 3 [10.75，10.85） 9 [10.85，10.95） 13 [10.95，11.05） [11.05，11.15） 16 [11.15，11.25） 26 [11.25，11.35） 20 [11.35，11.45） 7 a [11.45，11.55） [11.55，11.65） m 0.02 （1）求出表中的a，m的值；

（2）据上述图表，估计数据落在[10.95，11.35）范围内的可能性是多少？ （3）数据小于11.20的可能性是百分之几？ 考点： 用样本的频率分布估计总体分布． 专题： 计算题． 分析： （1）由频率=及表中的数据可得m，进而可得故落在[11.45，11.55）的数据，进而可求a；（2）由上表可知数据落在[10.95，11.35）的有13+16+26+20=75个，进而可得可能性；（3）同理可得数据小于11.20的约为67，进而可得可能性． 解答： 解：（1）由频率=可得0.02=，解得m=2， 故落在[11.45，11.55）的数据为100﹣（3+9+13+16+26+20+7+2）=4， 故a==0.04； （2）由上表可知数据落在[10.95，11.35）的有13+16+26+20=75， 故数据落在[10.95，11.35）范围内的可能性是=75%； （3）由上表可知数据小于11.20的约为3+9+13+16+26=67， 故数据小于11.20的可能性是=67% 点评： 本题考查用样本的频率估计总体的分布，属基础题． 22．（16分）将完全相同的3个球随机地放入1，2，3号盒子中（每盒放球数不限），求： （1）3个球放入同一个盒子的概率； （2）3个盒子中都有球的概率； （3）至少有一个盒子没球的概率； （4）恰有一个盒子没有球的概率． 考点： 古典概型及其概率计算公式． 专题： 概率与统计． 3分析： 由分步乘法原理可知，将完全相同的3个球随机地放入1，2，3号盒子中，共有3=27种放法，每种放法是等可能的． （1）事件A“3个球放入同一个盒子”的放法有3种：3个球放入1号盒子，或2号盒子，或3号盒子．利用古典概型的概率计算公式即可得出． （2）事件B“3个球放入3个盒子，每个盒子中都有球”，等价于每个盒子只放1个球，有种方法．利用古典概型的概率计算公式即可得出． （3）事件C“3个球放入3个盒子，至少有一个盒子没球”与事件B是对立事件，利用对立事件的概率计算公式即可得出． （4）事件D“3个球放入3个盒子，恰有一个盒子没有球”与事件D，A的关系是：C=D+A，并且事件D和A是互斥事件，利用互斥事件的概率计算公式即可得出． 解答： 解：由分步乘法原理可知，将完全相同的3个球随机地放入1，2，3号盒子中，共有33=27种放法，每种放法是等可能的． （1）记“3个球放入同一个盒子的概率”为事件A． 3个球放入同一个盒子的放法有3种：3个球放入1号盒子，或2号盒子，或3号盒子． 故． （2）记“3个球放入3个盒子，每个盒子中都有球”为事件B． 3个球放入3个盒子，每个盒子中都有球，等价于每个盒子只放1个球，有方法． 故． =6种（3）记“3个球放入3个盒子，至少有一个盒子没球”为事件C． 因为事件C是事件B的对立事件，所以． （Ⅳ）记“3个球放入3个盒子，恰有一个盒子没有球”为事件D．由题意可知，C=D+A． 因为事件D和A是互斥事件，所以P（C）=P（D）+P（A），． 点评： 正确理解分步乘法原理、古典概型的概率计算公式、对立事件的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式、全排列的意义是解题的关键．

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