人教版九年级数学上册：22.1.4 二次函数 的图象和性质

2y?a(x?h)?k(a?0)的图像和性质

22.1.4二次函数

一、理解新知

1、直线x=h （h，k） 2、相同 不同 向右平移h个单位，再向上平移k个单位； 向右平移h个单位，再向下平移|k|个单位；向左平移|h|个单位，再向上平移k个单位； 向左平移|h|个单位，再向下平移|k|个单位。 3、上 减 增 低；下 增 减 高 二、知识巩固练习： （一）选择：

1、B 2、C 3、B 4、D 5、C 6、C 7、C 8、C （二）填空：

1、直线x=-3 （-3，-1） <-3 >-3 大 -1

2、>0 <0 3、> 4、x?2 5、18

2y??(x?2)?2 6、右 3 上 1 7、22y?2(x?1)?1y?2(x?1)?1 8、

19、3 3 -2 10、①

?（三）解答：

1、解：?二次函数的图象顶点为（?1，5）?设二次函数的解析式为y?a(x?1)2?5又?图象过点（1，2）3?y??(x?1)2?542、解：?x?2时函数y取得最大值3?设抛物线解析式为y?a(x?2)2?3又?抛物线过点（1，1）?y??2(x?2)2?3?a(1?2)2?3?1a??2

?a(1?1)2?5?2a??34

3、解：（1）抛物线的开口向上，对称轴为直线x?1(2)y有最小值，当x?1时，ymin??3（3）令x?0得y?3932?3??令y?0得（x?1）?3?0解得x1?3,x2??1444即与x轴得交点为（3，0）或（?1，0）9则P（0，?），Q（3，0）或（?1，0），所以直线PQ可分两种情况：43?9k??1?9?b??410若P（0，?），Q(3,0)设lPQ:y?k1x?b1,则?1解得?494??b1???3k1?b1?04?39?y?x?44920若P（0，?），Q（?1，0）499?y??x?44设lPQ9?9k????2?b2??4:y?k2x?b2,则?4解得?9??b2????k2?b2?04?综上所述，直线PQ的解析式为y?3999x?或y??x?44444、解：（1）?二次函数的图象顶点为A（1，?4）?设二次函数的解析式为y?a(x?1)2?4又?二次函数图象过点B（3，0）?y?(x?12?4)(2)?抛物线对称轴为直线x?1,开口向上?当?3?x?1时，y随x的增大而减小，当1?x?3时，y随x的增大而增大（3）将抛物线y?(x?1)2?4向左平移1个单位，再向上平移4个单位即可实现抛物线顶点为原点?a(3?1)2?4?0解得a?15、解：（1）?抛物线解析式为y?(x?m)2?k的顶点为M（1，?4）?y?(x?1)2?4?A(?1,0),B(3,0)(2)??PAB与?MAB同底，且S?PAB??yP?5S?MAB4令y?0得(x?1)2?4?0解得x1?3,x2??155yM??4?5即yP??544又?点P在y?(x?1)2?4的图象上?yP??4

?yP?5,则(x?1)2?4?5，解得x1?4,x2??2?存在合适的点P，坐标为（4，5）或（?2，5）

2y?ax?bx?c(a?0)的图象和性质

22.1.4二次函数

一、理解新知

b4ac?b24ac?b2bbx????，2a2a4a4a 1、直线 （） 顶 2a

2、y轴

?? 向上 低 二、知识巩固练习： （一）选择：

bbbb??????2a 2a；向下 高 2a 2a

1、B 2、C 3、D 4、D 5、B 6、B 7、D 8、B （二）填空：

1、下 x=1 （1，1） 1 2、-90

x?

3、-6 4、

1

2 5、1

6、（4，3） 7、> 8、

y3?y2?y1

2y??x?2x?3 10、④ 9、

（三）解答：

b1????2a????2a2??1、解：由已知得解得?b?2?a?b?c?4?25a?5b?c?0?c?5??2??15则抛物线的解析式为y??x2?2x?22

2、解：（1）由已知得E(2,3)、C(0,3),则抛物线的对称轴为直线x?1b??b?2??1则?2解得??c?3??c?3(2)?抛物线的顶点为点D令y?0得?x2?2x?3?0?S?ABD?4?4?82则抛物线的解析式为y??x2?2x?3?xD?1yD??1?2?3?4即D（1，4）即A（?1，0）B（3，0）

解得x1??1,x2?3

3、解：（1）?点A（3，0）在抛物线y??x2?2x?m上??9?6?m?0解得m?3(2)当m?3时，y??x2?2x?3?B(?1,0)(3)令x?0,得y?3,即C（0，3）由S?ABD?S?ABC得|y|?yC?3即D（2，3）4、解：(1)?抛物线y??x2?bx?c与x轴交于点A（1，0），B（?3，0）?y??(x?1)(x?3)??x2?2x?3(2)?点A、B关于对称轴对称又?C?QAC?QA?QC?AC?点Q为BC与对称轴的交点令x?0代入y??x2?2x?3得y?3即C（0，3）??3k1?b1?0?k?1则?解得?1?y?x?3b1?3?b1?3??对称轴为x??1?令x??1得y?2?Q（?1，2）设lBC:y?k1x?b1?QA?QB而AC的长度固定令y?0得?x2?2x?3?0,解得x1?3,x2??1由y?0得y?3即?x2?2x?3?3解得x1?0,x2?2?若使C?QAC最小，则使QA?QC最小，则QB?QC最小

5、解：（1）?点A为抛物线y?x2?2x?1的顶点?xA?1，yA??2即A（1，?2）?抛物线y?ax2?bx的顶点B在抛物线y?x2?2x?1的对称轴上bb?2a?1,b??2a?xC?????2即C（2，0）2aaa（2）当四边形AOBC为菱形时，由菱形的对角线互相垂直平分可知点B（1，2）?xB?1,则??b??2a?a??2则?解得??b?4?a?b?2

?y??2x2?4x

22.1.4 二次函数

y?ax2?bx?c(a?0)的图象和性质

知识点：1、二次函数y?ax2?bx?c的对称轴为 ，顶点坐标为 ，它的最高（低）点在 点，当x? 时，它有最大（小）值，值为 。 2、在抛物线y?ax2?bx?c中，c为抛物线与 交点的纵坐标。

当a?0时，图象开口 ，有最 点，且x 时，y随x的增大而增大，x 时，y随x的增大而减小；

当a?0时，图象开口 ，有最 点，且x 时，y随x的增大而增大，x 时，y随x的增大而减小；

3、抛物线y?ax2?bx?c可由抛物线y?ax进行左（右）、上（下）平移得到。 一、选择题：

1、抛物线y??x2?4x?7的顶点坐标为（ ）

A、（-2,3） B、（2,11） C、（-2,7） D、（2，-3） 2、若抛物线y?x2?2x?c与y轴交于点（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A、抛物线开口方向向上 B、抛物线的对称轴是直线x?1

C、当x?1时，y的最大值为-4 D、抛物线与x轴的交点为（-1,0），（3,0） 3、要得到二次函数y??x?2x?2的图象，需将y??x的图象（ ）

A、向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B、向右平移2个单位，再向上平移2个单位 C、向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D、向右平移1个单位，再向下平移1个单位 4、在平面直角坐标系中，若将抛物线y?2x?4x?3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后，所得到的抛物线的顶点坐标为（ ） A、（-2,3） B、（-1,4） C、（1,4） D、（4,3）

5、抛物线y?x?bx?c的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y?x?2x?3，则b、c的值为（ ）

A、b?2,c?2 B、b?2,c?0 C、b??2,c??1 D、b??3,c?2 6、二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（-1，0）．设

222222

t=a+b+1，则t值的变化范围是（ ）

A．0＜t＜1 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．-1＜t＜1 7、已知二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象如图所示对称轴为x=?结论中，正确的是（ ）

A．abc?0 B．a?b?0 C．2b?c?0 D．4a?c?2b 8、二次函数y?ax2?bx?c的图像如图所示，反比列函数y?1．下列2a与正比列函数xy?bx在同一坐标系内的大致图像是（ ）

y O 二、填空题：

1、抛物线y??4x2?8x?3的开口方向向 ，对称轴是 ，最高点的坐标是 ，函数值得最大值是 。

2、抛物线y?2x2?12x?12变为y?a(x?m)2?n的形式，则m?n= 。

23、抛物线y??x?bx?c的最高点为（-1，-3），则b?c? 。

2y x y y y O A

x O B

x O C

x O D

x 4、若二次函数y?x?bx?c的图象经过点（-1,0），（1，-2），当y随x的增大而增大时，

x的取值范围是 。

5、把抛物线y?ax?bx?c先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y?x?3x?5，则a?b?c= 。

6、在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2-4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 。

27、抛物线y?ax?bx?c（a?0）的对称轴为直线x?1,且经过点（—1，y1），（2，y2）

22则试比较y1与y2的大小：y1 y2（填“>”“<”或“=”）。 8、已知二次函数y=?1215x-7x+，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对22应的函数值y1，y2，y3的大小关系是 （用“<”连接）。

9、二次函数y?x2?2x?3的图象关于原点O（0, 0）对称的图象的解析式是_________________。

10、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有 。 三、解答题：

1、已知抛物线y?ax2?bx?c的对称轴为x?2，且经过点（1,4）和（5,0），试求该抛物线的表达式。

2、如图，抛物线y??x?bx?c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3

（1）求抛物线所对应的函数解析式； （2）求?ABD的面积。

2

3、如图所示，二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C． （1）求m的值；

（2）求点B的坐标； （3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使S△ABD=S△ABC，求点D的坐标．

4、如图，抛物线y??x2?bx?c与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点 （1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

BAC

5、如图，已知二次函数y?x2?2x?1的图象的顶点为A．二次函数y?ax2?bx的图象与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数y?x2?2x?1的图象的对称轴上． （1）求点A与点C的坐标；

（2）当四边形AOBC为菱形时，求函数y?ax2?bx的关系式．

2y?ax?bx?c(a?0)的图象和性质

22.1.4二次函数

一、理解新知

b4ac?b24ac?b2bbx????，2a2a4a4a 1、直线 （） 顶 2a

2、y轴

?? 向上 低 二、知识巩固练习： （一）选择：

bbbb??????2a 2a；向下 高 2a 2a

1、B 2、C 3、D 4、D 5、B 6、B 7、D 8、B （二）填空：

1、下 x=1 （1，1） 1 2、-90

x?

3、-6 4、

1

2 5、1

6、（4，3） 7、> 8、

y3?y2?y1

2y??x?2x?3 10、④ 9、

（三）解答：

b1????2a????2a2??1、解：由已知得解得?b?2?a?b?c?4?25a?5b?c?0?c?5??2??15则抛物线的解析式为y??x2?2x?22

2、解：（1）由已知得E(2,3)、C(0,3),则抛物线的对称轴为直线x?1b??b?2??1则?2解得??c?3??c?3(2)?抛物线的顶点为点D令y?0得?x2?2x?3?0?S?ABD?4?4?82则抛物线的解析式为y??x2?2x?3?xD?1yD??1?2?3?4即D（1，4）即A（?1，0）B（3，0）

解得x1??1,x2?3

3、解：（1）?点A（3，0）在抛物线y??x2?2x?m上??9?6?m?0解得m?3(2)当m?3时，y??x2?2x?3?B(?1,0)(3)令x?0,得y?3,即C（0，3）由S?ABD?S?ABC得|y|?yC?3即D（2，3）4、解：(1)?抛物线y??x2?bx?c与x轴交于点A（1，0），B（?3，0）?y??(x?1)(x?3)??x2?2x?3(2)?点A、B关于对称轴对称又?C?QAC?QA?QC?AC?点Q为BC与对称轴的交点令x?0代入y??x2?2x?3得y?3即C（0，3）??3k1?b1?0?k?1则?解得?1?y?x?3b1?3?b1?3??对称轴为x??1?令x??1得y?2?Q（?1，2）设lBC:y?k1x?b1?QA?QB而AC的长度固定令y?0得?x2?2x?3?0,解得x1?3,x2??1由y?0得y?3即?x2?2x?3?3解得x1?0,x2?2?若使C?QAC最小，则使QA?QC最小，则QB?QC最小

5、解：（1）?点A为抛物线y?x2?2x?1的顶点?xA?1，yA??2即A（1，?2）?抛物线y?ax2?bx的顶点B在抛物线y?x2?2x?1的对称轴上bb?2a?1,b??2a?xC?????2即C（2，0）2aaa（2）当四边形AOBC为菱形时，由菱形的对角线互相垂直平分可知点B（1，2）?xB?1,则??b??2a?a??2则?解得??b?4?a?b?2

?y??2x2?4x

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