排列组合典型例题(带详细答案)

例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？

例2 三个女生和五个男生排成一排

（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ （2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ （4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？

例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。 （1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？

（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？

例4 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法．

例5 现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员．问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？

例6 下是表是高考第一批录取的一份志愿表．如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择．若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？

学 校 1 2 3 1 1 1 专 业 2 2 2

例7 7名同学排队照相．

(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？

1

(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？

(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？

(4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？

例8计算下列各题：

m?1n?mAn?1?An?m(1) A； (2) A； (3) ； n?1An?121566

例9 a,b,c,d,e,f六人排一列纵队，限定a要排在b的前面（a与b可以相邻，也可以不相邻），求共有几种排法．

例10 八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？

例11 计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且不彩画不放在两端，那么不同陈列方式有

例12 由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的个数共有（ ）．

例13 用1,2,3,4,5，这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）．

1、2、3、4、5共六个数字，例14 用0、组成无重复数字的自然数，(1)可以组成多少个无重

复数字的3位偶数？(2)可以组成多少个无重复数字且被3整除的三位数？

2

1、解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个

3来排列，故有A9个；当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个

非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有

11311．∴ 没有重复数字的四位偶数有A9A4?A8?A82（个）?A4?A8?A82?504?1792?2296

2、解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样

6同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有A6种不同排法．对于其中的每一种排法，三363个女生之间又都有A3对种不同的排法，因此共有A6?A3?4320种不同的排法．

（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相

5邻．由于五个男生排成一排有A5种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中353选出三个来让三个女生插入都有A6种方法，因此共有A5?A6?14400种不同的排法．

（3）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，

26有A5种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有A6种排法，所以共有26A5?A6?14400种不同的排法．

826（4）3个女生和5个男生排成一排有A8种排法，从中扣去两端都是女生排法A3种，?A6826就能得到两端不都是女生的排法种数．因此共有A8?A3?A6?36000种不同的排法． 53、解：（1）先排歌唱节目有A5种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入45舞蹈节目，共有A6中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：A5A64＝43200.

（2）先排舞蹈节目有A4中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱

5节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：A4A5＝2880种方法。

444、A6?2A5?A4?504（种）．5、A3?A3?36种．

6、解：填表过程可分两步．第一步，确定填报学校及其顺序，则在4所学校中选出3所并加排列，共有A4种不同的排法；第二步，从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其顺序，其中又包含三小步，因此总的排列数有A3?A3?A3种．综合以上两步，由分步计数原理得不同的填表方法有：A4?A3?A3?A3?5184种．

3222222365433

3

347115537、解：(1) A7（2）A3（3）A5?A4?A7?5040种．?A4?A5?1440种．?A3?720． 43(4)A4?A5?1440种．

268、解：(1) A15?15?14?210；(2) A6?6!?6?5?4?3?2?1?720;

(3)原式?(n?1)!1(n?1)!1?(n?m)!???(n?m)!??1；

[n?1?(m?1)!](n?1)!(n?m)!(n?1)!49、A6

10、解法1：可分为“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”两类情况．应当使用加法原理，在每类情况下，划分“乙丙坐下”、“甲坐下”；“其他五人坐下”三个步骤，又要用到分步计数原理，这样可有如下算法：

215215A4?A2?A5?A4?A4?A5?8640(种)．

211、将同一品种的画“捆”在一起，注意到水彩画不放在两端，共有A2种排列．但4幅油

245画、5幅国画本身还有排列顺序要求．所以共有A2种陈列方式． ?A4?A5212、300 13、将符合条件的偶数分为两类．一类是2作个位数，共有A4个，另一类是4222作个位数，也有A4个．因此符合条件的偶数共有A4?A4?24个．

4分成两类，个位用0，其它两位从1、2、3、4中任取两14、解：(1)就个位用0还是用2、2数排列，共有A4?12(个)，个位用2或4，再确定首位，最后确定十位，共有

2?4?4?32(个)，所有3位偶数的总数为：12?32?44(个)．

1、2、3、4、5中取出和为3的倍数的三个数，分别有下列取法：(012)、(2)从0、(015)、(024)、(045)、(123)、(135)、(234)、(345)，前四组中有0，

后四组中没有0，用它们排成三位数，如果用前4组，共有4?2?A2?16(个)，如果用后四组，共有4?A3?24(个)，所有被3整除的三位数的总数为16?24?40(个)．

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