2014年华科期末考试矩阵论试题

2014年华中科技大学《矩阵论》考试题

一 . 填空题：（3*9=27分）

3??13i??4?其中i??1，则A1=_______________。 1， 设矩阵 A??02+i?102?3i???2， 矩阵幂级数

?0.20.4???0.30.5?的和矩阵为_____________ 。 k?0????1?1?3

2R3， 设向量???，中的正交投影P(x)?x?(?,x)??的零空间为 ，3????3??像空间为 。

??4， 设方阵A???1??01?10?50At1??，则= ，e= 。 ?????127?23???042?，则矩阵A?B的行列式= 。 B?5， 设A??，????25???032??2?36， 设矩阵A?R2?3，如果A在空间R的某组基下的坐标是Vec(A)，则这组基为 。

二．（15分）已知T是线性空间V4(R)上的线性变换，??1?2?3?4?是V4(R)的基，

变换T定义如下：

T(?1)?2?1,T(?2)?3?2,T(?3)??2?3?3,T(?4)???4

（1） 求变换T在基??1

?1??22?3?3??4?下的变换。

?3?1?11三．（15分）设矩阵A???00??00阵P，使得P?1AP?JA

00?00??，求矩阵A的Jordan标准型JA和可逆矩5?3??3?1?x1?1??四．（15分）设线性方程组AX?b，表示如下?x1?x2?x3?1

?x?x?1?12（1）求A得满秩分解； （2）计算A；

（3）求该方程组的最佳最小二乘解。

?五．（15分）设非零列向量?,??Rn，n?2,A???T?Rn?n，tr(A)表示矩阵的迹。

（1）求矩阵A的特征值；

（2）证明A的最小多项式为m(?)??2?tr(A)?； （3）写出A的Jordan标准型。

六．（5+8=13分）证明题

（1）设A是n阶方阵，?(A)是矩阵A的谱半径。证明：如果?(A)?1，则limAk?0。

k??（2）设A为m?n阶方阵，B为n?k阶方阵，R(A)和R(AB)分别表示矩阵A和矩阵AB的列空间。证明：R(A)?R(AB)的充要条件是存在k?n阶矩阵C，使得ABC?A。

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