复变函数与积分变换课后的习题答案

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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

复变函数与积分变换 （修订版）

主编：马柏林

——课后习题答案 1 / 48

（复旦大学出

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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

习题一

1. 用复数的代数形式a+ib表示下列复数

e?iπ/4z??x?iy???x?iy??x?x?y232332?x?iy???x2?y?2xyi??x?iy?2??2xy22222??y?x?y??2xy?i??3?x?3xy??3xy?y2?i3

∴

Im?z3Re?z??x3?3xy2,

??3x2y?y3．

;3?5i7i?1;(2?i)(4?3i);1i?31?i.

③解： ∵

?1?i3??1?i3??????28??3 ①解e?π4i??3?1??1?3???1???8???3?22???3???1??????3??3?3????

2?2?π??π??cos????isin????????22?4??4???22i???i?22?

?18?8?0i??1

??3??1????1?i, Im???2?3??0???②解：

3?5i7i?1??3?5i??1?7i??1+7i??1?7i???1625?1325i

?1?i∴Re??2．

③解： ?2?i??4?3i??8?3?4i?6i?5?10i ④解：

2.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy)

z?az?a(a?1i?31?i=?i?3?1?i?2?32?52i④解： ∵

??1?i3??????2??3??1?3?3???1???3??22??3???1????3??3?3?i??8

?18?8?0i??1

3??1???); 3???1?i3?n3??1?iz;??;??;i. ?2??2?33?1?i∴Re????2?1?i, Im????23??0???．

① 则

： ∵设z=x+iy

⑤解： ∵

???1?k,?ni??k????1??i,n?2kn?2k?1k??．

n∴当n?2k时，Re?i 当

nkn????1?k，Im?in??0；

z?az?a??x?iy??a?x?iy??a??x?a??iy?x?a??iy????x?a??iy?????x?a??iy???x?a?2222?y2

Im?in?2k?1时，

R?e??i，0 ∴

z?a? Im?????z?a?x?a?y?z?a?Re???22?z?a??x?a??y2xy,

????1?．

3.求下列复数的模和共轭复数

?x?a??y22．

?2?i;?3;?(2?i)(3?2i);51?i2.

②解： 设z=x+iy

①解：?2?i

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4?1?．

∵

?2?i??2?i

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②解：?3?3 ?3??3

65 ．

z?w2?z2?2Rez?w?w2??2

③解：?2?i??3?2i??2?i3?2i?5?13? ?2?i??3?2i???2?i???3?2i???2?i???3?2i??4?7i ④解：1?i2?1?i2?22z?w2?z?w?2z?2?w2?

并给出最后一个等式的几何解释． 证明：z?w2 ?z2?2Rez?w?w??2在上面第

?1?i??1?i?1?i????22?2?

五题的证明已经证明了． 下面证z?w ∵z?w ∴z?w222?z2?2Rez?w?w??2．

4、证明：当且仅当z?z时，z才是实数．

证明：若z?z，设z?x?iy，

x?iy?x?iy??z?w???z?w???z?w?z?w?z?z2??

2?z?w?w?z?w?2Rez?w?w22 则有 y=0

，从而有?2y?i?0，即??2．从而得证．

?z?w?2z?2?w2?

∴z=x为实数．

若z=x，x∈?，则z?x?x． ∴z?z． 命题成立．

z?w≤几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．

7.将下列复数表示为指数形式或三角形式

z?w5、设z,w∈?，证明： 证

z?2 ∵

3?5i7i?1;i;?1;?8π(1?3i);2π2π???isin?cos?.99??3

明

????w????①解：3?5i??7i?1?38?16i50?3?5i??1?7i??1?7i??1?7i??175?ecπ2i??

z??

z?w?19?8iw?z?z?z?w?w?z?w?w25819i??其

ta中

n

?z?z≤2?zw?z?w?w?w?w?w?w22 ??2Re?z?w??2??π?a．r

?②解：i?e其中?

i?eiπ2．

z22?2z?w?2z?w2

?z?22

iπ?z?③解：?1?ez?w?eπi

∴z?w≤．

④解：?8π?1?

∴?8π?1?3i??16π?23???πi23π.

6、设z,w∈?，证明下列不等式．

z?w23i?16π?e?

?z2?2Rez?w?w??2

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⑤解：解：∵

2π2π??cos?isin??99??3 ．

i?π.3922πi

3?∴

3i??π6?e4i?122π2π??cos?isin??99??33ππ??2kπ?2kπ???44?64??cos?isin??22?1?k?0,1?

?1

3∴

iππ??z1?6??cos?isin??64?e888??41111π

92π2π?∴?cos?isin???99??1?e?e

πi99??z2?64??cosπ?isinπ??64?e888??．

n?19.设z?ei2πn,n?2i?2πn. 证明：1?z???znn?0

8.计算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3) 3?3i证明：∵z?e ∴z

?1，即z?1?0．

n?1 ∴?z?1??1?z???z??0

的平方根.

又∵n≥2． ∴z≠1

从而1?z?z设

z?c:??r2n?1⑴i的三次根．

+??z?0

圆令 ,,

a0解：

11.

13?是

?}?ri?周

c,rππ?3?i??cos?isin??cos22??2kπ?3π2?isin2kπ?3π2?k?0,1,2?

{z∴

z1?cosz2?cosπ656?isinπ6?5632?12i12???z?a?L???z:Im???0??b???．

?iπ?isin96π??3296

32?12i其中b?e?.求出L?在a切于圆周?的关

i于?的充分必要条件.

解：如图所示．

z3?cosπ?isinπ??⑵-1的三次根 解：

3?1??cosπ?isinπ?3?cos12kπ+π3?isin2kπ?π3?k?0,1,2?

⑶∴z

1?cosπ3?isinπ3?12?32i

iz2?cosπ?isinπ??1

12?32z3?cos3i53π?isin53因为L?={z:

π??

?z?a?Im???b?=0}表示通过点

a且方向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，则CA⊥L?．过C作

π3?的平方根．

?223i=6????22??i????6?e4i解：

3?

直线平行

L?，则有∠BCD=β，∠

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ACB=90°

故α-β=90°

所以L?在α处切于圆周T的关于β

（4）、Re(z)>Imz．

解：表示直线y=x的右下半平面

的充要条件是α-β=90°．

12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.

(1)argz?π;(2)z?1?z;(3)1?z?i|?2;(4)Rez?Imz;(5)Imz?1且z?2.

5、Imz>1，且|z|<2．

解：表示圆盘内的一弓形域。

解：

(1)、argz=π．表示负实轴．

(2)、|z-1|=|z|．表示直线z=1．

2

习题二 1. 求映射

w?z?1z下圆周|z|?2的像.

w?u?iv解：设z?x?iy,

(3)、1<|z+i|<2

u?iv?x?iy?则

1x?iy?x?iy?x?iyx?y22?x?xx?y2?2i(y?yx?y2)解：表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。

2 因为

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x?y?422,所以

u?iv?54x?34yi

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所以

u?54xv??34,

y

x?u54,y?v34

?2u5222u所以??542?v??342即???v3222???1，表示椭

(3) 记w?u?iv，则将直线x=a映成了

圆.

2. 在映射w?z下，下列z平面上的图形

2u?a?y,v?2ay.22即v2?4a(a?u).22是以原点

映射为w平面上的什么图形，设或w?u?iv. （1）

0?r?2,??π4w??ei?为焦点，张口向左的抛物线将y=b映成了u?x2?b,v?2xb.222

是以原点为焦点，张口

； （2）

即v2?4b(b?u)0?r?2,0???π4向右抛物线如图所示.

;

(3) x=a, y=b.(a, b为实数) 解：设w?u?iv?(x?iy)所以

u?x?y,v?2xy.222?x?y?2xyi22

π4(1) 记

w??ei?，则

0?r?2,??

映射成w

3. 求下列极限. (1) 解：令于是

limlim11?z1t2z??平面内虚轴上从O到4i的一段，即

0???4,??π2.

;

z?,则z??,t?0.

211?zz???limt?0t221?t?0.

(2) 记w??e，则

i?(2)

映成了w

π2.limRe(z)zz?0;

Re(z)z?xx?iyπ0???0,??2r4解：设z=x+yi，则

limRe(z)zz?0有

平面上扇形域，即

0???4,0???

?limxx?ikxx?0y?kx?0?11?ik

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?x3y,?f(z)??x4?y2??0,显然当取不同的值时f(z)的极限不同 所以极限不存在. （3） 解

lz?iz(?z2z?iz?0,z?0.

?x3limz?iz?iz(1?z)20?xyx?y33y2；

：

解：因为所以

(x,y)?(0,0)422xy?x2,

limxyx?y42?0?f(0)

)=

limz?iz?iz(i?z)(z?i)?limz?i1z(i?z)??i12. 1所以f(z)在整个z平面连续. m

（4）

limzz?2z?z?2z?1zz?2z?z?22z?1.

?(z?2)(z?1)(z?1)(z?1)?z?2z?1,5. 下列函数在何处求导？并求其导数. (1)

f(z)?(z?1)n?1解：因为所以

limz?12z?12 (n为正整数)；

解：因为n为正整数，所以f(z)在整个z平面上可导.

n?1f?(z)?n(z?1)zz?2z?z?2z?1?limz?2z?1z?1?32.

.

24. 讨论下列函数的连续性： (1)

?xy,?22f(z)??x?y?0,?z?0,z?0;(2)

f(z)?z?2(z?1)(z?1).

解：因为f(z)为有理函数，所以f(z)在

(z?1)(z?1)?02处不可导.

limxyx?y22从而f(z)除z??1,z??i外可导.

,

2解：因为

limf(z)?z?0(x,y)?(0,0)f?(z)?(z?2)?(z?1)(z?1)?(z?1)[(z?1)(z?1)]?(z?1)(z?1)?2z?5z?4z?3(z?1)(z?1)3z?85z?72223222222若令y=kx,则

(x,y)?(0,0)limxyx?y22?k1?k,

(3)

?

因为当k取不同值时，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0处极限不存在.

f(z)?.

z=75解：f(z)除

从而f(z)在z=0处不连续，除z=0外连续. (2)

(4)

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f?(z)?外处处可导，且

??61(5z?7)23(5z?7)?(3z?8)5(5z?7)2.

f(z)?x?yx?y22?ix?yx?y22.

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?u?x?x?iy?i(x?iy)x?y22解：因为

f(z)?x?y?i(x?y)x?y22?6x,2?u?y?0,?v?x?9y,2?v?y?0

?(x?iy)(1?i)x?y22?z(1?i)z2?1?iz.

所以只有当程. 从而f(z)在面不解析. (4)

f(z)?z?z22x??3y时，才满足C-R方

所以f(z)除z=0外处处可导，且

f?(z)??(1?z2i).

2x?3y?0处可导，在全平

6. 试判断下列函数的可导性与解析性. (1)

f(z)?xy?ixy222;

2.

解：微.

?y?xu(x,y)?xy,v(x,y)?xy在全平面上可

解：设z?x?iy，则

f(z)?(x?iy)?(x?iy)?x?xy?i(y?xy)23232

?y,2?u?y?2xy,?v?x?2xy,?v?y?x2

u(x,y)?x?xy,v(x,y)?y?xy?u?x?3x?y,223232

?v?y?3y?x22所以要使得

?u?x??v?y?u?u?y?2xy,?v?x?2xy,

，

?y???v?x所以只有当z=0时才满足C-R方程.

,

从而f(z)在z=0处可导，处处不解析. 7. 证明区域D内满足下列条件之一的

只有当z=0时,

从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不

解析函数必为常数.

解析. (2)

f(z)?x?iy222(1)

.

2f?(z)?0;

f?(z?)证明：因为

在全平面上可微.

?u?v?y?2y?x??u?y?0，所以

解：u(x,y)?x?u?x?2x,?u?y,v(x,y)?y?v?x?v?0,?0,

,

?x??v?y?0.

只有当

?u?x??v?y?uz=0

???v?y时,即(0,0)处有所以u,v为常数，于是f(z)为常数. (2)

f(z)解析.

,?y.

所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析. (3)

f(z)?2x?3iy333证明：设f(z)?u?iv在D内解析,则

?u?x?u??(?v)?y??u?x???v?y

;

3?y?u???(?v)?x?v?y,???u?y?v?y?

?v?x解：

u(x,y)?2x,v(x,y)?3y在全平面上可微.

?x??

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?u?x?v?x?u?y?v?y而

?u?x?f(z)为解析函数，所以

?u?y,??2u??2v??0,2u??2v??0

?u?y?v?x,???v?x?v?y

???v?y,?u利用C-R条件，由于f(z)在D内解析，

即

?x??u?y??v?x??v?y?0?v所以

?x

有

?u?x??v?y?u?y???v?x从而v为常数，u为常数，即f(z)为常数.

(3) Ref(z)=常数.

证明：因为Ref(z)为常数，即u=C1,

?u?x??u?y?0

所以

?u?x?0,?u?v?u??v??0???x?x??v??u?u??v?0??x??x?v?x?0 所以

即u=C1,v=C2,于是f(z)为常数.

(6) argf(z)=常数. 证明：argf(z)=常数，即

(v/u)?u?(u?22因为f(z)解析，C-R条件成立。故

?u?x??u?y?0即u=C2

从而f(z)为常数. (4) Imf(z)=常数.

?v?v?arctan???C?u?2,

)?0?v证明：与（3）类似，由v=C1得因为f(z)解析，由C-R方程得即u=C2 所以f(z)为常数. 5. |f(z)|=常数.

?x??v?y于是

?01?(v/u)??x?x22u(u?v)2?v??u)?u(u2?v?y2?v?u?y2u(u?v)

得

??u???u???u????u???u?x??u?y?0,

???v?x?v?y?v?x?v?x?v??v??u?x?u?y?u?x?u?x?0?0 C-R条件→

???v??v??0?0

??v?y?0证明：因为|f(z)|=C，对C进行讨论.

解得

若C=0，则u=0,v=0,f(z)=0为常数. 若C?0，则f(z) ?0,但f(z)?f(z)?C，即u2+v2=C2

2?u?x??v?x??u?y，即u,v为常数，

于是f(z)为常数.

8. 设f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z平面上解析，求m,n,l的值.

则两边对x,y分别求偏导数，有

解：因为f(z)解析，从而满足C-R条件.

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?u?x?v?x?u?x?u?y?u?y2?2nxy,2?3my?nx?v?y22

?u所以?x??v?y?u,

?y???v?x

?3x?ly,?v?y?2lxy

所以f(z)处处可导，处处解析.

f?(z)??u?xxz??n?l

?i?v?xz?e(xcosy?ysiny?cosy)?i(e(ycosy?xsiny?siny))xxxxxxx???v?x?n??3,l??3m?ecosy?iesiny?x(ecosy?iesiny)?iy(ecosy?iesiny)?e?xe?iye?e(1?z)zz所以n??3,l??3,m?1.

9. 试证下列函数在z平面上解析，并求其导数.

(1) f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i

10. 设

?x3?y3?i?x3?y3?,?22f?z???x?y?0.?z?0.z?0.

求证：(1) f(z)在z=0处连续．

(2)f(z)在z=0处满足柯西—黎曼方

证明：u(x,y)=x3-3xy2, v(x,y)=3x2y-y3

程．

在全平面可微,且

?u?x?3x?3y,22?u?y??6xy,?v?x?6xy,?v?y

?3x?3y22(3)f′(0)不存在．

limf(z)?z?0

所以f(z)在全平面上满足C-R方程，处处可导，处处解析.

f?(z)??u?x?i?v?x?3x?3y?6xyi?3(x?y?2xyi)?3z22222证明.(1)∵而∵

?x,y???0,0??x,y???0,0?limu?x,y??iv?x,y?

limu?x,y???x,y???0,0?limx?yx?y2332

x?yx?y2332xy????x?y???1?22?x?y??32.(2)

f(z)?e(xcosy?ysiny)?ie(ycosy?xsiny)xx

.

∴∴

0≤x?yx?y332≤32x?y

证明：

u(x,y)?e(xcosy?ysiny),x?x,y???0,0?limx?yx?y232?0

?0v(x,y)=e(ycosy?xsiny)x处处可微，且

?u?x?e(xcosy?ysiny)?e(cosy)?e(xcosy?ysiny?cosy)xxx同理

∴

?x,y???0,0?limx?yx?y2332

?x,y???0,0?limf?z??0?f?0??u?y?v?x?e(?xsiny?siny?ycosy)?e(?xsiny?siny?ycosy)xx∴f(z)在z=0处连续． (2)考察极限

limf(z)?f?0?zz?0?e(ycosy?xsiny)?e(siny)?e(ycosy?xsiny?siny)xxx?v?y

?e(cosy?y(?siny)?xcosy)?e(cosy?ysiny?xcosy)xx当z沿虚轴趋向于零时，z=iy，有

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lim1iyy?0????lim??f?iy??f0?y?01iy?3?y?1?i?y2?1?i故φ(x,y),ψ(x,y)在D1内可微且满足C-R

．

??当z沿实轴趋向于零时，z=x，有

lim1xx?0条件?x????y,???y?????x

?f?x??f?0???1?i?u?v?x

,?v?y?i?u?y从而f?z?在D1内解析 13. 计算下列各值

(1) e2+i=e2?ei=e2?(cos1+isin1) (2)

2??i2它们分别为?x?u?i?∴?x??v?y,?u?y???v?x

∴满足C-R条件．

(3)当z沿y=x趋向于零时，有

x?y?0e3?e?e3π?i32?1?3??π??π??3?e??cos????isin?????e???i??22??3??3???32

(3)

limf?x?ix??f?0,0?x?ix?limx?1?i??x?1?i?3332x?1?i?x?y?0?i1?i?Re?e?Re?e?ex?iy2x?y2xx?y22?yx?y22i???????????

∴

lim?f?z?2x2x?y?Re?e??x?yy?????cos??2?isin??22?2?x?y??x?y?z?0不存在．即f(z)在z=0处不可导．

?ex?y22y???cos?22??x?y?

11. 设区域D位于上半平面，D1是D关于x轴的对称区域，若f(z)在区域D内解析，求证析．

F?z??f?z?(4)

ei?2?x?iy??2x?e?e?2iyi?2?x?iy??e?e?e?2x在区域D1内解

14. 设z沿通过原点的放射线趋于∞点，试讨论f(z)=z+ez的极限．

证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因为f(z)

解：令z=reiθ，

在区域D内解析．

所以u(x,y),v(x,y)在D内可微且满足

?u?v?y?u?y?v?x对于?θ，z→∞时，r→∞． 故

lim?rer??i?

．

，得

?erei???lim?rei?r???er?cos??isin?????．

C-R方程，即

?x?,??所以

limf?z???z??．

f?z??u?x,?y??iv?x,?y????x,y??i??x,y????x?u?x,?y??x????u?x,?y??y??15. 计算下列各值． (1)

ln??2?3i?=ln13?iarg??2?3i??ln3??13?i?π?arctan??2??

?y???u?x,?y??y??v?x,?y??y

???x???v?x,?y??x???y?v?x,?y??y

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(2)

ln?3?3i??ln23?iarg?3?π?π?3i??ln23?i????ln23?i6?6??1?i?1?i?eπ4ln?1?i?1?i?e2i??2???1?i??ln?1?i??e?1?i????ln?2?π4?i?2kπi??

?e?e?eln2?π4π4i?ln?eπ4?2kπ(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i (4)

ln?ie??lne?iarg?ie??1?π2iln2??2kπ?πi??ln?4ln2??2kπ??π??cos??ln?4???π??cos??ln?4???π2??isin??ln??4??π2??isin??ln??4??2??????2????

?2?e2kπ?π4

16. 试讨论函数f(z)=|z|+lnz的连续性与可导性．

解：显然g(z)=|z|在复平面上连续，lnz除负实轴及原点外处处连续． 设z=x+iy，

u?x,y??2(2)

??3??e?e?35?eln??3?5?e5?ln??3?5??ln3?i?π?2kπi??e5ln3?5i?π?2kπ5i5?ln3?cos?2k?1?π5?isin?2k?1?π5?5?isin?2k?1?π5??i??ln1?i?0?2kπi?5??cos?2k?1?π??i

1?e?eln1?i?e?iln1?eg(z)?|z|?2x?y?u?x,y??iv?x,y?22

(3)

?i??2kπi??e2kπ

?e?1?i?ln???1?i??2?1?ix?y,v?x,y??0在复平面内可

?1?i?(4)???2?1?i?e?1?i?ln???2?微．

?u?x?12?e?π???1?i???ln1?i?????2kπi??4???π4π4π?e?2kππ??1?i???2kπi?i??4?π??i?2kπ???4??x2?y2??12?2x?xx?y22?u?y?yx?y22?e2kπi?i?2kπ??e4?e

π?e4π?2kπ?v?x?0?v?y?0?π?π????cos?isin????4?4????22????i??22?

?e4?2kπ故g(z)=|z|在复平面上处处不可导． 从而f(x)=|z|+lnz在复平面上处处不可

(1)

导．

cos?π?5i??ei?π?5i?

18. 计算下列各值

?e2?5?i?π?5i??5e5iπ?5?e2?5?iπ?5f(z)在复平面除原点及负实轴外处处连

??e?55?e??1?续．

(2)

17. 计算下列各值．

2??e?e2??e?e2??ch5

sin?1?5i??ei?1?5i??e2i?i?1?5i??ei?5?e2i?i?5(1)

??e?cos1?isin1??e2ie?e25?555?5??cos1?isin1??5?sin1?i?e?e2cos1

(3)

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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

etan?3?i??sin?3?i?cos?3?i??ei?3?i??e?i?3?i?i?3?i?2i??i?3?i?22?e2?ch1?sin3?2isin6?isin2解：

lnz?π2iπ 即

z?e2?ii

(4)

sinz2(4)z?ln?1?i??0 解

：

??π4?kπi?1????k??πin?4??12i2??e2?y?xi?ey?xi??sinx?chy?icosx?shy222?sinx?chy?cosx?shy222222?sinx??chy?shy???cosx?sinx??shy2z?l????．

?sin2x?sh2y(5)

arcsini??iln?i?1?i2???iln?1?2?????i?ln?2?1??i2kπ????k?0,?1,????i??ln?2?1??i?π?2kπ???

(6)

arctan?1?2i???i1?i?1?2i?i?21?2ln1?i?1?2i???2?ln???5?5i???kπ?12arctan2?i4?ln519. 求解下列方程 (1) sinz=2． 解：

z?arcsin2?1?iln2i?3i???ln???2?3?i????i?3????1??ln?2??2k???2??πi??????2k?1?2??π?iln?2?3?,k?0,?1,?

(2)ez?1?3i?0 解：

ez?1?3i 即

z?ln?1?3i??ln2?iπ3?2kπi?ln2???1??2k?3??πi

(3)

lnz?π2i

20. 若z=x+iy，求证 (1) sinz=sinxchy+icosx?shy

证明： iz?izx?iy?sinz?e?e?e??x?yi??i2i?ei?2i?1?y?xi2i.?e?ey?xi??sinx?chy?icosx.shy

(2)cosz=cosx?chy-isinx?shy 证明：

iz?izcosz?e?e2?12??ei?x?yi??e?i?x?yi???1?2e?y?xi?ey?xi??12?e?y??cosx?isinx??ey.?cosx?isinx??y?y?y?e?e2.cosx???e?ey???isinx.2???cosx.chy?isinx.shy

(3)|sinz|2=sin2x+sh2y 证明：

sinz?1?xi?2ie?y?xi?ey??sinx?chy?icosx?shy

sinz2?sin2xch2y?cos2x.sh2y?sin2x?ch2y?sh2y???cos2x?sin2x?sh2y?sin2x?sh2y

(4)|cosz|2=cos2x+sh2y

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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

证明：cosz?cosxchy?isinxshy

cosz20?x?1

故

?cosx.chy?sinx.shy222222?cosx?chy?shy???cosx?sinx?.shy2222??x?y?ix?dz???x?y?ix?d(x?ix)220C1?cosx?shy22

??10ix(1?i)dx?i(1?i)?213x310?i3(1?i)?i?13

21. 证明当y→∞时，|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趋于无穷大． 证明：

sinz?12i2. 计算积分为

?(1?z)dzC，其中积分路径C

(1) 从点0到点1+i的直线段; (2) 沿抛物线y=x2，从点0到点1+i的

?eiz?e?iz??1??e?y?xi?ey?xi?2i

弧段. 解 (1)设z?x?ix10sinz?12?e?y?y?xi?ey?xi. 0?x?1

i

∴e而

?y?xi?eey?xi?ey

??1?e?y2sinz≥12

y?e???1?z?dz??C?1?x??ix(d?x)i?x

0?x?1

2?e?y?xi?ey?xi

(2)设z?x?ix102.

当y→+∞时，e-y→0，ey→+∞有

??1?z?dzC???1?x?ix?zdz?d(x?ix)?22i3|sinz|→∞．

当y→-∞时，e-y→+∞，ey→0有

3. 计算积分C

，其中积分路径C为

|sinz|→∞． 同理得

cos?x?iy??12e?y?xi(1) 从点-i到点i的直线段;

?ey?xi≥12?e?y?ey?

(2) 沿单位圆周|z|=1的左半圆周，从点-i到点i;

所以当y→∞时有|cosz|→∞．

(3) 沿单位圆周|z|=1的右半圆周，从点

习题三

-i到点i.

1. 计算积分

?(x?y?ixC2)dz解 (1)设z?iy.

,其中C为从原点

?1?y?11

到点1+i的直线段.

解 设直线段的方程为y?x,则z?

?Czdz??1?1ydiy?i?ydy?i?1

x?ix.

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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

3??z?0,z??i(2)设z?e. ?从

?i?2?到2

??i?C.故

??21z(z?1)2dz?C2(1z?12z?i?1?12z?i?1)dz?2?i??i??i?0?Czdz??23?21dei??i?32?de2?2i

?（3）在C所围的区域内包含一个奇点

z??i3?(3) 设z?e. ?从

?i?,故

dz?2到2

??C1z(z?1)2??C3(1z?12z?i?1?12z?i?1)dz?0?0??i???i?Czdz???1de223i??2i

C（4）在C所围的区域内包含两个奇点

4??z6. 计算积分?z?a?0?e?sinz?dzz,其中为

Cz?0,z?i,故

??C4.

?e?sinz?dz?z??1z(z?1)2Cdz?(1z?12z?i?1?12z?i?1)dz?2?i??i??i

z???解

C??Czdz???Ce?sinzdzz

10.利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分. (1)

?i1∵ez?sinz在z?a所围的区域内解析

?∴?Ce?sinzdz?0z

???2i0zcosdz2 (2)

?0??ie?zdz (3)

从而

(2?iz)dzi2

dz???zC?e?sinz?dz?z2?0??Czdz??2?0adaei?(4)

?ln(z?1)z?11 (5)

?10z?sinzdz (6)

?i1?tanzcosz21dz

?ai?C2ed??0i?解 (1)

z???故

?e?sinz?dz?0z

dz?,其中积分路径

??2i0z1zcosdz?sin222??2i0?2ch17. 计算积分

C??1z(z?1)2

C(2)

为

C1??:z?120?iedz??e?z?z0??i??2

（1）（4）

（2）

C2:z?32 （3）

C3:z?i?12(3)

?i1C4:z?i?32

1(2?iz)dz?21?ii1(2?iz)d(2?iz)?2113?(2?iz)i3i1??113?i3

解：（1）在

z?12所围的区域内，z(z2(4)

?1)?iln(z?1)z?11dz??i1ln(z?1)dln(z?1)?12ln(z?1)2i1??只有一个奇点z?0.

??1z(z?1)2C1?2(?3ln2)842

dz???2C1(1z?1???)dz?2?i?0?0?2?i2z?i2z?i111(5)

?10z?sinzdz???zdcosz??zcosz0110??10coszdz?sin1?cos1（2）在所围的区域内包含三个奇点

C

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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

(6)

?i??2coszz3Cdz?2?i2!(cosz)(2)z?0???i1?tanzcosz1dz??i1seczdz?2?i1secztanzdz?tanz2i1?12

tanz2i111?????tan1?tan21?th21??ith1?22?(3)

11. 计算积分(1)

z?i?1??e2zCz?1dz??,其中为

CC2dz?2?i(tanz)'2(z?z0)tanzz?z0??isec2z02

(2)

z?i?1 (3)

z?2

17. 计算积分路径为

C??1(z?1)(z?1)33Cdz,其中积分

解 (1)

??e2zCz?1dz???ezC(z?i)(z?i)dz?2?i?ezz?iz?i??ei(1)中心位于点z?1,半径为R?2的正向圆

周

(2) 中心位于点z??1,半径为R?2的正向

(2)

??e2zCz?1dz???ezC(z?i)(z?i)dz?2?i?ezz??iz?i???e?i

圆周

(3)

??e2zCz?1dz???e2zC1z?1dz???e2zC2z?1dz??e??ei?i?2?isin1

解：(1) 内包含了奇点z?1

C

16. 求下列积分的值,其中积分路径C均为|z|=1. (1)

tanz∴

??1(z?1)(z?1)3Cdz?32?i2!(1(z?1))3(2)z?1?3?i8

(2) 内包含了奇点z??1,

C??ezzCdz5 (2)

??coszz3Cdz (3)

∴

??1(z?1)(z?1)3Cdz?32?i2!(1(z?1))3(2)z??1??3?i8

??C2dz,z?102(z?z0)219. 验证下列函数为调和函数.

(1)??x?6xy?3xy?2y;(2)??ecosy?1?i(esiny?1).xx3223解 (1)

??ezzCdz?52?i4!(e)z(4)z?0??i12

2

解(1) 设∴

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w?u?i?,

u?x3?6xy?3xy2?2y3 ??0

(2)

复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

?u?x?u?x22?3x?12xy?3y22?u

2?y??6x?6xy?6y22?u

?x?2x?u2?u

2?y??2y?u2

?x2?2?u2

?y2??2

?6x?12y?u2

?y??6x?12y

∴?x???x?2??u?y22?0,从而u是调和函数.

22从而有

?u?x22y?x2??(x?y)22??u?y22

33?y?(x??2?2xy222?y)2

32?0,w满足拉普拉斯方程,从而是

???x22??6xy?2x(x?y)22调和函数. (2)

x

?y2?6xy?2x(x?y)2

3??2设

w?u?i?,

u?e?cosy?1x

∴

?x2????y22?0,从而?是调和函数.

?u??e?siny?1 ?u?e?cosyx?u?u但∵?x??e?sinyx????y

?y?????x

∴?x?u?x22

?y2

∴不满足C-R方程,从而f(z)?u?i?不是解析函数.

22.由下列各已知调和函数,求解析函数

f(z)?u?i??e?cosyx?u

?y2??e?cosyx从而有

?u?x22??u?y22

2?0,

u满足拉普拉斯方程,从而

是调和函数.

???x???x2(1)u?x?y?xy

??2 (2)

u?yx?y22,f(1)?0

?u解

?e?cosyx (1)

???x因

为

?x?2x?y????y?e?sinyx

?y2

x?u?y??2y?x??22?e?siny2x???y2??siny?e所以

????(0,0)??x2(x,y)?u?ydx??u?x(x,y)x?xdx?y(2x?y)dy?Cdy?C??(2y?x)dx?(2x?y)dy?C??0?0(0,0)???x2????y2?02?y22?2xy?C,?满足拉普拉斯方程,从而是

f(z)?x?y?xy?i(?xx?y2222x2调和函数. 20.证明:函数u?x?y222?y22?2xy?C)

,

??令y=0,上式变为

都是

f(x)?x?i(2x2调和函数,但f(z)?u?i?不是解析函数 证明:

2?C)

从而

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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

f(z)?z?i?2z22?iCD内解析，且

?ulimf(z)?A??z??，则

1?y?x?y2222?u(2)?x??2xy(x?y)2222πi?C

(x?y)2??f(z)?A,d???A,??z?f(?)z?D,z?G.

其中G为C所围内部区域.

证明：在D内任取一点Z，并取充分大的R，作圆CR: z?R，将C与Z包

用线积分法，取（x0,y0）为(1,0)，有

???1x?(x,y)(1,0)(??u?yxdx??u?xdy)?C??x12yydx?x?dy?C20(x?y2)2x4x2?1?x?y22xy?2?1?C20x?yf(z)?yx?y22?i(xx?y22?1?C)

含在内

则f(z)在以C及CR为边界的区域内解析，依柯西积分公式，有

由f(1)?0.，得C=0

?1??f?z??i??1??z?

,其中

f(z)?12πi23.设

p(z)?(z?a1)(z?a2)?(z?an)n,[??f(?)CR??zd?-??f(?)C??zd?]

ai(i?1,?2,a1,a2,?,an12πip?(z)p(z)各不相同，闭路C不通过

因为

lim??f(??z)??zf(?) 在?????R11?上解析，且

z?limf(?)?1???,证明积分

?????z?limf(?)???Cdz?

所以，当Z在C外部时，有

f(z)?A?12πif(?)等于位于C内的p(z)的零点的个数.

证明: 不妨设闭路C内P(z)的零点的个数为k, 其零点分别为

n??f(?)C??zd?

1a1,a2,...akn即2πi

dz??C??zd???f(z)?A设Z在C内，则f(z)=0，即

0?12πi[??f(?)12πi?1??P?(z)P(z)1Cdz?12πi1?(z?a??k?2Ck)?(z?a1)?(z?ak)?...(z?a1)...(z?an?1)k?3(z?a1)(z?a2)...(z?an)1z?a2C??2πiCz?a1dz?12πi??2πi??Cdz?...?1??2πi??C11z?andz1CdzCR??zd????f(?)C??zd?]

?1?1?...?1??????k个1z?ak?1dz?...?2πiz?an?k24.试证明下述定理(无界区域的柯西积分公式): 设f(z)在闭路C及其外部区域

??故有：

??2πi1f(?)C??zd??A

习题四

1. 复级数?a与?b都发散,则级数

nnn?1n?1 19 / 48

复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

??(an?1n?bn)和?ab发散.这个命题是否

?nnn?1iπ??n?1enn?cosπn?isinnπn????n?1?n?11n(cosπn?isinπn)收

成立?为什么? 答.不一定．反例:

??n敛,所以不绝对收敛.

??an?1??n?11n?i1n2?,?bn?n?1??n?in发散

?11(4) ?n?1in?2lnn??n?11lnn

n?1但?(an?1??n?bn)??2?i?n收敛

2n?1??(an?1?n?bn)???n发散

n?12因为lnn1?1n?1

?an?1b?nn?[?(nn?112?1n4)]收敛.

所以级数不绝对收敛.

又因为当n=2k时, 级数化为

?2.下列复数项级数是否收敛,是绝对收敛还是条件收敛? (1)?n?1iπ??k?1(?1)lnk2k收敛

??1?i2n?1n (2)?(1?5i) (3)

2nn?1?当n=2k+1时, 级数化为?k?1(?1)k也

ln(2k?1)?n?1enn?

收敛

in(4) ?n?1lnn (5) ?n?0?cosin2n

(1)

所以原级数条件收敛 (5)

?解

?

??n?11?i2n?1n??n?11?(?1)?inn???n?11n?(?1)nn?i ?n?0cosin2n???n?0?12e2n?e?e2n?n?1??(2)2n?0en?1??(2e) 2nn?01?因为?n发散,所以?n?11?1?i2n?1n?1n发散

其中?(n?0)n 发散,?(2e)收敛

nn?0?1所以原级数发散.

?(2)?n?11?5i2n???n?1(262)n发散

?52i)?0

n3.证明:若Re(an)?0?2nn?1,且?a和?a收敛,

2??nnn?1n?1(又因为limn???1?5i2n)?lim(n??n12则级数?a绝对收敛. 证明:设

所以?n?1?(1?5i2πi)发散

?an?xn?iyn,an?(xn?iyn)?xn?yn?2xnyni2222

(3) ?n?1enn??n?11n发散,又因为

因为?a和?a收敛

??2nnn?1n?1所以?x,?y,?(xnnn?1n?1n?1????n?yn),?xnynn?12收敛

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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

级极点,则

3因为L?Res[Y(s)?ek?1stst?1[1(s?1)?12]?e?sintt

y(t)?L[Y(s)]??1;sk](s?2)?est所以

;1]?Res[(s?2)?e(s?1)(s?1)(s?3)(s?2)?e3818st;?1]?Res[(s?1)(s?1)(s?3)L{?12(s?1)[(s?1)?1]?12}??L[(21?11(s?1)?1t2)?]?Res[??14e(s?1)(s?1)(s?3)?t;?3]??(?t)L[(s?1)?12]?t?e?sint?e?te?3t

故有y?t??t?et?sint

(2) 方程两边同时取拉氏变换,得

s?Y(s)?s?2?Y(s)?4?221s?12?5?ss?222

(4)方程两边取拉氏变换,设L[y(t)]=Y(s),得

s?Y(s)?s?y(0)?s?y?(0)?y??(0)?s?Y(s)?y(0)?32(s?1)Y(s)?4?Y(s)??2(??41s?122?5?ss?25s22?(s?2)1s?2(s?1)(s?1)1?122?(s?1)(s?2)12222?s?2(s?1)s22s?1s?12s2)?s?(s?1s?2?12)?2s?1s?1?22

s?Y(s)?s?Y(s)?Y(s)?1?1231s?2?1s(s?2)(s?1)2

s?2s(s?1)?222s?1s?2?1y(t)?L[Y(s)]??2sint?cos2t故

y(t)?L[Y(s)]??114e?t?14e?2t?32t?e?3t?3t?e2?3t

(3)方程两边取拉氏变换,得

s?Y(s)?2s?Y(s)?2Y(s)?2?2(5)设L[y(t)]=Y(s),则

s?1(s?1)?12

L[(y?(t)]?sY(s)?y(0)?sY(s),L[(y??(t)]?s?Y(s)?sy(0)?y?(0)?sY(s)22(s?2s?2)Y(s)?Y(s)?2(s?1)[(s?1)?1]2222(s?1)(s?1)?1??[1(s?1)?122323L[(y???(t)]?s?Y(s)?s?y(0)?sy?(0)?y??(0)?sY(s)?1

4L[(y(t)]?s?Y(s)?s?y(0)?s?y?(0)?sy??(0)?y???(0)?s?Y(s)?s]?

(4)432

方程两边取拉氏变换,,得

因为由拉氏变换的微分性质知，若L[f(t)]=F(s),则

L[(?t)?f(t)]?F?(s)s?Y(s)?s?2s?Y(s)?Y(s)?0(s?2s?1)?Y(s)?sY(s)?s(s?1)224242?1

故

2(s?1)?2s22??12?(1s?12

)?即

L[F?(s)]?(?t)?f(t)?(?t)?L[F(s)]?1?1

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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

y(t)?L[?1111?1?]?L[??()]?t?sint 222(s?1)2s?12sL[(x(t)]?X(s),L[(y(t)]?Y(s),L[(g(t)]?G(s)L[(x?(t)]?s?X(s),L[(y?(t)]?s?Y(s)L[(x??(t)]?s?X(s),L[(y??(t)]?s?Y(s),22

18.求下列微分方程组的解

??x??x?y?e(1) ?t??y??3x?2y?2?etx(0)?y(0)?1

方程两边取拉氏变换,得

?s?X(s)?2s?Y(s)?G(s)...(1)?22?s?X(s)?s?Y(s)?Y(s)?0...?2??x??2y??g(t)(2) ?x???y???y?0x(0)?x?(0)?y(0)?y?(0)?0

?(1)?s?(2),得

Y(s)???1

t0解:(1) 设

L[(x(t)]?X(s),L[(y(t)]?Y(s)L[(x?(t)]?s?X(s)?x(0)?s?X(s)?1L[(y?(t)]?s?Y(s)?y(0)?s?Y(s)?1,2ss?1?G(s)...(3)

?y(t)?L[Y(s)]??g(t)*cost???g?cos?t???d?

(3)代入(1)：

微分方程组两式的两边同时取拉氏

s?X(s)?2s?[?ss?122?G(s)]?G(s)变换,得

1?s?X(s)?1?X(s)?Y(s)???s?1??s?Y(s)?1?3X(s)?2Y(s)?2?s?1?即：s?X(s)?(1?2s22

X(s)?s?1)G(s)?1?s22s?1?G(s)

2s??1G(s)????G(s)2?s?s2?1??s1?s?1?s得

?Y(s)?(s?1)X(s)?...(1)??s?1? ?3X(s)?(s?2)?Y(s)?2?1?s?1...(2)?s?1s?1?s所以

?x(t)?L[X(s)]?(1?2cost)?g(t)??(1?2cos?)?g(t??)d?0?1t 故

x(t)?(2)代入(1)，得

3X(s)?(s?2)?[(s?1)X(s)?(s?s?1)X(s)?故X(s)?1s?12ss?1?]?2s?1s?1s?1?t0(1?2cos?)?g(t??)d?ty(t)???g(?)?cos(t??)d?0s?1s?1?s(s?2)s?1ts?s?1

19.求下列方程的解 (1)x(t)??0x(t??)?e?d?t于是有x(t)?e...(3)t?2t?3

?t(3)代入(1)，得

Y(s)?(s?1)?1s?1?ss?1?1s?1?y(t)?et(2)y(t)??0(t??)?y(?)d?

解：(1)设L[x(t)]=X(s), 方程两边取拉氏变换,得

(2)设

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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

X(s)?X(s)?X(s)[1?X(s)?1s?11s?1]??2s22?3sY(s)?L(t?y(t))?1s222?3ss

??3s?5s?2s32Y(s)?Y(s)?1s2?Y(s)?11s(2?3s)(s?1)s32??3s?5s2?2s3

1s?12s?1?1?12?x(t)??3?5t?t?y(t)?L(Y(s))?L()?sht

(2)设L[y(t)]=Y(s), 方程两边取拉氏变换,得

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