高等数学习题精选精解

590、设在[0,??)上函数f(x)有连续导数，且f?(x)?k?0，f(0)?0，证明：f(x)在(0,??)内有且仅有一个零点。

第六章 定积分的应用

591、设在区间[a,b]上f(x)?0，f?(x)?0，f??(x)?0，令S1??baf(x)dx、S2?f(b)(b?a)、

1S3?[f(a)?f(b)](b?a)，则（）

2（1）S1?S2?S3（2）S2?S1?S3（3）S3?S1?S2（4）S2?S3?S1 592、由曲线y?x?1，x?2及y?2所谓图形的面积是（） x593、曲线y?x(x?1)(2?x)与x轴所围图形的面积可表示为（） （1）?（3）??20x(x?1)(2?x)dx（2）?x(x?1)(2?x)dx??x(x?1)(2?x)dx

0112?10x(x?1)(2?x)dx??x(x?1)(2?x)dx（4）?x(x?1)(2?x)dx

1022594、曲线y??x3?x2?2x与x轴所围图形的面积=（ ） 595、求曲线y?|lnx|与直线x?1、x?e及y?0所围成的图形的面积。 e596、从点(2,0)引两条直线与曲线y?x3相切，求由此两条切线与曲线y?x3所围图形的面积S 597、在第一象限内，求曲线y??x2?1上一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴围成的图形面积为最小，并求此最小面积。

598、已知曲线y?ax(a?0)与曲线y?lnx在点(x0,y0)处有公共切线，求（1）常数a及切点(x0,y0)（2）两曲线与x轴所围图形的面积S

599、已知抛物线y?px2?qx（其中p?0,q?0）在第一象限内与直线x?y?5相切，且此抛物线与x轴所围的平面图形的面积为那S。（1）问p,q为何值时，S最大？（2）求此最大值

600、设曲线y?x与它两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S，其中一条切线与曲线相切于

2点A(a,a)(a?0)，试证：当a?

?x21

时，面积S最小 2

601、位于曲线y?xe(0?x???)下方，x轴上方的无界图形的面积是（）

2x??e,x?0602、设F(x)???2x，S表示夹在x轴与曲线y?F(x)之间的面积，对任何t?0，S1(t)表示矩

??e,x?0

形?t?x?t,0?y?F(t)的面积，求（1）S(t)?S?S1(t)的表达式（2）S(t)的最小值 603、双纽线(x2?y2)2?x2?y2所围成的平面图形的面积可用定积分表示为（）

??0?0（1）2?40cos2?d?（2）4?4cos2?d?（3）2?41cos2?d?（4）?4(cos2?)2d?

20?604、设曲线的极坐标方程为??ea?(a?0)，则该曲线上相应于?从0变到2?的一段弧与极轴所围成的图形的面积为（）

605、求心脏线??a(1?cos?)与圆??a所围成各部分的面积（a?0） 606、求曲线r?3cos?及r?1?cos?所围成的图形的公共部分的面积 607、求曲线r?2sin?及r2?cos2?所围成的图形的公共部分的面积

608、某立体上、下底面平行，且与x轴垂直，若若平行于底面的截面面积A(x)是x的不高于二次的多项式，试证该立体体积为：V?h(B1?4M?B2)，其中h为立体的高，B1,B2分别为底面面积，M为中6截面面积。

609、设有一正椭圆柱体，其底面长、短轴分别为2a、2b，用过此柱体底面的短轴且与底面成?角（0????2）的平面截此柱体，得一楔形体，求此楔形体的体积V

610、求曲线y?x2?2x，y?0，x?1，x?3所围成的平面图形的面积S，并求该平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V

611、星形线x?y?a绕x轴旋转所得旋转体的体积V 612、已知一抛物线通过x轴上的两点A(1,0),B(3,0)

（1）求证：两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于x轴与该抛物线所围图形的面积 （2）计算上述两个平面图形绕x轴旋转一周所得两个旋转体的体积体积之比

22613、求曲线x?y?1与y?22323233x所围成的两个图形中较小的一块分别绕x、y轴旋转所得旋转体的体2积

614、求曲线y?ex、y?sinx、x?0和x?1所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积 615、求平面上的圆盘(x?b)?y?a(0?a?b)绕y轴旋转所得圆环体的体积

616、已知曲线y?ax(a?0)与曲线y?lnx在点(x0,y0)处有公共切线，求（1）常数a及切点(x0,y0)（2）两曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积

617、在曲线y?x(x?0)上某点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围成的图形的面积为

2222（1）切点A的坐标（2）过切点A的切线方程（3）由上述所谓平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积

1，试求： 12

618、求曲线y?3?|x2?1|与x轴围成的封闭图形绕直线y?3旋转所得的旋转体体积 619、过坐标原点作曲线y?lnx的切线，该切线与曲线y?lnx及x轴围成的平面图形D。 （1）求平面图形D的面积（2）求平面图形D绕直线x?e旋转一周所得旋转体的体积

620、设平面图形A由x2?y2?2x与y?x所确定，求图形A绕直线x?2旋转一周所得旋转体的体积 621、设曲线y?ax2(a?0,x?0)与y?1?x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y?ax2围成一平面图形。问a为何值时？该图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最大，最大体积是多少？ 622、设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内大于零，并满足xf?(x)?f(x)?3a2x(a为常2数），又曲线y?f(x)与x?1，y?0所围成的图形S的面积为2，求函数y?f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小？

623、设D1是由抛物线y?2x2和直线x?a，x?2及y?0所围成的平面区域；D2是由抛物线y?2x2和直线y?0、x?a所围成的区域，其中0?a?2

（1）试求D1绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V1；D2绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V2 （2）问a为何值时，V1?V2取得最大值？试求该最大值 624、设有曲线y?x?1，过原点作其切线，求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周

所得旋转体的表面积。

?x?1?cost625、求摆线?一拱(0?t?2?)的弧长

y?t?sint?626、在摆线??x?a(t?sint)上求分摆线第一拱成1:3的点的坐标。

?y?a(1?cost)627、对数螺线??e2?上??0到??2?的一段弧 628、求心脏线r?a(1?cos?)的全长，其中a?0是常数

629、设位于第一象限的曲线y?f(x)过点(21,)，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q，22且线段PQ被x轴平分。（1）求曲线y?f(x)的方程；（2）已知曲线y?sinx在[0,?]上的弧长为l，试用l表示曲线y?f(x)的弧长。

630、半径等于r米的半球形水池，其中充满了水，把池内的水完全吸尽，需作多少功？（水的密度

??1000kg/m3，设重力加速度为g）

631、为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井中，抓起污泥后提出井口，已知井深30米，抓斗自重400吨，缆绳每米重50吨，抓斗抓起的污泥重2000吨，提升的速度为3米/秒，在提升过程中，污泥以20吨/秒的速率从抓斗缝隙中漏掉。现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？

632、某建筑工地打地基时，需用汽锤将桩打进土层。汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k?0），汽锤第一次击打将桩打进地下?米，根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数

r(0?r?1)，问（1）汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？（2）若击打次数不限，汽锤至多可以

将桩打进地下多深？

633、底为8厘米，高为6厘米的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3厘米，试求它每面所受的压力（设重力加速度为g）

634、某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段AB所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高h应为多少米？

3??x?acost635、设星形线?上每一点处的线密度的大小等于该点到原点的距离的立方，在原点O处有一3??y?asint单位质点，求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力。

636、设有质量均匀分布的细杆，线密度为常量?，长为l，在杆的中垂线上到杆距离为a处有一单位质点

M，求杆对这质点的引力。

637、一质量为M，长为l的均匀杆AB吸引着质量为m的一质点C，此质点C位于AB杆的延长线上，并与较近端点B的距离为a，试求

（1）杆与质点间的相互吸引力；（2）总质点在杆的延长线上从距离r1处移至r2处时，克服吸引力所作的功。

638、设人呼出或吸入的气流的速率v(t)(m/s)，可用一个正弦曲线v(t)?Asin(2?t)来描述，其中时间tT（单位为秒），从某次吸气开始时计算起，A是最大气流速率，T为一次呼吸所用时间，当正弦曲线函数值为正时，人正在吸气；反之，正在呼气。在吸气的某个时间段[t1,t2]上，曲线y?v(t)与t?t1、t?t2及t轴所围成的图形面积就是人在这个时间段上吸入的空气总量，试求人每次吸气时吸入空气的总量。 639、设xOy平面上有正方形D??(x,y)|0?x?1,0?y?1?及直线l:x?y?t(t?0)，若s(t)表示正方形D位于直线l左下方部分的面积，试求640、如图所示，C1和C2分别是y??x0s(t)dt(x?0)

1(1?ex)和y?ex的图像，过点(0,1)的曲线C3是一单调增函数的2图形，过C2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly，记C1、C2和直线lx所围图形的面积为S1(x)；C2、C3和直线ly所围图形的面积为S2(y)，如果总有S1(x)=S2(y)，求曲线C3的方程

x??(y)

641、设函数f(x)、g(x)满足条件：f?(x)?g(x)、g?(x)?f(x)。又f(0)?0，g(x)?0。试求由曲线y?f(x)与x?0、x?t(t?0)、y?1所围成平面图形的面积 g(x)642、设当x?[2,4]时，有不等式ax?b?lnx，其中a，b为常数，试求使得积分I?取得最小值的a和b

?(ax?b?lnx)dx24643、设y?f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数。（1）试证：存在x0?(0,1)，使得在区间[0,x0] 上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[x0,1]上以y?f(x)为曲边的曲边梯形面积；（2）又设f(x)在区间(0,1)内可导，且f?(x)??2f(x)，证明（1）中的x0是唯一的 x2??x?t?1644、已知曲线L的方程为?，(t?o)（1）讨论L的凹凸性（2）过点(?1,0)引L的切线，求2??y?4t?t切点坐标(x0,y0)和切线方程（3）求此切线与L（对应于x?x0的部分）及x轴所围成的平面图形的面积 645、设函数f(x)、g(x)在区间[a,b]上连续，且g(x)?f(x)?m(m为常数），则曲线y?g(x)、

y?f(x)、x?a及x?b所围成的平面图形绕直线y?m旋转而成的旋转体体积为（）

（1）（3）

??[2m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx（2）??[2m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx

aabb?ba?[m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx（4）??[m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx

ab3??x?acost646、已知星形线?，(a?0)求（1）它所围的面积（2）它的弧长（3）它绕x轴旋转而成的3??y?asint旋转体的表面积

647、设直线y?ax与抛物线y?x2所围成图形的面积为S1，它们与直线x?1所围成的图形面积为S2，并且a?1。（1）试确定a的值，使S1?S2达到最小，并求出最小值；（2）求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积

ex?e?x648、曲线y?与直线x?0、x?t(t?0)及y?0围成一曲边梯形，该曲边梯形绕x轴旋转一

2周得一旋转体，其体积为V(t)，侧面积为S(t)，在x?t处的底面积为F(t)，（1）求

S(t)的值，（2）计V(t)算极限limS(t)

t???F(t)

第一章 极限与连续

1、函数y?1?2x?e?e2、函数f(x)?(3x?12)2的定义域为（ ）

11?11?1x的定义域为（ ）

3、已知f(x)?sinx，f[?(x)]?1?x2，则?(x)的定义域为（）

4、已知f(x)?ex，f[?(x)]?1?x，且?(x)?0，则?(x)= ，定义域为（）

x5、已知函数f(loga)?2，其中a?0 ，且a?1 x，则f(x)? ，其定义域为（）

6、设f(x)?tanx，f[g(x)]?x2?2，且g(x)??4，则g(x)的定义域为（）

1x27、已知f(x?)?4，求f(x)

xx?18、设f(x?1)?3f(x)?2x，求f(x) x?19、设f(x)?x1?x2，f1(x)?f[f(x)]，f2(x)?f[f1(x)]，

fn?1(x)?f[fn(x)](n?1,2,3?)，求fn(x)

10、设a0?a1x?a2x2???a8x8?(2x?1)8，求a1?a2???a7 11、设f(x)满足f2(lnx)?2xf(lnx)?x2lnx?0，且f(0)?0，求f(x)

?e?x,x?012、设f(x)??，则f(?x)?（）

?cosx,x?0??1,x?113、设f(x)??，则f{f[f(x)]}等于（）

??0,x?1?x2,x?0?2?x,x?014、设g(x)??，f(x)??，则g[f(x)]等于（）

?x?2,x?0??x,x?015、下列函数中非奇非偶的函数是（） （1）f(x)?3?3x?x，（2）f(x)?x(1?x)，（3）f(x)?lnx?12，（4）f(x)?xcosx x?116、设f(x)为奇函数，判断下列函数的奇偶性：

2（1）xf(x)，（2）(x?1)f(x)，（3）f(x)，（4）?f(?x)，（5）f(x)(11?) x2?12

17、已知函数满足f(x?y)?f(x)?f(y)，则f(x)是（） （1）奇函数，（2）偶函数，（3）非奇非偶函数，（4）不能确定

18、设f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且它们可以构成复合函数f[f(x)]，g[f(x)]，f[g(x)]，g[g(x)]，则其中是奇函数的是（）

19、设f(x)在(??,??)上有定义，且对任意x,y?(??,??)有f(x)?f(y)?x?y，证明

F(x)?f(x)?x在(??,??)上单调增加

20、设f(x)、g(x)、h(x)是定义在(??,??)上的单调增加函数，且f(x)?g(x)?h(x)，证明

f[f(x)]?g[g(x)]?h[h(x)]

21、设[x]是表示不超过x的最大整数，则y?x?[x]是（）

（1）无界函数，（2）周期为1的周期函数，（2）单调函数，（3）偶函数

22、设对任何x?(??,??)，存在常数c?0，使得f(x?c)??f(x)，证明f(x)是周期函数。

23、函数y?1?1?x1?1?x的反函数为（）

24、函数f(x)?25、函数y?sinsinx的值域是（） 1?x2?x2(1?x2)的值域是（）

?3?x3,x??2?26、求y?f(x)??5?x,?2?x?2的值域，并求它的反函数

?1?(x?2)2,x?2?27、“对任意给定的??(0,1)，总存在正整数N，当n?N时，恒有xn?a?2?”是数列?xn?收敛于a的（）

（1）充分条件但非必要条件，（2）必要条件但非充分条件，（3）充分必要条件，（4）既非充分条件又非必要条件

28、设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且liman?0，limbn?1，limcn??，则必有（）

n??n??n??（1）an?bn，对任意n成立，（2）bn?cn，对任意n成立，（3）极限limancn不存在

n??（4）极限limbncn不存在

n??1n?)sin，证明数列{an}没有极限 n2nn?130、证明：数列xn?(?1)是发散的 n29、设an?(1?

31、设对任意的x，总有?(x)?f(x)?g(x)，且lim[g(x)??(x)]?0，则limf(x)等于（）

x??x??（1）存在且等于零，（2）存在但不一定为零，（3）一定不存在，（4）不一定存在

??x,x?132、设f(x)??，试讨论limf(x)及limf(x)

x?1x??1??x?2,x?133、证明limxsinx不存在

x???34、求函数f(x)?|x|1?a，g(x)? (a?1)当x?0时的左右极限，并说明x?0时极限是否存在。1x1?ax11sin是（） 2xx1x35、当x?0时，变量

（1）无穷小，（2）无穷大，（3）有界，但不是无穷小量，（4）无界，但不是无穷大量 36、函数f(x)?xsinx是（）

（1）当x??时为无穷大，（2）在(??,??)内有界，（3）在(??,??)无界，（4）当x??有有限极限 37、设数列{xn}，{yn}满足limxnyn?0，则下列结论正确的是（）

x??（1）若xn发散，则yn必发散（2）若xn无界，则yn必有界，（3）若xn有界，则yn必为无穷小 （4）若

1为无穷小，则yn必为无穷小 xn1x2?1x?138、当x?1时，函数e的极限为（）

x?1（1）2，（2）0，（3）?，（4）不存在

?1?ex?1,x?0?39、设f(x)??1,x?0，求limf(x)

x?0?1?1?xsin,x?0x?2?e1?e1x4x40、求lim(x?0?sinx) |x|41、lim[1?2???n?1?2???(n?1)]=（）

n??42、极限lim(n?3n?n?n)=（）

n??43、limx(x?100?x)

x???2

44、limx?13?x?1?x=（） 2x?x?24x2?x?1?x?1x?sinx245、limx???=（）

111????2，求limxn

n??3154n?1111???2)=（） 47、lim(?n??4289n?3n?2148、设函数f(x)?ax(a?0,a?1)，则lim2ln[f(1)f(2)?f(n)]=（）

n??nsin6x?xf(x)6?f(x)?0lim49、若lim，则=（） 32x?0x?0xxf(x)ln(1?)sinx?A(a?0,a?1)，求limf(x) 50、设limx?0x2x?0ax?146、设xn?51、求lim(1?x)(1?x)(1?x)?(1?x),(|x|?1)

n??242nnnn????)?1 22n??n2??n?2?n?n?12n?2???2) 53、求lim(2n??n?n?1n?n?2n?n?n52、利用极限存在准则证明：lim(54、设xn?1?1a(xn?)，其中a?0,x0?0，求limxn

n??2xn55、证明数列2，2?2，2?2?2….的极限存在，并求该极限

3x2?52sin=（） 56、limx??5x?3x1x=（） 57、limx?0(1?cosx)ln(1?x)3sinx?x2cos58、lim(1?x)=（）

x?02x59、设lim(x??x?2ax)?8，则a=（） x?a1n?2na?1n]=（） ，则limln[n??2n(1?2a)60、设常数a?

x1999161、n为正整数，a为某实数，a?0，且limn，则n=（），并且a=（） ?x???x?(x?1)na

x262、已知lim(，b=（） ?ax?b)?0，其中a，b是常数，则a=（）

x??x?163、若limsinx(cosx?b)?5，则a=（），b=（）

x?0ex?a362x??64、试确定常数a，b使下式成立：lim(1?x?ax?b)?0

65、当x?0时，下列4个无穷小量中比其他3个更高阶的无穷小量是（）

x（1）ln(1?x)，（2）e?1，（3）tanx?sinx，（4）1?cosx

66、若x?0时，(1?ax)?1与xsinx是等价无穷小，则a=（） 67、设x?0时，excosx?ex与x是同阶无穷小，则n=（）

n221468、设当x?0时，(1?cosx)ln(1?x2)是比xsinx高阶的无穷小，而xsinx是比(ex?1)高阶的无穷小，则正整数n=（）

nn22x=（） 2x??x?1xln(1?x)70、lim

x?01?cosx69、limxsin71、lim(1?3x)x?02sinx

72、lim?x?01?cosxx(1?cosx)x

73、limln(1?2)ln(1?x???3) x74、lim(n??n?1(?1)n) n2x75、lim[1?ln(1?x)]

x?076、limx[(x?0?32?cosxx)?1] 3x?277、设f(x)在x?2连续，且limf(x)?3存在，则f(2)=（）

x?2278、设f(x)?ln(9?x)，则f(x)的连续区间为（）

?x,x?01?79、讨论函数f(x)??的连续性

1?ex??0,x?0

（1）

???e??????lnx111dx （2）?dx（4）?dx （3）?dx

eee3xxlnxxlnxxlnx527、528、

???0dx 2x?4x?8???0xdx 3(1?x)dx 2x(x?1)529、

???1530、

????dxxx?121

531、

??0xdx 22(1?x)532、

????dx(x?7)x?21xe?xdx

2

533、

??1??dx?1e1?x?e3?x

??dx535、试确定积分?在?取什么值时收敛，取什么值时发散？ ?1x??dx536、?

exln2x534、537、已知

???0e?x2dx??2，求

???e?x?e?xx0dx

538、

???1arctanxdx 2x539、

???0xe?xdx

(1?e?x)2540、已知

???02??sinxsinx?dx?，求?dx

0x2x2??1x2dx??dx 4401?x1?x541、试证：

???0542、已知lim(x????x?ax)??4x2e?2xdx，求常数a的值

ax?a

a1?xax)??tetdt，则常数a=（） 543、设lim(??x??x??Cx1?)dx收敛，并求出该积分值 544、求实数C，使得?(20x?12x?1545、下列广义积分发散的是（） （1）

??1??111?x2dx（2）（3）（4）dxedx??1sinx?2xln2xdx ??11?x2?01546、

?(2?x01xdx2)1?x2

547、下列结论中正确的是（） （1）

?????11??1dxdxdxdx与?都收敛，（2）?与?都发散

0x(x?1)10x(x?1)x(x?1)x(x?1)1??1dxdxdxdx发散、?收敛（4）?收敛、?发散

010x(x?1)x(x?1)x(x?1)x(x?1)（3）

??1548、

3212dx|x?x|2

549、lim[1?cos1n??n?n?1?cos2n2?n????1?cos]??? nnnn2550、limlnn(1?)(1?)?(1?)???

22n??1n2?n?n???sin?] 551、lim[n??n?111n?n?2nsinsin552、已知

??x0f(t)dt?xf(ux)，且f(x)?ex，则limu???

x?0553、已知两曲线y?f(x)与y??arctanx0e?tdt在点(0,0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限

22limnf() n??n554、设函数s(x)?（2）求lim2n?s(x)?2(n?1)（1）当n为正整数，且n??s(x)?(n?1)?时，证明：?|cost|dt，

0xs(x)

x???x1x555、若f(x)在[a,b]上连续，试证：lim?[f(t?h)?f(t)]dt?f(x)?f(a),其中a?x?b

h?0ha556、若f(x)在[a,b]上连续，则下列函数中，必为偶函数的是（）

（1）

?x0f(t2)dt （2）?f2(t)dt （3）?t[f(t)?f(?t)]dt（4）?t[f(t)?f(?t)]dt

000xxx557、若f(x)在[a,b]上连续，F(x)是f(x)的原函数，则（）

（1）当f(x)是奇函数时，F(x)必为偶函数（2）当f(x)是偶函数时，F(x)必为奇函数

（3）当f(x)是周期函数时，F(x)必为周期函数（4）当f(x)是单调增函数时，F(x)必为单调增函数 558、设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，\M?N\表示“M的充分必要条件是N”，则必有（） （1）F(x)是偶函数?f(x)是奇函数（2）F(x)是奇函数?f(x)是偶函数

（3）F(x)是周期函数?f(x)是周期函数（4）F(x)是单调增函数?f(x)单调增奇函数

?xtf(t)dt??0,x?0，其中f(x)有连续的导数，且f(0)?0，研究（1）F(x)的连续性（2）559、设F(x)??2x??0,x?0求F?(x)，并研究F?(x)在点x?0处的连续性 560、设f(x)连续，?(x)?的连续性

561、对于一切实数t，函数f(t)连续的正函数且可导，同时有f(?t)?f(t)，又函数

?10f(xt)dt，且limx?0f(x)?A（A为常数），求??(x)并讨论其在点x?0处xg(x)??|x?t|f(t)dt，a?0，x?[?a,a]

?aa（1） 证明：g?(x)是单调增加的 （2） 求出使g(x)取最小值的x值

（3） 将g(x)的最小值当作a的函数，使其等于f(a)?a2?1，并求f(x)

32?2x?x,?1?x?0?x2?562、设f(x)??，求函数F(x)??f(t)dt的表达式 x?1xe?,0?x?1x2?(e?1)?563、设f(y)是连续函数，且F(x)??baf(y)|x?y|dy，a?x?b，求F??(x)

x564、设函数f(x)、g(x)满足f?(x)?g(x)，g?(x)?2e?f(x)，且f(0)?0，g(0)?2，求

?

?0[g(x)f(x)?]dx 1?x(1?x)2

565、设函数f(x)在(??,??)内满足f(x)?f(x??)?sinx，且f(x)?x，x?[0,?]，计算566、设函数f(x)、g(x)在区间[?a,a](a?0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件

??3?f(x)dx

f(x)?f(?x)?A

（1）证明：

?a?af(x)g(x)dx?A?g(x)dx

0a?（2）利用（1）的结论计算定积分

x?x|sinx|arctanedx ??2?2?2567、设f(x)??x|sint|dt（1）证明f(x)是以?为周期的周期函数（2）求f(x)的值域

568、设连续函数f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，试证明：I?569、证明：

?10f(1?x)?dx?f(2)

81?x2?10lnf(x?t)dt??ln0x1f(u?1)du??lnf(u)du

0f(u)570、设f(x)为连续函数，证明：571、设f?(x)为连续函数，F(x)??x0xf(t)(x?t)dt??(?f(u)du)dt

00xt?0求证：F(2a)?2F(a)?[f(a)]2?f(0)?f(2a) f(t)f?(2a?t)dt，

572、设f(x)在[0,1]上可导，F(x)?使得f?(?)???t0x2f(t)dt，且F(1)?f(1)，证明：在(0,1)内至少存在一点?，

2f(?)?

1bf(x)dx?f(b)，求证在(a,b)内至573、设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且

b?a?a少存在一点?，使得f?(?)?0

574、设函数f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且满足f(1)?3?130e1?xf(x)dx，证明存在点

2??(0,1)，使得f?(?)?2?f(?)

?575、设f(n)??40tannxdx，其中n?1，证明：（1）f(n?1)?f(n)，（2）f(n)?f(n?2)?1，n?1n?2，（3）

11?2f(n)?,n?2 n?1n?1576、设函数f(x)、g(x)在区间[a,b]上连续，且g(x)?0，利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点??[a,b]，使得

?baf(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx

ab577、设函数f(x)在区间[?a,a](a?0)上具有二阶连续导数，f(0)?0

（1）写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式

（2）证明：在[?a,a](a?0)上至少存在一点?，使得af??(?)?33?a?af(x)dx

578、设函数f(x)在区间[0,1]上连续且递减，证明：当0???1时，579、（1）设函数f(x)在区间[a,b]上连续，证明：(??0f(x)dx???f(x)dx

01?f(x)dx)?(b?a)?f2(x)dx；

a2b（2）设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且严格单增，证明：(a?b)?baf(x)dx?2?xf(x)dx

a1100b23580、设函数f(x)在区间[0,1]上可导，f(0)?0，0?f?(x)?1，试证：(?f(x)dx)??f(x)dx

M2(b?a) ?a211582、设函数f(x)的一阶导数在区间[0,1]上连续，f(0)?f(1)?0，求证：|?f(x)dx|?max|f?(x)|

04x?[0,1]581、设函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f?(x)?M，f(a)?0，证明：

bf(x)dx?583、设函数f(x)、g(x)在区间[a,b]上连续，且g(x)?0，x?[a,b]，试证至少存在一点??(a,b)，

?使得

?babaf(x)dxg(x)dx?f(?) g(?)f(2x?a)存在，证

x?a584、设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f?(x)?0，若极限lim?x?a明：（1）在(a,b)内f(x)?0（2）在(a,b)内存在点?，使得

b2?a2?（2）中相异的点?，使得f?(?)(b?a)?22b?af(x)dx2?（3）在(a,b)内存在与f(?)2?bf(x)dx ?a??a585、设函数f(x)在区间[a,b]上具有连续的二阶导数，证明：在(a,b)内存在点?，使得

?baf(x)dx?(b?a)f(a?b1)?(b?a)3f??(?) 224586、若f(x)在[0,a](a?0)上连续，且f??(x)?0，证明：

?a0af(x)dx?af()

2112??587、设函数f(x)在区间[0,1]上具有二阶导数f(x)?0，试证明：?f(x)dx?f()

03588、设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)?0，则方程根是（）

（1）0个（2）1个（3）2个（4）无穷多个

?xaf(t)dt??xb1dt?0在区间(a,b)内的f(t)589、设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(x)?1，证明：方程2x?个根。

?x0f(t)dt?1在(0,1)内有且仅有一

第四章 不定积分

386、下列函数中，不是e（1）

2x?e?2x的原函数是（）

12x111(e?e?2x)（2）(ex?e?x)2（3）(ex?e?x)2（4）(e2x?e?2x) 2222387、若f(x)的导函数为sinx，则f(x)的一个原函数是（） （1）1?sinx（2）1?sinx（3）1?cosx（4）1?cosx 388、设F?(x)dx?G?(x)dx，则下列结论中错误的是（）

（1）F(x)?G(x) （2）F(x)?G(x)?C（3）F?(x)?G?(x)（4）dF?(x)dx?dG?(x)dx 389、若F?(x)?????11?x2，F(1)?3?，则F(x)为（） 2（1）arcsinx（2）arcsinx?c（3）arccosx??（4）arcsinx??

390、设F1(x)、F2(x)是区间I内连续函数f(x)的两个不同的原函数，且f(x)?0，则在区间I内必有（）

（1）F1(x)?F2(x)?C（2）F1(x)?F2(x)?C（3）F1(x)?CF2(x)（4）F1(x)?F2(x)?C 391、下列等式中正确的是（） （1）

?f?(x)dx?f(x)（2）?df(x)?f(x)（3）

df(x)dx?f(x)（4）d?f(x)?f(x) ?dx392、若

?f(x)dx?xex?c，则f(x)=（）

1x393、如果等式（1）??f(x)e?dx??e?1x?c，则f(x)=（）

1111（2）?2（3）（4）2

xxxx394、求ddf(x)

395、设f?(cos2x)?sin2x，且f(0)?0，则f(x)=（） （1）cosx???1111cos2x（2）cos2x?cos4x（3）x?x2（4）x?x2 2222396、设f(x)?|x|?2，则397、求下列不定积分 （1）x?f(x)dx???

2?23xdx（2）?(x?2)dx（3）?(1?x)2x3x4?3x2?1dx（5）?3xexdx dx（4）?2x?11?x?x2398、求?dx 2x(1?x)

1?sin2x399、求?dx

1?cos2x400、一曲线通过点(e2,3)，且在任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求该积分曲线

?x?x401、设F(x)是f(x)的一个原函数，则ef(e)dx=（）

?（1）F(e?x)?C（2）?F(e?x)?C（3）F(ex)?C（4）?F(ex)?C 402、设xf(x)dx?arcsinx?c，求

??1dx f(x)403、如果f(x)?e?x，则（1）??f?(lnx)dx=（） x11?c（2）?c（3）?lnx?c（4）lnx?c xx404、求下列不定积分

22（1）xf(x)f?(x)dx（2）

??f?(lnx)dx x405、已知f?(ex)?xe?x，且f(1)?0，则f(x)=（） 406、求下列函数的不定积分 （1）

dx1dxdxdx（2）（3）（4）（5）dx?4?9x2?4?9x2?5?2x?x2?x1?ln2x ?x(4?x)407、求下列三角函数的不定积分

232（1）sinxsin3xdx（2）sin3xdx（3）sinxcosxdx（4）

?????sin3dx（5）?cos5xdx

3（6）tanxdx

408、求下列不定积分

sinxcosxdx（2）（1）e?1?sinxdxdxdx（3）（4）?x?cosx?1?sinx?sin2x?5cos2x

409、求

?dxx(1?x)dx3

410、求

?(2?x)?31?x

411、求x412、求

4?x2dx

?(2xdx2?1)x?12

413、求

?x2dx(x2?a2)dx1?x232

414、求

?x??

415、求

a2?x2dx x42416、求ln(x?1?x)dx

x?ln3x417、计算?dx 2(xlnx)418、

lnx?1?x2dx

419、arctan?xdx

2420、(arcsinx)dx

?arctanexdx 421、?2xe2x2422、e(tanx?1)dx

?423、

lnsinx?sin2xdx

424、设f?(x2)?lnx(x?0)，求f(x)

425、

???arcsinxx3x2dx

426、xedx

2xx427、ecosedx

428、设f(lnx)?ln(1?x)，计算?f(x)dx x2429、已知f(x)的一个原函数为lnx，则xf?(x)dx=（）

?430、已知

sinx3是函数f(x)的一个原函数，求?xf?(x)dx xx2431、设f(x)的一个原函数为e，求xf??(x)dx 432、求下列不定积分

?

x314x?31（1）?（3）（4）dx（2）?2dxdx?(x?2)3?x(x?1)(x2?x?1)dx x?3(x?1)(x?1)2433、求下列不定积分

x?5x3dx（2）?（1）?2dx 10x?6x?13(x?1)dx?3?cosx

sinxdx 435、?sinx?cosxcosxdx 436、?2sinx?cosx434、437、

??1?xdx

1?xxdxax?b?d(a?0)

438、

439、

??dx3(x?1)(x?1)dx1?x?1?x2324

440、

x2441、设f(x?1)?ln2，且f[?(x)]?lnx，求??(x)dx

x?2442、x?31?x2dx

1arctanxdx 443、?1?x2444、

dx?sin(2x)?2sinx

x2ex445、?dx 2(x?2)446、设f(sinx)?2xx，求?f(x)dx sinx1?x447、

?xexe?2xdx

448、

?xearctanx(1?x2)32dx

x2arctanxdx 449、?1?x2

第五章 定积分

sinx42(sin3x?cos4x)dx，P?2(x2sin3x?cos4x)dx，则有450、设M??2?，cosxdxN??????1?x2??222（）

（1）N?P?M（2）M?P?N（3）N?M?P（4）P?M?N

????451、设I1??40tanxxdx，I2??4dx ，则（）

0tanxx?（1）I1?I2?1（2）1?I1?I2（3）I2?I1?1（4）1?I2?I1

452、设函数f(x)和g(x)在[0,1]上连续，且f(x)?g(x)，则对任何c?(0,1)（） （1）

?c12f(t)dt??1g(t)dt（2）?1f(t)dt??1g(t)dt（3）?f(t)dt??g(t)dt（4）?f(t)dt??g(t)dt

222ccc1111cccc453、估计积分

??5?4(1?sin2x)dx的值

?41sinx2454、证明：???2 dx?2x24455、若f(x)?1112?1?xf(x)dx，则f(x)dx??? 2??001?x456、已知f(x)?x?x457、设f(x)?x?22?20f(x)dx?2?f(x)dx，试求f(x)

01??0f(x)cosxdx，求f(x)

20458、设f?(x)??f(x)dx?50，且f(0)?0,f(x)?0，求?f(x)dx及f(x)

0459、下列积分中可直接用牛顿—莱布尼茨公式计算的是（） （1）

?50??dx1edxxdxxdx（2）（3）（4） 12???1?12xx?11?xexlnx460、

??0sin3x?sin5xdx

461、求下列定积分

（1）

?2?22（2）?min(2,x)dx max(x,x2)dx，

?32462、设?(x)是x到离x最近的整数的距离，求

?1000?(x)dx

x?x2,0?x?1463、设函数f(x)??，记F(x)??f(t)dt,0?x?2，则（）

0?2?x,1?x?2?x3?x3,0?x?1,0?x?1???3?3（1）F(x)??（2）F(x)??

22?1?2x?x,1?x?2??7?2x?x,1?x?2??22?3?6?x3?x3,0?x?1,0?x?1???3?3（3）F(x)??（4）F(x)??

322?x?2x?x,1?x?2?2x?x,1?x?2??22??3?1,x?0x?464、设f(x)??0,x?0，F(x)??f(t)dt，则（）

0??1,x?0?（1）F(x)在x?0点不连续（2）F(x)在(??,??)内连续，在x?0点不可导 （3）F(x)在(??,??)内可导，且满足f?(x)?f(x) （4）F(x)在(??,??)内可导，但不一定满足f?(x)?f(x)

465、设g(x)??x0?1(1?x2),0?x?1??2，则g(x)在区间(0,2)内（） f(u)du，其中f(x)???1(x?1),1?x?2??3（1）无界（2）递减（3）不连续（4）连续 466、

?t|t?x|dt

01467、求

?x0??sinx,0?x???2 f(t)g(x?t)dt(x?0)，其中当x?0时，f(x)?x而g(x)???0,x???2?3?468、

??(x2?2?sin2x)cos2xdx

469、

?1?1(x?1?x2)2dx

470、

?1?1(x2ln2?xx?)dx 2?x5?4x471、

?1?1(|x|?x)e?|x|dx

472、设f(x)为连续函数，且F(x)??lnx1xf(t)dt，则F?(x)???

11111111f(lnx)?2f()（2）f(lnx)?f()（3）f(lnx)?2f()（4）f(lnx)?f() xxxxxxxxd0(?2xcost2dt)??? 473、

dxxdx(?sin(x?t)2dt)??? 474、

dx0dx(?tf(x2?t2)dt)??? 475、设f(x)为连续函数，则

dx0（1）

（1）xf(x2)（2）?xf(x2)（3）2xf(x2)（4）?2xf(x2)

476、设f(x)为奇函数，除x?0外处处连续，x?0是其第一类间断点，则

?x0f(t)dt是（）

（1）连续的奇函数（2）连续的偶函数（3）在x?0间断的奇函数（4）在x?0间断的偶函数 477、设F(x)??x1(2?1t)dt(x?0)，则函数F(x)的单调减少区间是（）

x478、设函数f(x)在(??,??)内连续，且F(x)??(x?2t)f(t)dt。试证：

0（1）若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数（2）若f(x)单调不增，则F(x)单调不减 479、求函数f(x)?x?x20(2?t)e?tdt的最大值和最小值

111xdt?480、设F(x)???01?t2dt，则（） 01?t2（1）F(x)?0（2）F(x)?481、设F(x)??2（3）F(x)?arctanx（4）F(x)?2arctanx

?x?2?xesintsintdt，则F(x)???

dy dx（1）为正常数（2）为负常数（3）恒为零（4）不为常数 482、设

?y0edt??t23x20lnt?x2dt(x?0)，求

?x?cost2dyd2y??2t483、设?，求、在的值 t?122y?tcost?cosududx2dx??12u?

?x?tf(u2)du2dy??0484、设?，其中f(u)具有二阶导数且f(u)?0，求 222dx??y?[f(t)]12(3sint?tcos)dt?0t485、求极限lim xx?0(1?cosx)?ln(1?t)dtx0486、确定常数a,b,c的值，使得limax?sinx?c(c?0) 3x?0xln(1?t)?btdt487、设函数f(x)连续，且f(0)?0，求极限

?limx?0x0(x?t)f(t)dtx0x?f(x?t)dt

488、设函数f(x)有导数，且f(0)?0，F(x)?489、把x?0时的无穷小量????x0tn?1f(xn?tn)dt，证明：limx?0F(x)1?f?(0) 2n2nx?x0costdt，???tantdt，???sint3dt排列起来，使排在后

002x2x面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（） （1）?,?,?（2）?,?,?（3）?,?,?（4）?,?,?

?(x)在点x?0的某邻域内连续，490、设f(x)、且当x?0时，f(x)是?(x)的高阶无穷小，则当x?0时，

?x0f(t)sintdt是?t?(t)dt的（）

0x（1）低阶无穷小（2）高阶无穷小（3）同阶但非等价无穷小（4）等价无穷小 491、设函数f(x)有连续的导数，且f(0)?0，f?(0)?0，F(x)??x0(x2?t2)f(t)dt，且当x?0时，

F?(x)与xk是同阶无穷小，则k???

（1）1（2）2（3）3（4）4

?sinax?1?cosx,x?0??492、设f(x)??2,x?0在x?0处连续，求a,b

?12xt??0b?t2dt,x?0x?sinx???2?x2(1?cosx),x?0?493、设f(x)??1,x?0试讨论f(x)在x?0处连续性和可导性

?1x??cost2dt,x?0?x0

1?x21xe,??x??2?22494、设f(x)??，则?1f(x?1)dx???

2??1,x?1?2?495、设

?x141x41f(t)dt??，则?f(x)dx???

122x1stx496、若I??f(t?)dx(s?0,t?0)，则I之值（）

s0s（1）依赖于s,t,x（2）依赖于s,t,（3）依赖于t，不依赖于s，（4）依赖于s,x

497、求定积分

1?1?04324xxdx

498、499、500、

?x(1?x0)dx

?102x?x2dx

2?x2(4?x2)x?12x?1321dx

501、

?1?15dx

502、

?ln4dxe?1xln2

503、已知

?lna0ex3?2exdx?11，求a的值 3111xdt?504、当x?0时，证明：??11?t2dt x1?t2505、设f(x)连续，证明：

??baf(x)dx?(b?a)?f[a?(b?a)x]dx

01sinxcosxdx??2dx 506、证明：?20sinx?cosx0sinx?cosx507、设f(x)在[0,1]上连续，证明：

????0xf(sinx)dx???2f(sinx)dx

0508、设f(x)在[0,1]上的连续函数，证明：

?nn??0xf(sinx)dx???2?0?f(sinx)dx

1509、设n为整数，证明：?2cosx?sinxdx?n02?20cosnxdx

a?T510、设f(x)在(??,??)上连续，且是周期为T的周期函数，证明：?

af(x)dx??f(x)dx

0a

511、设f(x)连续，且关于x?T对称，a?T?b，证明：

?baf(x)dx?2?f(x)dx??Tb2T?baf(x)dx

512、试证：I?513、计算：I??2?0sinx2dx?0

???20dx1?(tanx)3

514、计算：I?4ln(9?x)ln(9?x)?ln(x?3)2dx

exsin4x515、计算：I???dx x?1?e22??516、求

?40xdx

1?cos2x517、

?21x(lnx)2dx

lnxx，求

518、设f(2x?1)?ln2?71f(x)dx

519、计算：

?0x1?e?2xdx

520、设f(x)??sintdt，求??t?0f(x)dx

?sinx，则??xf?(x)dx=（） x2521、设f(x)有一个原函数

522、已知f(2)?523、如图所示

2112，f?(2)?0及?f(x)dx?1，则?xf??(2x)dx???

002曲线C的方程为y?f(x)，点(3,2)是它的一个拐点直线L1与L2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4)，设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分524、设函数f(x)连续，且

?(x032?x)f???(x)dx

?x0tf(2x?t)dt?21arctanx2。已知f(1)?1，求?f(x)dx

12525、设函数f(x)、g(x)在[a,b]上连续，且满足证明：

?xaf(t)dt??g(t)dt，x?[a,b]，?f(t)dt??g(t)dt，

aaaxbb?baxf(x)dx??xg(x)dx

ab526、下列广义积分收敛的是（）

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