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概率论公式整理
1、概率的性质 ○
1非负性 ○
2规范性 ○
3可列可加性 2、P(?)?0 P(A)?1?P(A ) P(AB)?P(A?)P(A?B)当?B???时??P(?A)B?(P)A (P)B减法公式
P(BA)?P(B?)P(A?B)当?A???时??P(?B)A?(P)B (P)A P(A?B)?P(A)?P(B)?P( AB 当AB互不相容时：P(A?B)?P(A)?P(B) 推广：
P(A1?A2?A3)?P(A1)?P(A2)?P(A3)?P(A1A2)?P(A2A3)?P(A3A1)?P(A1A2A3)3、条件概率 P(B|A)?P(AB)P(A) P(B|A)??1P(B| A)4、乘法公式：P(AB)?P(A|B)P(B)?P(B|A)P(A) 推广：P(A1A2A3)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)
n5、全概公式： P(B)??P(Ai)P(B|Ai)
i?16、贝叶斯公式：P(A(AiB)P(B|Ai)P(Ai)i|B)?PP(B)?n
?P(Ai)P(B|Ai)i?17、事件的独立性：P(AB)?P(A)P(B) 事件的互不相容性：P(AB)?P(?)?0
不可能事件?和必然事件?与任意事件A都是独立的
8、事件A与B互相独立，则A与B，A与B，A与B各对事件都是独立的
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加法公式
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证明：B?B(A?A)?AB?AB
P(B)?P(BA?BA)?P(BA)?P(BA)
P(BA)?P(B)?P(BA)?P(B)(1?P(A))?P(B)P(A)
??/
对于任意事件：相互独立两两独立
9、伯努利概型：Pn(k)?Cnkpk(1?p)n?k 10、随机变量X的分布函数F(x)?P(X?x)
P(X?a)?F(a) P(X?a)?F(a?)
P(X?a)?F(a)?F(a?) P(a?X?b)?P(b)?P(a) P(a?X?b)?P(b?)?p(a?) P(a?X?b)?P(b?)?P(a) P(a?X?b)?F(b)?F(a?)
性质：单调非降性、规范性（F(??)?0 F(??)?1）、右连续性
kkn?k11、1）二项分布：X~B(n,p) P(X?k)?Cnp(1?p)
当n很大时，1）=2） ??np
2）泊松分布：X~P(?) P(X?k)??kk!e?x
当
MN?p时，1）=3）
kmn?kN?mnN 3）超几何分布：X~H(n,M,N) P(X?k)?CCC
12、概率密度函数f(x)的性质
非负性 规范性：?'????f(x)dx?1
F(x)?f(x)
13、常见连续型分布函数的密度函数
1）均匀分布X~U(a,b) f(x)?
2）指数分布X~E(?)
1b?a a?x?b
0 其他
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?x?e x?0
f(x)? 0 x?0
3）正态分布X~U(u,?2) f(x)?14、二维密度函数：?1????????1?(x?u)2?22?2?e ???x???
?f(x,y)dxdy?1
二维均匀分布函数
a (x,y)?G G为面积为
a的区域
f(x,y)? 0 其他
?(x,y)~单位圆内的均匀分布
1f(x,y)? ? x2?y2?1
0 其他
15、边缘密度函数：fX(x)?16、
二项分布 X~B(n,p) 泊松分布 X~P(?) k?????f(x,y)dy fY(y)?E(x)n?k?????f(x,y)dx
解析式 Cnp(1?p)k E(x^2) 2D(x) np np?n(n?1)p np(1?p) ?kk!e?x ? 2??? ? 几何分布 X~G(p) 超几何分布 X~(n,M,N) p(1?p)kn?kk?1 1/p nMN 离散型 CmCN?mCnN 均匀分布 X~U(a,b) (a?b)/2 (b2?ab?a2)/3 (b?a)2/12 1指数分布 X~E(?) 正态分布 X~U(u,?) 2? 2?22 1?2 连续性 u ????u?? 2? 2E(x)??????xf(x)dx E(g(x))??g(x)f(x)dx
????iE(x)??x??pi E(g(x))??g(x)pi??i
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17、二维连续型随机变量
E(x)???????xf(x,y)dxdy E(y)???????yf(x,y)dxdy
????????18、方差：D(x)?E(x2)?[E(x)]2
19、D(ax?by)?a2D(x)?b2D(y)?2abcov(x,y)
协方差：cov(x,y)?E(x,y)?E(x)E(y)
?cov(x,y)x,y?D(x)D(y) 20、切比雪夫不等式：P(|x?E(x)|??)?D(x)?2 P(|x?E(x)|??)?1?D(x)?2
21、统计量是指样本函数中没有未知量 22、（1）卡方分布 ?2?1n22?2?(xi?u)~?(n)
i?1 x~?2(n) E(x)?n D(x)?2n
（2）T分布
x~N(0,1) y~?2(n) T?x~)y/nt(n
t1??(n)??t?(n) （3）F分布
x~?2(n) y~?21(n2)
F?xn/y(n1,n2)
1n~F2 F11??(n1,n2)?F
?(n2,n1)23、置信区间
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?已知 U?u x?u?/x?uS/n~N(0,1) [x?u?/2?n,x?u?/2?n] ?未知 T?n~t(n?1) [x?t?/2(n?1)Sn,x?t?/2(n?1)Sn] ? u未知 ?=2(n?1)S2?S21212~?(n?1) 2[(n?1)S2?2?/2(n?1)?,(n?1)S21??/22(n?1)] ??2122 u未知 F??/S?2222S1~F(n1?1,n2?1) 22S122[,] F?/2(n1?1,n2?1)F1??/2(n1?1,n2?1)S2S2样本方差：S2?24、拒绝域
1n?1n2i?(xi?1?x)
?已知 u U?x?u?/n~N(0,1) (??,?u?/2]?[u?/2,??) ?未知 T?x?uS/nn~t(n?1) (??,?t?/2(n?1)]?[t?/2(n?1),??) u已知 ??21?2?i?1(xi?u)~?(n) 22(??,?2(n)]?[?1??/22?/2(n),??) ? u未知 ??2(n?1)S2?U?2~?(n?1) 2(??,?21??/2(n?1)]?[?2?/2(n?1),??) x?y?1,?2已知 u1,u2 ?21n1??22 (??,?u?/2]?[u?/2,??) n2?1,?2未知 t?Swx?y1n1?1n2 (??,?t?/2(n1?n2?2)]?[t?/2(n1?n2?2),??)（?1??2） u1,u2已知 F? [F?/2(n1,n2),??) ?1?2222~F(n1,n2) ?1,?2 u1,u2未知 F?max(S1,S2)min(S1,S2)222~F(n1?1,n2?1) [F?/2(n1?1,n2?1),??) 第5页_共6页 整理人：周潘勇
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S221?(n1?1)S2n1?n2?2 第6页_共6页 整理人：周潘勇Sw?(n1?1)
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