小学奥数方法.1.一般解题方法

（一）一般解题方法

【图示法】 解答竞赛题时，尽管题目内容复杂多变，或者已知条件十分抽象，但可以用图形（线段图、直观图、示意图）把题中的条件和问题形象、具体地表示出来，以帮助我们揭示数量关系，正确地找到解答方法。这种解题方法就是图示法。

例1 一段布料，做5套相同的服装，还剩下全部布料的 。如果做同样

7的服装3套，则剩下16.1米。这段布料全长多少米？ 分析：根据题意先画图观察（如图3.1）。

3

可知：做1套服装所用布料占这段布料的：

做3套服装所用布料占这段布料的：

剩下的布料16.1米的对应分率是：

由此可求出这段布料全长多少米。

答：这段布料全长24.5米。

1

例2 把一个长方体的高减少4厘米，就得到一个底面不变的正方体，它的表面积比原来减少了112平方厘米。这个正方体的体积是多少？

分析：这是一道比较抽象的图形的求积题，需要有一定的空间想象能力。通过画图（如图3．2），可以帮助理解两个关键问题。一是把长方体的高减少4厘米后，得到一个底面不变的正方体，这个正方体的六个面都是正方形。二是长方体变成正方体后，它的表面积减少的部分是以4厘米为高的这个长方体的侧面积（而不含阴影部分的面积）。根据已知条件，可知将这个侧面积展开是一个宽4厘米、面积为112平方厘米的长方形，由此可求出它的长，也就是得到的正方形的一个面的周长。112÷4＝28（厘米） 则正方体的棱长为：28÷4＝7（厘米） 由此可求出正方体的体积。 解：（112÷4÷4）3 ＝7×7×7

＝343（立方厘米）

答：这个正方体的体积是343立方厘米。

例3 在边长是6米的正方形花圃四周由里向外铺上三圈水泥砖，形成一个大的正方形，这种水泥砖每块是边长30厘米的正方形，共需要这种水泥砖多少块？（中南地区小学数学竞赛试题）分析：此题是一道空心方阵问题。根据方阵里外相邻两层每边数相差2的特点，可求出方阵最里层每边有方砖是600÷30＋

2

2＝22（块），因为是3层，所以最外层每边有方砖是22＋2×（3－1）＝26块。

由题意画一个空心方阵图（如图3．3），阴影部分表示方砖数，把这个图的阴影部分划分成相等的四个小块，只需求出一小块里面有多少块砖，便可求出一共有多少块砖。

解：（26－3）×3×4＝276（块） 答：共需方砖276块。

例4 一组割草人去两块草地割草，他们的工效都相等。大的一块草地比小的一块大一倍。上午全组人都在大的一块草地割草，下午一半人留在大草地上，到傍晚时把草割完。另一半人就到小草地上去割，到傍晚时还剩下一块，这一块若由一个人去割，正好一天可以割完。问全组共有多少名割草人？

分析：这是一道俄国名题，乍看起来数量关系比较复杂，若根据题意先画一个图，题意就一目了然了。先画一个长方形表示大的一块草地，连着这个长方形再画一个面积是它的一半的小长方形，表示小的一片草地，如图3．4所示。

3

答：全组共有8名割草人。

例5 AB两站从6：00—19：00，每隔10分钟有一辆公共汽车同时相对开出。从A站到B站与从B站到A站运行的时间均为50分钟。现有一辆汽车上午9点出发从B站开往A站，问这辆汽车在运行途中遇到多少辆从A站开往B站的汽车？（“运行途中”是指出站后至进站前所经过的路段。）

分析与解答：考虑问题时应想到这辆从B站开往A站的车，在出发前A站已每隔10分钟向B站发车，那么这辆车在运行途中会遇到多少辆从A站开往B站的车呢？可用图示法解答。

分别从AB两站画两条平行的时间轴，每两点之间的线段表示一个时间段（10分钟）。汽车9点从B站开出，9点50分到达A站，在B轴上用“0”表

4

示发车时间，A轴上用5表示到达时间，AB两站相对开出的车辆用斜线表示。这样一来，就把所求的问题转化成“0—5”连线与多少条斜线相交的问题。如图3.5所示。

由图可知，这辆汽车在运行途中，遇到了9辆从A站开往B站的汽车。 注：这类问题经常被称为“柳卡问题”，这是因为法国数学家柳卡（也译作“刘卡”）在一次国际会议期间最先提出这类问题。在匈牙利，它则被称为“邮车相遇问题”，因为匈牙利著名作家卡尔曼·米克沙特所著的名著《奇婚配》中，有一个类似的邮车相遇算题。解这类问题的图，称之为“时间一路程图”，或称之为“运行图”。

【列表法】 解题时把题中的条件进行分类整理，用表格的形式进行有序排列，使条件与条件之间，条件与问题之间的关系条理化、明朗化，有利于探求解题的思路，从而达到解决问题的目的。这种方法就是列表法。

例1一个圆的周长是1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行，这两只蚂蚁每秒分别爬行5.5厘米和3.5厘米。它们每爬行1秒、3秒、5秒……（连续奇数），就调头爬行。那么，它们相遇时，已爬行的时间是______秒。（1992年小学数学奥林匹克初赛试题）

分析：两只蚂蚁是在边进边退中相向爬行，要求出它们相遇的时间，就有一定困难。圆的周长是1.26米（126厘米），半圆的弧长则是63厘米，两只蚂蚁

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共同爬行63厘米所用的时间就是它们相遇的时间。两只蚂蚁每秒钟一共爬行了 5.5＋3.5＝9（厘米）

假定两只蚂蚁第1秒钟都往上半圆相向爬行，则它们共同爬行了9厘米。这时，它们调头向下爬行3秒钟，共爬行了 9×3＝27（厘米）

相对它们出发时的地点下降了 27－9＝18（厘米）

这时，它们又调头问上爬行5秒钟，共行9×5＝45（厘米），相对出发时的地点向上爬行了

45－18＝27（厘米） 依此类推，列出下表：

从上表可以看出，在蚂蚁连续向上爬行了13秒钟的时候，正好相遇。这时蚂蚁一共爬行了

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝49（秒） 答：它们相遇时，已爬行的时间是49秒。

分析：根据工作效率＝工作量÷时间，列下表：

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解：从上表可知师傅与徒弟两人工作效率的比为：

答：师傅与徒弟两人工作效率的比是5∶3。

例3长方形ABCD周长为16米，在它的每条边上各画一个以该边为长的正方形（如图3.6）。已知这四个正方形的面积的和是68平方米，求长方形ABCD的面积。（第四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛试题）

分析：要求长方形ABCD的面积，必须知道长方形的长与宽各是多少，若用算术方法或列方程解答都比较难，改用列表法解答则比较容易。由“长方形ABCD的周长是16米”，“四个正方形的面积的和为68平方米”这两个条件，以及长方形对边相等的性质，可以推出 长＋宽＝8（米）

长2＋宽2＝68÷2＝34（平方米） 根据推论列表如下：

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解：分析上表，符合条件的长应该是5米，宽应该是3米， 则长方形ABCD的面积为

5×3＝15（平方米）

答：长方形ABCD的面积是15平方米。

例4有若干只重量相同的箱子共重10吨，且每只箱子的重量不少于1吨。用载重3吨的汽车一次将箱子运走，至少需要__辆车子。（1993年全国小学生数学竞赛决赛试题）

分析：由“每只箱子的重量不少于1吨”，每辆汽车“载重3吨”的条件，可知每一箱子的重量的取值范围是1≤3。由于箱子的只数只能是自然数，根据“若干只重量相同的箱子共重10吨”的条件，可知箱子的只数是10、9、8、7、6、5、和4这七种情况。

要注意的是，若每只箱子的重量是1吨，则共有10只箱子，用3辆汽车每车装3只箱子，就还剩下1只箱子没有运走，故至少要4辆汽车才能一次运完。 根据条件和问题，列表解答如下：

从上表可知至少要6辆车才能一次将箱子运走。 答：至少需要6辆汽车。

【假设法】 一些题目含有两个或者两个以上的未知数量，其数量关系比较隐蔽，

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很难找到解题途径。为了使复杂的数量关系变得单一，使隐蔽的关系变得明朗，我们可以用“假设”，改变某些条件，或者将某个条件设为已知。对因假设而产生的差异进行分析推断，并加以调整，从而使问题获得解决。这种解题方法，就是假设法。

“假设”是一种重要的数学思想。列方程解应用题，把未知数设为X；有关倍数应用题，常常假定一个数量为“1倍”或“1”份；解答分数、百分数应用题，把一个数量假定为单位“1”。这些都是假设法的广泛应用。我国古代的“鸡兔同笼”、“百僧分馍”等问题，都是用假设法解答的典型应用题。

例1在一个停车场上，现有的车辆数是24辆。其中汽车是4个轮子，摩托车是3个轮子，这些车共有86个轮子。那么，三轮摩托车有__辆。（1992年小学数学奥林匹克初赛试题）

分析：假设这24辆全是汽车，则有轮子： 4×24＝96（个） 比实际的86个多了： 96－86＝10（个）

可以推断汽车不可能为24辆，对假设要作调整。由于每辆汽车比摩托车多1个轮子，多出的10个轮子就是多将10辆摩托车假定为汽车造成的。因此，摩托车为10÷1＝10（辆）

解：（4×24－86）÷（4－3） ＝10÷1

＝10（辆）………………………………摩托车辆数 24－10＝14（辆）…………………汽车辆数

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答：有三轮摩托车10辆。

本题也可以假设这24辆全是摩托车，则汽车为（86－24×3）÷（4－1）＝14（辆），摩托车则为24－14＝10（辆）。

例2某车站售出汽车月票若干张。每张学生票6元，每张成人票14元；售出的学生票比成人票多700张，售出的成人票比学生票多收6200元。问售出的成人票与学生票各多少张？

分析：假设再售出成人票700张，则学生票的张数就与成人票的张数同样多，那么成人票又要多收： 700×14＝9800（元） 成人票比学生票一共多收： 6200＋9800＝16000（元）

而每张成人票比学生票要多收14－6＝8（元），16000元里面包含了多少个8元，就是学生票的张数： 16000÷8＝2000（张）

解：（6200＋700×14）÷（14－6） ＝16000÷8

＝2000（张）……学生票数

2000－700＝1300（张）……成人票数 答：售出学生票2000张，成人票1300张。

分析：题中两个分率的单位“1”（或标准量）不统一，解此题的关键是假设

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哪一个量为单位“1”。可以假设文艺书的本数为单位“1”，也可以假设科技书的本数为单位“1”，还可以假设两种图书的总数为单位“1”，甚至可以假设两种图书相等的部分为单位“1”。现在假设科技书的本数为单位“1”。 用分数除法求得文艺书的本数是科技书的几分之几；

还可以根据比例的基本性质求得文艺书的本数是科技书的几分之几：

这样就找到了文艺书比科技书多120本的对应分率是：

＝240（本）……………………………科技书本数 120＋240＝360（本）…………………文艺书本数 240＋360＝600（本）…………………图书总数 答：共购进图书600本。

例4某工厂的27位师傅共带徒弟40名。每位师傅可以带一名徒弟、两名徒弟或三名徒弟。如果带一名徒弟的师傅的人数是其他师傅的人数的两倍，那么带两名徒弟的师傅有______位。（1993年小学数学奥林匹克竞赛试题初赛民族卷） 分析：由带一名徒弟的师傅人数是其他师傅的人数的两倍，可知带两名徒弟与带三名徒弟的师傅总人数是： 27÷（1＋2）＝9（名）

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9名师傅共带徒弟的人数是： 40－1×（27－9）＝22（名）

假设9名师傅每人都带3名徒弟，则有徒弟的人数是： 3×9＝27（名） 比实际的22名多了： 27－22＝5（名）

可知9名师傅不可能都带三名徒弟，多出的5名徒弟就是多将5名师傅都假设成带了三名徒弟的缘故，其中必有5名师傅是带两名徒弟的。 解：（3×9－22）÷（3－2）＝5（名） 答：带两名徒弟的师傅有5位。

例5甲、乙两地相距480千米。一辆汽车从甲地开往乙地，前3小时行了全程的37.5％，照这样计算，还要几小时到达乙地？

分析：如果把汽车行完全程所需的时间假设为单位“1”，则行完全程所需的时间为：

3÷37.5％＝8（小时）

那么，还要几小时到达乙地，则为： 8－3＝5（小时）

像这样巧用假设，使问题解答得十分简捷。 解：3÷37.5％－3＝5（小时） 答：还要5小时到达乙地。

例6甲、乙两个小朋友各有糖若干粒。如果乙给甲16粒，甲的糖就是乙的2倍；如果甲给乙9粒，乙的糖就是甲的3倍。求甲、乙两人原有糖各是多少粒？

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分析：这道题的数量关系十分隐蔽，很难发现数量间的联系。解题的关键是通过假设找到甲、乙两人糖数间的倍数关系。为了弄清谁是谁的几倍，必须先设甲（或乙）原有的糖数为“1倍”。

现在以甲原有的糖数为“1”倍。假设乙不给甲16粒，仍要使乙的糖数

假设甲不给乙9粒，仍要使乙的糖数是甲的3倍，则乙的糖数应增加9×（1＋3）粒。通过分析，可知乙的糖数先后变化之差为：

由此可以求出甲原有糖的粒数。

（24＋16）÷2＋16＝36（粒） ………………………………乙 答：甲原有糖24粒，乙原有糖36粒。

分析：这道题要求的数量有两种，两厂上交税金所取分率的单位“1”又各不相同，很难找到“量”与“率”的对应关系，如果使用“假设”便能顺利地解决这个问题。

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比实际上交的税金少了： 42－32＝10（万元）

＝63（万元）…………………………甲厂上交税金 112－63＝49（万元）……………乙厂上交税金 答：甲厂上交税金63万元，乙厂上交税金49万元。

例8 一个人从县城骑车去乡办厂。他从县城骑车出发，用30分钟行完了一半路程。这时，他加快了速度，每分钟比原来多行50米，又骑了20分钟后，他从路旁的里程标志牌上知道，必须再骑2千米才能赶

到乡办厂。求县城到乡办厂之间的路程。（《小学生数学报》第五届小学生数学邀请赛决赛试题）

分析：此题已知“用30分钟行完了一半路程”，但未给出每分钟行多少米，后来“每分钟比原来多行50米”，究竟后来一分钟的速度是多少，也不可知。所以按已知条件无法直接求得县城到乡办厂之间的路程。

我们可以用假设法使问题得到解决。把全路程看作“1”，假设后20分钟仍按原速行进，即每分钟不多走50米，则此人行了30＋20＝50（分钟）后，还离乡办厂的路程为：

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50×20＋2000＝3000（米）

按照这个假设推出行完全程所需的时间为： 30×2＝60（分钟）

根据速度一定，行走的时间与路程成正比例，可知50分钟所行路程为全

所以全程为：

＝18000（米）

答：县城到乡办厂之间的路程是18000米。

【转化法】 有些问题直接运用所给的已知条件，很难找到解决问题的线索。这就需要沟通知识之间的内在联系，改变思考方式，恰当地转化题中的数量关系，把隐含的情节和条件转化为明显，把难求的问题转化为熟悉而容易解决的问题。这种思考问题的方法，就是转化法。

分析：题中三个分率的单位“1”都不相同，一般要通过转化，统一单位“1”。最简单的办法是把全路程看作单位“1”，把第二和第三小时所行的路程都转化为全程的几分之几。

第二小时行的路程是全程的：

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第三小时行的路程是全程的：

30千米的对应分率是：

由此可以求得A、B两城相距的路程为：

＝240（千米）

答：A、B两城相距240千米。

分析：这道题只从分数应用题的关系去寻求解题的方法，就十分困难。

桃树棵树与李树棵树的比，这道题就变成了容易解答的按比例分配的问题。 根据条件用下面的等式来表示桃树和李树的数量关系。

根据比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积。可以得到：

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答：桃树有120棵，李树有64棵。

女生少______人。（1993年小学数学奥林匹克竞赛决赛民族试题）

分析：这是一道较复杂的和倍问题，我们可以通过转化把数量关系变得简单。

男生比女生少多少人？”

＝225（人）………………………男生人数 465－225＝240（人）……………女生人数 240－225＝15（人）…男生比女生少的人数 答：男生比女生少15人。

例4甲、乙、丙三人共同加工一批零件，甲比乙多加工零件20只，丙加

加工零件______，乙加工零件______，丙加工零件______。（1993年全国小学数学竞赛预赛试题）

分析：根据条件把乙加工零件的数量看作单位“1”。由“丙加工零件

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个等量关系表示为

通过对上面两式进行转化，可知甲加工零件数相当于乙加工零件数的

得乙加工零件的只数。

解：把乙加工的零件数看作是单位“1”

＝40（只）……………………………乙加工零件数 40＋20＝60（只）…………………甲加工零件数

答：甲、乙、丙三人加工的零件数分别为40只、60只、32只。 例5鞋店从批发部以25元的单价购进皮鞋若干双。按40元一双的零售价卖出，卖出一半又15双时，已将成本收回。问购进皮鞋多少双？ 分析：若按40元一双的零售价卖出一半所收回的钱，则比成本差 40×15＝600（元）

而按40元一双的零售价卖出一半收回的钱，就等于以20元一双的售价卖出全部皮鞋所收回的钱，按成本计算每双皮鞋要亏损 25－20＝5（元）

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所以，题目可以转化为“鞋店从批发部以25元的单价购进皮鞋若干双，若按20元一双的零售价卖出，则要亏损600元。问购进皮鞋多少双？”这样，我们就能从亏损总额和每双的亏损额的对应关系中，求得购进皮鞋的总数。 解：40×15÷（25－20）＝120（双） 答：购进皮鞋120双。

（北京市第九届小学生“迎春杯”数学竞赛决赛试题）

分析：根据分数除法与分数乘法的关系和积的变化规律，将题中某些条件进行转化，此题就能简算。

＝100

（1993年全国小学数学竞赛预赛试题）

分析：观察所给数据的特点，根据带分数加法的计算法则，把每个带分数的整数部分和分数部分拆开，将此题重新组合成为以下算式：

再观察分母的特点，每个分数的分母都可以分解为两个连续的自然数相乘。计算时我们先把每个分数的分母写成两个自然数相乘的形式，再把每个分数拆成两个分数相减的形式。

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这样在计算过程中，加、减可以抵消，使计算变得十分简便，这就是拆项相消法。

例8已知一个四边形的两条边的长度和三个角，如图3．7左所示，那么这个四边形的面积是______。（1994年小学生数学奥林匹克决赛试题）

分析：运用已知条件不能直接求得这个四边形的面积。如果将四边形的两条边延长（图3．7右），便得到两个三角形，即△ABC和△ADE。

由∠B为直角，∠C＝45°可知△ABC为等腰直角三角形；由∠E是直角，∠A＝∠C，可知△ADE也是等腰直角三角形。要求的四边形的面积就转化为求△ABC

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为了到达离住地8千米的地方，他需要花多少分钟？并简述理由。 （第二届小学《祖冲之杯》数学邀请赛试题） 分析与解：

必须求出自行车、汽车速度及候车时间，才能选择从住地到8千米的地方采取的最佳方案。

从题目给出的条件进行分析：

从住地到B地比从住地到A地多1千米路程，多用了15.5－12＝3.5（分钟），从住地到乙地比到B地也多1千米路程，却多用了18－15.5＝2.5（分钟），可知到A、B、C三地采用了两种不同方案。

需时间还少，这是不可能的。可断定到B地是乘公共汽车去的。

是不可能的。所以到C地是乘公共汽车去的。

由于去B、C两地都乘公共汽车，公共汽车的速度是每分钟（4－3）÷

下面考虑到达离住地8千米的地方，选择何种方案。 骑自行车去所需时间是

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乘公共汽车去所需时间是

答：到达离住地8千米的地方应采用乘公共汽车去的方案，其所需时间是28分钟。

【代数方法】 对于较复杂的应用题，可以用代数法解答。用代数法解题，把未知数当作已知数，根据题目中数量间的相等关系列出方程，通过解方程，求得问题的答案。题目越复杂，便更能显示方程解法的优越性。

列方程解题的关键是分析数量间的等量关系，根据实际情况直接或间接设未知数，列出方程，由于等量关系的不同，可以列出不同的方程。

例1 一个四位数，左边第一位数字是7，如果把这个数字调到最后一位，那么这个数就要减少864，求这个四位数。

7000＋x－（10x＋7）＝864 7000＋x－10x－7＝864 9x＝7000－7－864 9x＝6129 x＝681

检验：把x＝681代入原方程 左边＝7000＋681－（681×10＋7）

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＝864，右边＝864 左边＝右边

所以x＝681是原方程的解

答：这个四位数是7681。

例2 现有四个数，任取其中三个数相加，得其和分别为22、24、27和20。求这四个数各是多少？（希腊数学家丢番图趣题）

分析：题目要求这四个数字各是多少，如果设其中某一个数为x，那么其他三个数很难用x的式子表示。丢番图作法很巧妙，间接设未知数，设四个数的和为x，则这四个数分别为：x－22，x－24，x－27，x－20 解：设四个数的和为x。依题意列方程得

（x－22）＋（x－24）＋（x－27）＋（x－20）＝x 4x－93＝x 3x＝93 x＝31

x－22＝31－22＝9 x－24＝31－24＝7 x－27＝31－27＝4 x－20＝31－20＝11

答：这四个数分别是9、7、4、11。

例3画展9点开门，但早有人排队等候入场，从第一个观众来到时起，每分钟来的人数一样多。如果开3个入场口，9点9分不再有人排队，如果开5个

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入场口，9点5分不再有人排队。那么，第一个观众到达的时间是8点______分。

分析：假设第一个观众到达时比9点开门提前x分钟，把每分钟来的人数看作“1”。

若按第一种办法入场，则9点以前等待的人数与9点后9分钟内陆续到来的人数总共有1×（x＋9）人，这些人在9分钟以内入场，以后陆续来

由于两种办法入场的每个入场口每分钟入场的人数相等，可列方程得

27x－25x＝225－135 2x＝90 x＝45

9点－45分＝8点15分

答：第一个观众到达的时间是8点15分。

例4一个长方形长与宽的比是7∶3，如果长减少8厘米，宽增加6厘米，则面积增加96平方厘米，求原来长方形的长与宽各是多少？

作“1份”，其等量关系是

变化后的长方形面积－原长方形面积＝96平方厘米

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6x＝96＋48

x＝24…………………宽

答：原长方形的宽为24厘米，长为56厘米。

【比例方法】 比和比例是从数量间的倍数关系和相依变化的角度来分析研究数量关系的。如果用比例方法去分析应用题的数量关系，寻求解题途径，往往能十分巧妙地解答一些难题。常见的比例应用题有按比例分配，正比例、反比例、复比例、混合比例、连锁比例等。

例1甲、乙、丙三人进行200米赛跑，当甲到达终点时，乙离终点还有20米，丙离终点还有25米，如果甲、乙、丙赛跑的速度都不变，那么，当乙到达终点时，丙离终点还有______米。（1993年小学数学奥林匹克竞赛试题初赛A卷6题）

分析：乙的路程＝乙的速度×乙跑的时间 丙的路程＝丙的速度×丙跑的时间

因为，乙和丙赛跑的速度不变，所用的时间相同，那么

可知，在相同的时间内，乙、丙赛跑的速度不变，乙的路程与丙的路程成正比例。

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