初等数学研究 第二三章习题与答案

第二章习题及答案 1．设x?0, 证明

x1?x?ln(1?x)?x. 证明 取f(x)?ln(1?x). 在(0,x)上有导数f?(x)?11?x.利用微分中值定理f?(?)?f(x)?f(0)ln(1?x)?ln(1x?0??0)x?0?11??,0???x.

即ln(1?x)?x1x1??. 又因ln(1?x)?1?x?11???1, 因此有

1?x?ln(1?x)?x. 2．若x,y,z均为实数, 且x?y?z?a(a?0),x2?y2?z2?12a2.求证: 0?x?23a,0?y?23a,0?z?23a. 证明 由x2?y2?(a?x?y)2?12a2有x2?(y?a)x?(y2?ay?14a2)?0. 其判别式

??(y?a)2?4(y2?ay?14a2)?0(因x?R). 从而, 3y2?2ay?0即0?y?23a.

同理可证0?x?223a,0?z?3a.

3．设a,b,c表示一个三角形三边的长, 求证: a2(b?c?a)?b2(c?a?b)?c2(a?b?c)?3abc.证明不失一般性, 设a?b?c, 令a?c?m,b?c?n, 则m?n?0. 有

3abc?a2(b?c?a)?b2(c?a?b)?c2(a?b?c)?a(a?b)(a?c)?b(b?c)(b?a)?c(c?a)(c?b)?(c?m)(m?n)m?(c?n)n(n?m)?cmn?(m?n)[c(m?n)?(m2?n2)]?cmn?0.

?a2(b?c?a)?b2(c?a?b)?c2(a?b?c)?3abc.

4．设x,y?R, 且x2?y2?1.求证: x2?2xy?y2?2.

证明 设x2?y2??2, 则由题设可知,

??1, 并可设x??cos?,x??sin?.于是

x2?2xy?y2??2(cos2??2cos?sin??sin2?)??2(cos2??sin2?)??22sin(???4).

?x2?2xy?y2?2.

5．已知a?1,b?1, 求证

a?b1?ab?1.

证明 欲证

a?ba?b1?ab?1成立, 只需()2?1, 即证(a?b)2?(1?ab)21?ab. 则只需(1?ab)2?(a?b)2?0, 也就是1?a2b2?a2?b2?0, 即证(1?a2)(1?b2)?0. 而

1

a?1,b?1, 所以(1?a2)(1?b2)?0成立. 命题得证.

nn6．若

?ai?1(ai?0), 求?(a1i?a)?(n?1)n. i?1i?1in证明 a11?a?a1?1111?22?...?2?(n2?1)n2?12n2n21?????????na1na1na1na?1, 1n2项a2?1a?a11?1212?2?2?...2?(n?1)n2?1????na2n2n2?1, …… ……22n?a?????2n?a2na2n2项a1a?a?1111n?n2????a?2?...?2?(n2?1)n2?1???????2n2nnannannan2?1. nnnn2项以上诸式, 当且仅当ai?1n(i?1,2,...,n)是等号成立. 诸式两端相乘得(a11?a)(a1112?)...(an?)?(n2?1)nnn2?11a2ann2n3(an2?1.

1a2...an)由已知

?nai?1可得na1a2...an?1,(1)n2?1?nn3?n. i?1na1a2...an(a1112nnn2?111?a)(a2?)...(an?)?(n?1)n 即(a?1)?(n?1)n. 1a2ann2n3nn?n3,?ii?1ain等号当且仅当a1?a2?...?a1n?n时成立. 7．证明: 函数f(x)?x8?x5?x2?x?1?0. 证明 (1) 当x?(??,0)时, 显然f(x)?0;

(2) 当x?(0,1)时, f(x)?x8?x2(1?x3)?(1?x)?0;

(3) x?[1,??)时, f(x)?x5(x3?1)?x(x?1)?1?0.

综合(1), (2), (3)可知, 可知f(x)恒正. 8．证明 若an?1i?1(i?1,2,...,n),则2(a1a2...an?1)?(1?a1)(1?a2)...(1?an).

证明 用数学归纳法证明如下: 当n?1时, 命题显然成立;

假设命题对n成立, 我们来证明它对n?1也成立, 注意到ai?1(i?1,2,...,n).

2

?(1?a)?(1?aii?1n?1n?1i?1n?1n?1)?2(?ai?1)?2(?ai??ai?an?1?1)?2[?ai?1?(?ai?an?1)]n?1n?1n?1i?1i?1i?1i?1i?1n?1i?1nnn?1i?1n?1n?1i?1nn?1i?1nn?1nn?1n?2[(?ai?1)?(?ai?1??ai?1??ai?an?1)]?2(?ai?1)?2(?ai?1??ai?an?1)i?1i?1n?1?2(?ai?1)?2[?ai(an?1?1)?(an?1?1)]?2(?ai?1)?2(an?1)[?ai?1)?2(?ai?1).

nn?1nn?1ni?1i?1i?1i?1i?1n?1nn?1n?1故命题对n?1成立.

2n9．设ai?1(i?1,2,...,n), 求证?(1?ai)?(1?a1?a2?...?an).

n?1i?1n证明

nnnai?1ai?1ai?11nnn(1?ai)?2?(1?)?2(1??)?2(1??)?2?[(n?1??(ai?1)]?22n?1n?1i?1i?1i?1i?1i?1nnnn2n(1??ai). n?1i?110．设x?y?z?0,求证: 6(x3?y3?z3)?(x2?y2?z2)3.

证明 显然x?y?z?0是平凡情形. 假定x,y,z不全为零, 不妨设x?0,y?0.由z??(x?y), 得

x3?y3?z3?3xyz. 记

?xyxy2???z??xyxy2222?16??z?216???(2z2?2xy)3.

223??????2222232I?6(x3?y3?z3)?5x4y2z2?2再注意到x?y?(x?y)?2xy?z?2xy, 因而2z?2xy?x?y?z, 这就是所要证的不等式.

11．已知a,b为小于1的正数, 求证:

222a2?b2?(1?a)2?b2?a2?(1?b)2?(1?a)2?(1?b)2?22.

证明 设z1?a?bi,z2?(1?a)?bi,z3?a?(1?b)i,z4?(1?a)?(1?b)i,则z1?a2?b2, z2?(1?a)2?b2,z3?(1?a)2?b2, z4?a2?(1?b)2?(1?a)2?(1?b)2. z1?z2?z3?z4?z1?z2?z3?z4?2?2i?22.

?a2?b2?(1?a)2?b2?a2?(1?b)2?(1?a)2?(1?b)2?22.

3

12．设a,b,c?R?,求证: an?bn?cn?apbqcr?aqbrcp?arbpcq,其中n?N,p,q,r, 且

p?q?r?n.

pan?qbn?rcn...?a?b...?b?c...c?, 证明abc?na?????nrpqpqrnnnnnnqan?rbn?pcnrpqran?pbn?qcn,abc?. 同理abc?nnqrp三式相加, 即得a?b?c?abc?abc?abc. 13．设a,b,c?R?,求证: a?b?c?ab?bc?ca. 证明 该不等式关于a,b,c对称, 不妨设a?b?c,则由左式?右式

333222nnnpqrqrprpq?a2(a?b)?b2(b?c)?c2(c?a)?a2(a?b)?b2(b?c)?c2(c?b?b?a)?(a2?c2)(a?b)?(b2?c2)(b?c)?0.

故a?b?c?ab?bc?ca.

14．已知a?b?0,求证3a?3b?3a?b.

证 欲证3a?3b?3a?b,由于a?b?0,所以3a?3b?0,

3333222a?b?0, 只要证

a?33a2b?33ab2?b?a?b, 即要证3ab2?3a2b, 由于3ab?0,只要证3b?3a, 由于a?b?0,

此不等式显然成立.

15．若p?R且p?2,不等式?log2x??plog2x?1?2log2x?p恒成立, 求实数x的取值范围. 解 令log2x?a,将不等式转化为: (a?1)p?a?2a?1?0,令f(p)?(a?1)p?a?2a?1, 则

2??f(p)?0,?2(a?1)?a?2a?1?0,f(p)?0恒成立, 等价于: ? ?? 2f(?2)?0.????2(a?1)?a?2a?1?0.222解不等式组得: a?3或a??1?x?8或0?x?16．设e是自然对数的底,

1. 2?是圆周率, 求证e???e.

?elnelnx证明 因为???exln????e1?lnx?lnx??1?lnx?0, 所以x?(e,?) 又当时, d??dx,??e22xxx????e1?lnxlneln?dx?0.?, 从而有e???e. 因此, 2xe?4x217．当x为何值时, 不等式?2x?9成立? 2(1?1?2x)

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解 先将不等式分母有理化, 有

??4x2x(1?1?2x)2??(1?1?2x)?2?2x?21?2x. ??2(1?1?2x)?(1?1?2x)(1?1?2x)?221?1?2x?0?x???2?145?且x?0. 因此原不等式同解于不等式组?1?1?2x?0?x?0 解得??x?28?45?2?2x?21?2x?2x?9?x?8??即原不等式的解集为?x???1??45??x?0???x0?x??. 28???1x19．已知a?0且a?1,解关于x的不等式loga(1?)?1. 解 原不等式?loga(1?)?logaa.

1x?111??0,x??1?x1?a?0?1?x?0. ?1??a?（1）当a?1时，原不等式??xx1?a?1?1?a.??x?11??0,?1?x?1?x?. （2）当0?a?1时，原不等式??1?a?1?1?a.??x20．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元. 甲、乙产品都需要在A，B

两种设备上加工，在每台A，B上加工一件甲所需工时分别为1时、2时，加工一件乙所需工时分别为2时、1时，A，B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500. 如何安排生产可使收入最大？

解 这个问题的数学模型是二元线性规划.

?x?2y?400,?2x?y?500,? 设甲、乙两种产品的产量分别为x,y件，约束条件是?，目标函数是f?3x?2y. 要求

?x?0,??y?0.出适当的x,y，使f?3x?2y取得最大值.

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（该图来至高中数学课程标准，需重做）

先要画出可行域，如图。考虑3x?2y?a,a是参数，将它变形为y??变化的一族直线。

3a3x?,这是斜率为?，随a222aa是直线在y轴上截距，当最大时a最大，当然直线要与可行域相交，即在满足约束22条件时目标函数取得最大值.在这个问题中，使3x?2y取得最大值的(x,y)是两直线2x?y?500与

x?2y?400的交点(200,100).

因此，甲、乙两种产品的每月产时不时分别为200、100件时，可得最大收入800千元.

21．n个机器人在一条流水线上工作, 加工后需送检验台, 检验合格后再送下一道工序. 问检验台设置在流水线上什么位置时, 才能使机器人送验时, 才能使机器人所走距离之和最短? 也即耗时最少?

解 不妨设n个机器人位于同一条数轴上, 每个机器人所在的位置(点)的坐标为xi(i?1,2,...,n),检验台所在之点的坐标为的坐标为x, 那么机器人送验所走的距离之和为

s(x)?x?x1?x?x2?x?x3?...?x?x4(x为实数), s(x)何时最小?

为了探索问题的内在规律, 不妨从简单的情形开始考虑.

当n?2时, 检验台放在这二个机器人之间的任何位置都一样. n?3时, 检验台放在第二个机器人所在点时最小.

通过上述试验, 当n为奇数时, 检验台应放在正中间的机器人所在的地点; 当n为偶数时, 检验台应放在最中间两个机器人之间任何位置.

322．已知函数f(x)?ax?3x?1对于x?[?1,1]总有f(x)?0成立, 求实数a的值.

2解 显然当a?0时不成立, 故a?0. f?(x)?3ax?3, 令f?(x)?0,解得x??11.当x?时, aa?f(?1)?0,?a?4,?f(x)取得极小值. x?[?1,1]总有f(x)?0成立等价于? 即 从而a?4. 1??a?4.?f(a)?0.?23．已知f(x)?lg(x?1),g(x)?2lg(2x?t)(t?R是实数). (1)当t??1时, 解不等式f(x)?g(x);

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(2)如果x?[0,1], f(x)?g(x)恒成立, 求参数t的取值范围.

1??x?1?0,1?x?,?x?,5???2解 (1) 原不等式等价于?2x?t?0,即?则? ?x?. 所以原不等24?x?1?(2x?1)2.?4x2?5x?0.?x?0或x?5.????4式的解集为?xx???5??. 4??x?1?0,?x?1?0,??(2) x?[0,1]时, f(x)?g(x)恒成立, 即x?[0,1]时, 有?2x?1?0,即?t??2x,恒成

?x?1?(2x?t)2.???t??2x?x?1.立, 故x?[0,1]时, t??2x?x?1恒成立.

于是问题转化成求函数y??2x?x?1,x?[0,1]的最大值. 令u?117x?1, 则x?u2?1,u?[1,2]. 则y??2x?x?1??2(u?)2?在[1,2]上是减函数.

48故当u?1, 即x?0时, ?2x?x?1有最大值. ?t的取值范围是[1,??].

24．某工厂统计资料显示, 一种产品次品率p与日产量x(x?N*,80?x?100,单位：件)之间的关系如下表所示: 日产量x 次品率p 80 81 82 ... … x p(x) … … 98 99 100 11 981k其中p(x)?(n为常数). 已知一件正品盈利k元, 生产一件次品损失元(k为不定常数).

3n?x(1)求出n, 并将该厂的日盈利额y(元)表示为日生产量x(件)的函数;

(2)为获取最大盈利, 该厂日生产量应定为多少?

1 281 271 261 101(80?x?100,x?N*).由题意,当日生产量为x时,

108?x11111?x,正品数为(1?)?x,?y?k?(1?)?x?k??x. 整理得次品数为

108?x108?x108?x3108?x14y?k(3?)x (80?x?100,x?N*).

3108?x解 (1)根据列表数据, 可得n?108.?p(x)?*(2) 令108?x?t,x?[8,28],t?N.y?141?144?k(108?t)(3?)?k?328?3(t?)? 3t3?t?1256?k(328?3?2?12)?k. 33144, 即t?12时取得最大盈利. 此时x?96. 当且仅当t?t

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ex. (1) 求函数f(x)的单调区间; (2) 若k?0, 求不等式f?(x)?k(1?x)f(x)?025．设函数f(x)?x的解集.

解 (1) f(x)的定义域为(??,0)?(0,??),f?(x)??1x1xxx?1xe?e?e?2e,令f?(x)?0,得2xxxx?1.?x?0时, f?(x)?0,0?x?1时, f?(x)?0,x?1时, f?(x)?0.

?f(x)的单调增区间是[1,??),单调减区间是(??,0),(0,1].

(2) 由f?(x)?k(1?x)f(x)?是?x1?x?(x?1)(?kx?1)x?e?0, 得(x?1)(?kx?1)?0,故当0?k?1时, 解集2x??1??1?k?1k?1?;当时, 解集是 当时, 解集是;x?x?1???.

k?k??26．设函数f(x)?xx?a?b,b为常数且b?22?3, 对于任意x?[0,1],f(x)?0恒成立, 求实数a的取值范围.

解 从去绝对值展开讨论.

当a?0时, x?ax?b?0对x?[0,1]恒成立, ??2?a?0,

a?1?b.??a?1,?a?1,??2当a?1时, ?x?ax?b?0对x?[0,1]恒成立, ???1?b?22?3, 或?b??1,

?a?1?b.?a?2?b.??当0?a?1时, x?ax?b?0对x?[0,1]恒成立且?x?ax?b?0对x?[0,1]恒成立,

22?0?a?1,?0?a?1,?0?a?1,? 即?a?1?b, ??且?2?a?1?b.?a?4b?0.?a2?4b?0.??0?a?1,?a?1,a?0,???或?b??1,或?a?1?b, ???a?1?b.?a?1?b.?2??a?4b?0.，当b??1时化简可得1?b?a?0或?或1?a?1-b或0?a?1即1?b?a?1?b;

当?1?b??当?1时化简可得1?a?2?b或?或1?b?a?1,即1?b?a?2?b. 41?b?22?3时化简可得或?或?或?或1?b?a?2?b,即1?b?a?2?b. 4227．设a为实数, 函数f(x)?2x?(x?a)x?a.(1)若f(0)?1,求a的取值范围; (2)求f(x)的最小值.

2解 (1) ?f(0)??a?a?1,??a?0, 即a?0.由a?1知a??1, 因此a的取值范围为(??,?1].

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?a22a2,x?a,?3(x?)?2(2) 记f(x)的最小值为g(a). 我们有f(x)?2x?(x?a)x?a?? 33?(x?a)2?2a2,x?a.?①当a?0时, f(?a)??2a2,?f(x)??2a2,此时g(a)?22a. 3a22a22a22a2?;若x?a,则②当a?0时, f()?a.若x?a, 则f(x)?3(x?)?33333x?a?2a?0,f(x)?(x?a)2?2a2?2a2?222a.此时g(a)?a2.

33??2a2,a?0,?综上得, g(a)??22

?a,a?0.?328．已知函数f(x)?x?1?x?2,且不等式a?b?a?b?af(x)对a?0,a,b?R恒成立, 求实数x的取值范围.

解 由a?b?a?b?af(x)且a?0得

a?b?a?b?f(x).又因为

aa?b?a?ba?a?b?a?ba15?2, 则只要2?f(x). 解不等式x?1?x?2?2得?x?.

2229．已知实数a,b,c,d满足a?b?c?d?3,a2?2b2?3c2?6d2?5,试求实数a的取值范围. 解 由柯西不等式得(2b?3c?6d)(?2221211?)?(b?c?d)2, 即2b2?3c2?6d2?(b?c?d)2.36由条件可得5?a2?(3?a)2, 解得1?a?2,当且仅当2b3c6d时等号成立. ??111236当b?11121,c?,d?时, amax?2;当b?1,c?,d?时, amin?1. 26333故所求实数a的取值范围是[1,2]

30．已知函数f(x)(x?R)满足下列条件, 对任意实数x1,x2都有

?(x1?x2)2?(x1?x2)[f(x1)?f(x2)], f(x1)?f(x2)?x1?x2,其中?是大于0的常数, 设实数a0,a,b满足f(a0)?0和b?a??f(a).

(1)证明: ??1,并且不存在b0?a0,使得f(b0)?0; (2)证明: (b?a0)?(1??)(a?a0);

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222(3)证明: f2(b)?(1??2)f2(a).

证 (1)任取x1,x2?R,x1?x2,则由?(x1?x2)2?(x1?x2)[f(x1)?f(x2)] (1)及

f(x1)?f(x2)?x1?x2, (2)可知?(x1?x2)2?(x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?x1?x2f(x1)?f(x2)

?x1?x2,从而??1.

假设有b0?a0,使得f(b0)?0,则由(1)式知0??(a0?b0)2?(a0?b0)[f(a0)?f(b0)]?0,产生矛盾. 所以不存在b0?a0,使得f(b0)?0.

证(2) 由b?a??f(a), (3)可知

2(b?a0)2?[a?a0??f(a)]2?(a?a0)2?2?(a?a0)f(a)??2f2(a). (4)

由f(a0)?0和(1)式, 得(a?a0)f(a)?(a?a0)[f(a)?f(a0)]??(a?a0)2, (5) 由f(a0)?0和(2)式, 得f2(a)?[f(a)?f(a0)]2?(a?a0)2, (6)将(5)(6)代入(4)式得

(b?a0)2?(a?a0)2?2?(a?a0)2??2(a?a0)2?(1??2)(a?a0)2.

证(3) 易知a?b时, ??f(a)?f(b)f(a)?f(b)?1,???1,故

a?b?f(a)?2?f(b)f(b)??,1????1??2,f(b)?(1??2)f(a),当a?b此式也成立, 则f(a)f(a)f2(b)?(1??2)f2(a).

第三章习题及答案

1．如果F(x)?f1(x1)f2(x2)...fk(xk)?0,那么方程F(x)?0的解集等于下列各个方程：

f1(x)?0,f2(x)?0,...,fk(x)?0的解集的并集, 其中每一个解都属于这k个方程的定义域的交集.

解 设F(x)的定义域为M,fi(x)的定义域Mi(i?1,2,...,k), 因为F(x)?f1(x)f2(x)...fk(x), 所以,

M?M1?M2?...?Mk.又设F(x)?0的交集为A, x1?A;fi(x)?0的解集为Bi(i?1,2,...,k).因为

x1?A?M,所以 x1?M1?M2?...?Mk. 因为F(x1)?0,于是有f1(x1)f2(x2)...fk(xk)?0,这个等式的

左端至少有一个因式等于零, 这表明x1?B1?B2?...?Bk. 反之易证B1?B2?...?Bk?A.

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2．设a1?a2?...?an,f(x)(??,a1][an,??). 当A?maxf(ai),i?1,2,...,n时, 不等式

?x?ai?1ni?A???的解集为?x????ai?AA??i?1i?1??x???. nnnn???n?ain证明 因f(x)的图象在区间[ai,ai?1](i?1,2,...,n?1)上都是线段, 又A?maxf(ai)(i?1,2,...,n), 则在区间[ai,ai?1]上, f(x)的图象是一条射线y??nx?n?a,x?a, 且当x???时,

ii?1nf(x)???.同理,

f(x)在[ai?1,??)上是一条射线y?nx??ai, 且x???时, f(x)???.

i?1从而函数y??x?ai?1ni的图象与直线y?A的交点只能是在(??,a1]与[an,??)内, 将y?A与

nnAy??nx??ai和y?nx??ai, 分别联立求得交点横坐标为x?i?1?与x?nni?1i?1得证.

nn?ai?ai?1in?A. 由此命题na2b2?a??b (其中a,b为参数). 3．解关于x的方程xxa2?b2??(a?b) (1) 若a?b?0, 方程(1)的解为不等于0的任何实数; 若解 原方程同解变形为:

xa?b?0, 但a?b?0, 则方程(1)无解; 若a?b?0, 但a?b?0, 方程(1)的解为x??4．解方程x?1. a?b11?1??x. xx解 对原方程配方变形，有

0?2x?2x?111111?21??[(x?)?2x?]?[(x?1)?21??]xxxxxx?1x??1,?11?x2方程组同解于x?x?1?0.解之取正值，得?(x??1)2?(x?1?)2. 得?xx?x?1?1.?x?x?

1?5. 211

5．求方程5x2?6xy?2y2?14x?8y?10?0的所有实数解.

解 将原方程拆项4x2?4xy?y2?12x?6y?x2?2xy?y2?2x?2y?1?0.整理得

(2x?y)2?6(2x?y)?(x?y)2?2(x?y)?1?0.配方得(2x?y?3)2?(x?y?1)2?0. (3)

2??x?0?(2x?y?3)?0,所以(3)同解于方程组? 解之得?. 2y??1 ???(x?y?1)?0. 6．在实数解关于x的方程: x?a?a?x.

解 方程有解必须a?0且x?0, 此时方程同解于a?x2?a?x. 由a?x?x2?a?x?x, 有

(a?x?x)(a?x?x?1)?0.?a?x?x?0 (1)或a?x?x?1 (2)?a?0,x?0, 所以要使(1)

有解, 必须a?0,x?0.

方程(2)只有当a?1时有解: x??1?4a?3.

2综上所述, 当a?0或0?a?1时,方程无解; 当a?0时,方程的解为x?0; 当a?1时, 方程的解为

x??1?4a?3.

27．解方程4?x?x2?4.

解?x2?4?2,?4?x?2, 解得?2?x?2.

当0?x?2时，原方程可变形为(4?x)2?(x2?4)2,即8x?12,解得x?3. 232当?2?x?0时, 原方程可变形为(4?x)2?(x2?4)2,即8x??12,解得x??.

8．解方程:

loga4ax?logx4ax?loga4xx?logx4?a,其中a为实参数. aa解 要使原方程有意义, 必须a?0,a?1,x?0,x?1.将原方程中的对数化成以a为底的对数, 并整理

(1?logax)2(logax?1)2??a.即1?logax?logax?1?2alogax. (1) 得4logax4logax(1)当logax?1时, 方程(1)为2logax?2alogax,即logax?a2?1.由a?0,a?1, 得a?1,故方程(1)的解为x1?aa,即为原方程的解.

(2)当0?logax?1时, 方程(1)为2?2alogax,即logax?a?2?1.由a?0,a?1,得a?1,故方程(1)

12

2的解为x2?aa,即为原方程的解.

所以当a?1,原方程的解为x?aa,x?aa;当a?1时, 原方程无解. 9．解方程log(16?3x)(x?2)?log822.

2?2?2?x?2?0,?16?3x?0,1?解 由于log822?,原方程同解于?解这个混合方程组, 得原方程的根为x?4.

2?16?3x?1,?16?3x?x?2.?10．解方程: 4x?x2?2?5?2x?1?2(x?x2?2)x2?2?6?0

x2?2解 原方程可变形为2y?4,于是2(x?x2?2)5y?6?0.解得正根为23?4.?x?x2?2?2.解这个无理方程, 得原方程的根为x?.

2?6?0.设2(x?x2?2)5??2x?2?y,有y2?11．解方程组??x?y?a,?x?y?a.555(a?0)

?x?y?a,?x?y?a,解 原方程组可变形为(I)? 或(II)?2xy?0.??xy?a.?a?a3i?a?a3ix?,x?,???x?a,?x?0,??22解(I)得? ? 解(II)得? ?y?a.?y?0;??y?a?a3i;?y?a?a3i.???2?21?xy???xy?12．解方程组??xy?1??xy?x?yx?yy?13, (1)x

y?12. (2)xy?2xy?2??25, ?yx?解 (1)?(2),(1)?(2), 得方程组?令xy?u,?v, 方程组变形为

x?2?2?x?1. y??xy5?5xy?,?xy?10,?u?10,??2u?2v?25, ?????u?,?2解得? 2 即(I)?y5 (II)?5 ??22y?;v?;??1. ???10.???2??v?10.?x2?uv??x1?1?x?,x??,?x1?2,?x2??2,?3?4(II)解(I)得? 解得 22????y1?5;?y2??5.??y4??5.?y3?5;?

13

?x?y?z?10, (1)?13．解方程组?xy?yz?zx?33, (2)

?(x?y)(y?z)(z?x)?294. (3)??x?y?z?10, ?解 方程(3)可变形为xyz?36, 由韦达定理则可看出?xy?yz?zx?33,的解即为关于t的三次方程

?xyz?36. ?t3?10t2?33t?36?0的根. 可求得t的值为t1,2?3,t3?4.进而求得原方程的组的解为?x1?3,?x2?3,?x3?4,???y?3y?4?1?2?y3?3 ?z?4;?z?3;?z?3.?1?2?3x?yx?y??x?y,(1)14．解方程组? (如果底数和指数是变量, 只考虑使底数取正值的情形.)

??xy?1. (2)解 由方程(2)可得y?x,以此代入方程(1)得方程xx?x端总取正值. 以方程(3)的右端的表达式除等式(3)的两端得x方程(2)得y?1,于是??12?12?x111?2x?x221.(3) 因为x?0,所以方程(3)的两

31?2x?x22?1.显然, x?1是这个方程的解, 从而由

?x?1是原方程组的解. ?y?132当

31x?x221?21?x?,11?339也是?0时, 由此可得x?,x?3,从而由方程(2)得y?3.经检验可知?39?y?33.?原方程组的解.

?x2?y2?15．解方程4x?3y?2x?.??表示取整 ?2?x??y2?3y?y2?3y?4??t, 则1?t??t2?, 解 原方程可变形为4x?3y?2x?1?2?, 因x?0, 即1???2?.令

2x?x?2x?9??x?2?42?4t?9t?9?0,又1?t?t?2?t, 即?2因t?Z,解得t??1或t?3,故原方程的解为

9??4t?9t?18?0.2y??x或y?2x(x?R且x?0).

3216．解方程x?3x?4?2x?1?1.

2???4,x2??解 零点分段法. 由x?3x?4?0,2x?1?0求得x11??1.于是分区间,x3211?5?41?1?17x??4,?4?x?,?x?1讨论求解, 得x1?,x2?,x3?1即为所求.

2222

14

xyyzzxx2?y2?z217．解方程组???(a?0,b?0,c?0).

ay?bxbz?cycx?aza2?b2?c2xyzxyzxyzx2?y2?z2解 将原方程变形为???222.利用合分比定理可得

ayz?bxzbxz?cxycxy?ayza?b?cxx2?y2?z2xyz?xyz?xyzx2?y2?z2?. (1) 同理可得?, 即

2aa2?b2?c2(cxy?ayz)?(ayz?bxz)?(bxz?cxy)a2?b2?c2x2y2z2?x2?y2?z2?yx2?y2?z2zx2?y2?z2, 由此得?. (2) ?. (3 )从而有2?2?2??222?4a4b4ca?b?c2ba2?b2?c22ca2?b2?c2??1?x2?y2?z2??x2?y2?z2???2. ?222?22?4?a?b?c??a?b?c?22x2?y2?z21?.由(1)，由原方程组可知x,y,z中至多只有一个为零, 所以x?y?z?0, 于是有2a?b2?c24222(2)，(3)可得x?abc,y?,z?. 222?x?my?(2?m)?0,18．已知方程组?2有唯一的解,求参数m的值. 2?x?9y?9?0.解 由x?my?(2?m)?0可解得x?my?2?m, 以此代入x2?9y2?9?0, 可消去x, 得未知元

y的二次方程y2(m2?9)?2m(m?2)y?m2?4m?5?0. (1)

1?如果m2?9?0, 那么m??3i, 对于m的每一个值, (1)式是一次方程, 且2m(2?m)?0. 由

?x?my?(2?m)?0,可得唯一的解， ?2?2m(m?2)y?m?4m?5?0.2?如果(1)是二次方程, 且有二重根, 那么m2(m?2)2?(m2?9)(m2?4m?5)?45?36m?0, 从而

有m?5. 45. 4综上所述, 原方程有唯一的解时m?3i,或m??3i,或m?19．解方程解方程x?1?3x?5?2x?7?7?2x?1?5x?2.

解 令f(x)?x?1?3x?5?2x?7?7?2x?1?5x?2, 则其绝对值零点分别为

5712571279?1,?,?,,, 由于?1???????0, 则f(x)有最大值.

322532251574353127613131,f(?)??,f(?1)??3,f()?,f()?, 故fmax(x)??7,知又f(?)??223356222

15

f(x)?7有解, 且解在区间?1?x?当?1?x?故x1??20．求

21及x?. 5221时, f(x)?13x?10, 当x?时, f(x)??x?16. 523或x2?9即为所求. 13x?3y?1的正整数解. 3解 去分母得x?9y?3.?(1,?9)?1,故有解. 由观察知其特解为??x0??6,故其一般解为

?y0??1?x??6?9t.因要求是正整数解, 则?6?9t?0,?1?t?0,从而t?1.故其正整数解为??y??1?t?x??6?9t?x?12?9t,(t?2,3,4,...)或?.(t?0,1,2,3,...) ?y??1?ty?1?t??21．解同余式组??x?11(mod20),

?x?3(mod24).?x?0(mod3),?x?0?17?3?51(mod3),??解 原同余式组同解于?x?1(mod5),即可推出?x?1?10?5?51(mod5),所以原同余式组的解为

?x?3(mod8).?x?3?6?8?51(mod8).??x?51(mod120).

22. 百牛问题: 有银白两, 买牛百头. 大牛每头十两小牛每头五两, 牛犊每头半两. 问买的一百头牛中

大牛、小牛、牛犊各几头?

?x?y?z?100,?解 设大牛、小牛、牛犊各买x,y,z头, 则得方程组: ?即110x?5y?z?100.??2?x?y?z?100, (1)?x?1?9u, (2)?(1)19x?9y?100,得 解之有代入(1)得??20x?10y?z?200. (2) y?9?10u. ??z?90?10u u为整数.

据题意, 应求正整数解, 故1?9u?0,9?19u?0,90?10u?0. ??91?u?,u?0. 199?x?1,y?9,z?90

23．一个正整数, 如果用九进位制表示出来, 则成ABC,如果用七进位制表示出来则成CBA, 试用十进位制求出这个数.

解 设用十进位制表示的这个正整数为x, 由题意有x?9A?9B?C?7C?7B?A, (1)整理得

22 16

40A?B?24C.由于40A与24C有公约数8，故

B?3C?5A,因右端3C?5A为整数, 所以B必能被8整8除, 故B为0或8. 按题意要求0?B?7, 因此B只能是0，同样, 0?A?7,0?C?7.从3C?5A?0可知A?3,C?5.以A、B、C之值代入(1)式, 得x?248.所以,这个正整数用十进位制表示出来是248.

24．已知(?2346,1081)?23, 求s,t使?2346s?1081t?23.

解 先求s?,t使2346s??1081t?23.由辗转相除法知n?3,q1?2,q2?5,q3?1.

Pk: 1 + 2 + 11 13 x x qk: 2 5 1 x x Qk: 0 + 1 + 5 6

1?3??Pn?PQ3?6,t?(?1)3P3?13,Qn?Q3?6.从而s?(?1)3??13.

?2346?6?1081?(?13)?23.所以?2346?(?6)?1081?(?13)?23.s?16,t??13.

25．(算术基本定理)一个数的素因数分解式是唯一的.

证明 反证法. 假设唯一分解定理不成立, 那么一定至少存在一个数, 它具有不止一种素因数分解式. 这样的数可能不止一个, 其中必有一个最小的, 设为c. c有最小素因数p,于是有c?p?d. 因为d?c, 所以d有唯一的素因数分解式. 这说明, c的含p的素因数分解式是唯一的.

但是, 依假设, c至少有两种素因数分解式, 所以c必有一种不含p的分解式. 设在这个分解式中的最小素数是p1,并有c?p1?d1. (1)因为p1?p,故有d1?d.从而也有pd1?pd?c. 现在来讨论数

c1?c?pd1?p1d1?pd1?(p1?p)d1?d.这是一个一个比c小的数, 必有唯一分解式. 由上式,

pc?pc1?p(p1?p)d1?pd1或p(p1?p).但因p1是分解式(1)中的最小素数, 所以d1的素因数均

大于p. 这样, 唯一的可能是p(p1?p), 因此它也整除p1. 这与p1是素数矛盾. 这个矛盾说明前面的假设是不对的, 即一个素数不能有两种不同的分解式.

26. 证明素数有无穷多个.

用反证法. 设素数共有k(k?N), 记为p1,p2,...,pk. 作p?p1p2...pk?1. 我们来证明p不是合数. 若不然, 必存在素数pi(1?i?k)使pip?p1p2...pk?1,但pip1p2...pk, 故得pi1. 与pi为素数矛盾. 故

17

?p为素数.

27. 证明: 如果自然数x,y,z满足方程xn?yn?zn (3) 则min(x,y)?n.

证 设自然数x,y,z,n满足方程(3), 则min(x,y)?x,因为zn?xn?yn?yn, ?z?y,从而z?y?1.故zn?(y?1)n?yn?nyn?1?...?1?yn?nyn?1.由(3)有xn?yn?yn?nyn?1,?xn?nyn?1?nxn-1或x?n, 所以min(x,y)?n.

28．设函数f(x)?px2?qx?r(p?0),方程f(x)?x的两根x1,x2满足x2?x1?1,求证: 当px?(0,x1)时, f(x)?x1.

2证 方程f(x)?x即为px?(q?1)x?r?0.由韦达定理, x1?x2?1?q1,由x2?x1?,有ppx1?x2?11?q1qq?(?x1)???x1,即x1??.于是pppp2pqf(x)?x1?f(x)?f(x1)?(px2?qx?r)?(px12?qx1?r)?p(x?x1)(x?x1?).

p而x?x1?0,x?x1?qq?2x1??0.所以f(x)?x1. pp29．设函数f(x)?ax2?8x?3(a?0),对于给定的负数a, 有一个最大的正数l(a),使得在整个区间

[0,l(a)]上, 不等式f(x)?5都成立.

问: a为何值时l(a)最大? 求出这个最大的l(a). 证明你的结论.

164?16?解f(x)?a?x???3?,知maxf(x)?3?.

x?Raa?a?下面分两种情况讨论: (1) 3?2164?5,即?8?a?0,此时0?l(a)??所,以l(a)是方程ax2?8x?3?5的较小根. aal(a)??8?64?8a21??.

2a16?2a?421642?5,即a??8,此时l(a)??.5的较大根. 所以l(a)是方程ax?8x?3??aa(2) 3?l(a)?

?8?64?32a245?1???.

2a24?2a?420?218

当且仅当a??8时等号成立. 因5?115?1?, 故当且仅当a??8时, l(a)取最大值. 22230．已知双曲线x2?2y2?2的左右两个焦点为F1,F2,动点P满足PF1?PF2?4.

(I)求动点P的轨迹E的方程;

(II)设过F2且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹E于A,B两点, 问: 线段OF2上是否存在一点D, 使

得以DA,DB为邻边的平行四边形为菱形? 作出判断并证明.

x2?y2?1. 解 (I)由已知条件结合椭圆定义易得E的方程为4(II)假设存在满足条件的D, 设D(m,0),则0?m?3.

设过

F2(23,的0方)程为l:

22y?k(x?3),k?0,代入椭圆方程, 得A(x1,y1), B(x2,y2),则

(1?4k)x?83k?12k?4?0,?23k2?y1?y2?k(x1?x2?23)?. 21?4k2设

83k2x1?x2?,

1?4k2?以DA, DB为邻边的平行四边形为菱形,

?????????????(DA?DB)?AB.

?????????83k2?23k2???,),AB的方向向量?DA?DB?(x1?m,y1)?(x2?m,y2)?(x1?x2?2m,y1?y2)?(221?4k1?4k33k23383k2?23k2?m??. 为(1,k),??2m??0,22211?4k1?4k1?4k4?2k?k2?0, ?0?m?33?3, 所以存在满足条件的D. 4 19

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