湖北省恩施州2018届高三第一次教学质量监测考试理科数学 Word版

湖北省恩施州2017-2018学年高三第一次教学质量监测考试

理科数学 第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合A. B. C. ， D. ，若 ，则的取值范围是（ ）

【答案】B

【解析】，由题设有，所以，解得，选B.

2. 已知A. 2或为虚数单位，复数满足 B. C. 2 D. ，且，则（ ）

【答案】A 【解析】，所以，解得或，选A.

3. 某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：）的数据，绘制了下面的折线图。已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（ ）

A. 最低气温与最高气温为正相关

B. 10月的最高气温不低于5月的最高气温

- 1 -

C. 月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月 D. 最低气温低于【答案】D

【解析】由图可以看出，当最低气温较大时，最高气温也较大，故A正确；10月份的最高气温大于20，而5月份的最高气温为不超过20，故B正确；从各月的温差看，1月份的温

的月份有4个

差最大，故C正确；而最低气温低于4. 已知等差数列A. B. 的月份是1，2，4三月份，故D错，选D.

，且，则（ ）

的前项和为，公差 C. D. 【答案】C 【解析】因为，所以，所以，解得或（舎），所以

，选C.

5. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何? ”其意思为:“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少?”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ） A. 平方尺 B. 平方尺 C. 平方尺 D. 平方尺

【答案】C

【解析】可以把该四棱锥补成一个长方体，长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，四棱锥的外接球就是长方体的外接球，其直径为6. 定义表示不超过的最大整数，，则输出的，例如（ ）

尺，表面积为平方尺. ，执行如图所示的程序框图，若输入的 - 2 -

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】第一次执行循环体后，，不执行循环，7. 已知函数到函数A. 的图象，则，经过判断后，，选D.

的最小正周期为（ ） ，且其图象向右平移个单位后得，，经过判断后，，第二次执行循环体后，，，此时判断后，第三次执行循环体后， B. C. D. 【答案】A

【解析】因为最小正周期为，所以，向右平移后所得图像的解析式为

，所以

，所以

也即是

，由题设应有，又

，选A......................

8. 设A. 满足约束条件 B. 3 C. 9 D. 12 则的最大值为（ ）

【答案】C

【解析】可行域如图所示，当动直线的最大值为,选C.

过时，有最大值，又，所以 - 3 -

9. 函数的部分图象大致是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】B 【解析】的定义域为，又，所以为偶函数，排除A，而当时，恒成立，故排除C、D ，故选B.

10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

- 4 -

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D

【解析】几何体如图所示，它是边长为1的正方体割去一个角（沿面对角线割开），再补上一个三棱锥(可看成前面割下的角)，其底面是腰长为1的等腰直角三角形，高也为1，该几何体的体积为，选D.

11. 设椭圆存在一点，使得A. B. C. 的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） D. 【答案】B

- 5 -

【解析】因为点为椭圆内一点，所以，设左焦点，则，又，也就是即，所以，从而 ，选B.

点睛：与圆锥曲线一个焦点有关的距离问题，可以转化到另一个焦点的距离或与该焦点对应的准线的距离去考虑. 12. 已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为（ ）

A. B. C. D. 【答案】A 【解析】令时，，，由于，所以在为增函数，注意到当处取得极小值也是最小值，并且，根据函数的单调性可知，函数这个最小值为.故选选项.

【点睛】本题主要考查利用导数解决恒成立问题.恒成立问题解法主要有两个，一个是分离参数法，将参数分离出来，本题参数无法单独出来，故考虑第二种解法，即直接利用导数来研究函数的单调性、极值与最值来解.求导之后利用选项判断出极小值为恰好为，由此可得出选项.

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 在【答案】-4 【解析】因为故填14. 【答案】10 【解析】考虑的展开式中的的系数，其展开式的通项为，．

的展开式中常数项为__________．

，所以，又，中，，，则__________．

时取得，且极小值 - 6 -

令即，从而的系数为，所以的常数项为，填．

15. 在正项等比数列中，是的两个根，则__________．

【答案】 为等比数列，所以，又，所以【解析】因为，填．

点睛：注意观察数列项的下标的特点，如和的关系等，从而可以选择合适的性质去处理． 16. 设，分别是双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于，，且【答案】 在第一象限，若为等边三角形，则双曲线的实轴长为__________．

【解析】在第二象限，设所以整理得到

，所以且，解得

且．又

，则

，故

，又，所以，，

，所以

，填

．

，所以

，所以实轴长为

点睛：圆锥曲线中，与一个焦点有关的问题，可以转化到另一个焦点的距离．另外，如果点

为双曲线上的点，焦点为，则．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在中，角.，所对的边分别为,，,且. （1）求B； （2）若【答案】(1) ，，；(2) ，求. 的面积.

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【解析】试题分析：（1）把边角关系转化为角的关系为.（2）利用余弦定理有解析：（1）因为所以（2）由（舍去），所以. ，得. ，化简得，所以，解得，从而有，从而面积为，而. ，故即，，解得，或18. 某班为了活跃元旦晚会气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1,2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品.已知同学甲参加了该游戏.

（1）求甲获得奖品的概率；

（2）设为甲参加游戏的轮数，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）问题等价于第一轮随机淘汰6人，第二轮随机淘汰3人，第三轮随机淘汰 1人，第四轮随机淘汰1人，如果甲获得奖品，则其概率为.（2）甲参

与游戏的轮数为1，2，3,4，依次求出各轮数出现的概率，列出分布列，利用公式计算数学期望即可.

解析：（1）设甲获得奖品为事件，在每轮游戏中，甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关， 则. （2）随机变量的取值可以为1,2,3,4.

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, , , . 的分布列为

所以数学期望19. 如图，在三棱台等边三角形，,中，，分别是,. . ，的中点，平面,是1 2 3 4

（1）证明：（2）求二面角平面； 的正弦值.

. ，从而得到平面平【答案】(1)见解析；(2) 【解析】试题分析：（1）根据棱台的性质和三角形的中位线可以得到面明平面.在梯形平面中，（为棱平面的中点），所以.（2）以和平面，从而可以证，也就能得到所在直线分别为轴，的法向量的夹角得到轴，轴，建立空间直角坐标系，通过计算平面 - 9 -

二面角的正弦值为. ,为棱.又的中点，所以平面,平面平面,所以,所以.因为平面. ,解析：（1）证明：因为四边形平面为平行四边形，从而. 因为是的中位线,所以平面. 又,同理可证,平面,所以平面（2）以设设平面取，得,则的一个法向量,所以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系,则,则. 的一个法向量，又, 即. 同理，设平面由，得取，得.所以，即二

面角的正弦值为.

点睛：线面平行的证明可从两个角度考虑：（1）利用线面平行的判断定理；（2）转化为面面平行.空间角的计算可利用空间向量去计算，如二面角可以转化法向量的夹角去考虑，线面角可以转化方向向量和法向量的夹角去考虑. 20. 设直线的方程为（1）若点为线段，该直线交抛物线的中点，求直线的方程；

. 于两个不同的点.

（2）证明:以线段【答案】(1)

为直径的圆恒过点 (2) 见解析.

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