数学分析(上册)答案-张勇 杨光崇-第一章-实数集与函数

第一章 实数集与函数

思考与练习 1-1

1. 下述命题哪些成立?哪些不成立?

①任何两个有理数的差是有理数. （成立） ②任何两个无理数的差是无理数. （不成立） ③两个不同无理数之间,总有别的无理数. （成立）

2. 可以写成两个整数的比的数称为 有理数 .

3. 任何两个实数之间都有别的实数，这个性质称为实数的 稠密性 . 4. 在0.9999?和1之间还有别的数吗？ （没有）

5. 0.1234567891011121314?是有理数还是无理数？(你将看到在一个给定数字序列中的模型).

0.123456789101112131415161718192021?99100101102103104105106107108?是无理数

6. 求两个无理数,使其和是有理数. （2??2?0??） 7.“如果P则Q”的逆否命题是 “如果非Q则非P” . 8. 公理和定义是已被认可的,而 定理 则必须证明.

9. 设a为有理数,x为无理数,证明:①a?x是无理数; ②当a?0时,a?x是无理数. 证：① 用反证法：若a?x是有理数，则由有理数对四则运算的封闭性，知

??x??a?x??a??，与已知矛盾，所以a?x是无理数。

②用反证法：若a?x是有理数，则由有理数对四则运算的封闭性，知

x?ax???a?0?，与已知矛盾，所以a?x是无理数。 a10. 证明:在任意两个不同的实数之间,一定存在一个有理数;也一定存在无穷多个有理

数(提示:如果a?b,则b?a?0,所以存在一个自然数n使得

1?b?a.考虑整数集合n?k??k?b?并注意到有下界的整数集一定有最小数). ?n?证法1 (1) 由题目条件，可设a?b，则b?a?0，由欧基米德定律，存在一个自然数

?k?11?k? n使得?b?a，所以a?b??b，又?k?b?有下界，故有最小整数k0??k?b?，

nn?n??n?所以当m?k0时，有

k?1k?1k?1m?b,且a?0?b,0??.(事实上,如果?b，因而有0nnnna?k0?11k?a??0?b,此为矛盾) nnn(2) 同上可证,在a与c?k0?1k?1(或0与b)之间一定有另一个有理数d,不妨设nn1

c?d,则c?d?c??c,d???a,b??n???,n?1?,即a,b之间有无穷多个有理数. n证法2 由题目条件，可设a?b,由第1节的命题可知,存在非负整数n,使得

bn?an??an,bn???,而21b?bn?an?a,而bn,an??,第一个结论得证.又因而bn?1k?1bn?anbn?ankb???an,bn???,?bn???an,bn???,?,即a,b之间有无穷多个

222n有理数.

第二个结论的另一证法:因为an?bn?an??an,bn???a,b?n?n???,n?1?,即a,b之间有无穷多个有理数.

11. 写出下述命题的逆命题、否命题和逆否命题,并指出哪些命题是真命题. ① 如果今天下雨,我就在家里工作; ╳

② 如果这个候选人符合所有的条件,她就能被聘用; √

③ 设a,b,c是三角形的边长,如果a?b?c,则这个三角形是直角三角形; √ ④ 如果角ABC是锐角,则0?角ABC?90;√ ⑤ 如果a?b,则a?b.╳

①逆命题: 今天我在家工作,是因为天下雨. ╳ 否命题: 如果今天不下雨,我就不在家工作. ╳ 逆否命题: 今天我不在家工作,是因为天没下雨. ╳

②逆命题: 如果这个候选人能被聘用,是因为她符合所有的条件; ╳ 否命题: 如果这个候选人不符合某些条件,她就不能被聘用; ╳

逆否命题: 如果这个候选人没被聘用,那就是因为她不符合某些条件. √ ③逆命题: 设a,b,c是直角三角形的边长,则a?b?c;√

否命题: 设a,b,c是三角形的边长,如果a?b?c,则这个三角形不是直角三角形; √

逆否命题: 设a,b,c是三角形的边长,如果这个三角形不是直角三角形, 则a?b?c;√

④逆命题: 如果0?角ABC?90,则角ABC是锐角; √ 否命题: 如果角ABC不是锐角,则角ABC ?90.√ 逆否命题: 如果角ABC ?90,则角ABC不是锐角; √ ⑤逆命题: 如果a?b,则a?b.╳

2200222222222002222200 2

否命题: 如果a?b,则a2?b2.╳ 逆否命题: 如果a2?b2,则a?b.╳ 12.若x,?和y都是实数,下述命题哪些为真? ① 对任何x,x?0?x2?0; √ ② 对任何x,x?0?x2?0; ╳ ③ 对任何x,x2?x; ╳

④ 对任何x,存在y使得y?x2; √

⑤ 对任何正数y,存在另一个正数x,使得0?x?y; ⑥ 对任何的x,x?x?1; √

⑦ 存在一个自然数N,使得N大于任何素数; ╳

⑧ 对任何的x?0,存在一个y,使得y?1x; √ ⑨ 对任何的正数x,存在一个自然数n,使得1n?x; ⑩ 对任何的正数?,都存在一个正整数n,使得12n??. 思考与练习 1-2

1. 下述命题成立的有:

①由不等式x?y,y?z和z?x可得x?y?z.√ ②如果x和y是实数,则?x?y??y?x??0.√ ③如果a?b?0,则

1a?1b.√ ④如果对任意的正数?,都有x??,则x?0.√ ⑤如果x?y,则x?y. ╳

⑥如果实数x和y同号,则x?y?x?y√ ⑦如果r?1,则

11?r?11?r?11?r.√ ⑧如果r?1,则

1111?r?1?r?1?r.√ 2. 下述等式成立的有

3

√

√ √

①?x?x; ②x答: ②, ③.

2?x2; ③xy?xy; ④ x2?x.

3. 不等式0??x?2??4与0?x?2?2所表示的实数范围是否相同?

2答:不相同, 0??x?2??4所表示的实数范围是区间?0,4?,而0?x?2?2所表示的

2实数范围是区间[2,4].

24. x?2与x?4表示的实数范围相同吗?

答:相同,都是开区间??2,2?.

5. 与x?2?3等价的不等式是 -1 ?x? 5 . 6. 如果a?b,则下列哪些结论为正确的:

①a?ab ②a?3?b?3 ③a?ab ④?a??b. 答: ②, ③.

7. 试在数轴上表示出下列不等式的解:

① 2x?1?x?1 ②x?1?x?3 ③x?1?2x?1?22323x?2.

解 ① 由x(x?1)?0??2?x?0x?0??x?0?或如图2-1； ??2?x?1?0?x??1或x?1??1?x?12② 两边平方得(x?1)?(x?3)??2x?1??6x?9?x?2，如图2-2；

③ 两边平方得3x?2?2(x?1)(2x?1)?3x?2??2(x?1)(2x?1)?0?x?1且2x?1，此为矛盾，故解集为空集；

用图形法给出数轴表示，如图2-3

图2-1 图2-2 图2-3 8. 设a,b?R 证明:对任何正数?有a?b??,则a?b.

证 用反证法.若a?b,则令?0?a?b?0,由已知得a?b??0?a?b,此为矛盾.故

a?b.

9. 求?(依赖于?),使下述的蕴涵关系成立:

①x?5???3x?15??; ② x?6???6x?36??.

4

解: ①???3,②???6

10. 证明

x?2x?2?. 29x?9(提示:用绝对值的三角形不等式,并注意到0?a?b?11?) bax?2x?2x?2??证 2.

9x?9x2?91?1?11. 若a?0,则a?2?2. (提示:考虑?a??)

a?a?221?1111?22证 ?a???0?a?2a??2?a?2?2?0?a2?2?2.

a?aaaa?12. 解不等式1?x?x?x???x229922299?0.

1?x100解 1?x?x?x???x?,故不等式的为x?1.

1?x13. 如果值范围.

解

1111???,且10?R1?20,20?R2?30,30?R3?40,求R的取RR1R2R313111111111。 =???????120203040R102030601?2,并说明其中等号何时成立. x214. 设x?0证明x?证只需证明x?0时结论成立。因为x?0，故可令x?y，由

?1?112??y??y??2?0?x??2，当x??1时，等号成立。 2??yxy??15. 证明:对任何x?R有

①x?1?x?2?1; ②x?1?x?2?x?3?2. 证 ① x?1?x?2?(x?1)?(x?2)?1；

② 当x?3?1时，由（1）的结论知x?1?x?2?x?3?2；当x?3?1时，则有2?x?4，所以x?1?1?x?1?x?2?x?3?1?x?2?x?3?1?1?2。

5

2

另证：x?1?x?2?x?3?x?1??x?3??x?2?2?x?2?2。 16. 设a,b,c?R(R?表示全体正实数的集合) 证明:

?a2?b2?a2?c2?b?c

你能说明此不等式的几何意义吗？

证 （方法1）因为对任意的实数b,c都有b?c??2bc成立。对所给不等式两边平方得结论成立。

（方法2）

22a?b?a?c?2222a2?b2?a2?c2?a2?b2?a2?c2??b?c?b?c??b?c。

b?c几何意义是：直角梯形两对角线长度的差不超过两底边的长度差。如图1-5-1（或 三

角形两边之差小于第三垂足分成的两段线段之差边图1-5-4,另外两个图形的几何意义请读者自述）

caba2?c2a2?b2a2?b22ba?b2aca2?c2b图1.5-1 ca2?c2a?b22aca2?c2a图1.5-2

b

图1.5-3 图1.5-4

17. 若ai?0,i?1,2,?,n，则 ①?a1?a2???an???nnn?111????an?a1a2?2??n; ??②a1?a2???an?na1a2?an. 证 ① 因为

n111????a1a2an?a1?a2???an?结论成立.

nnna1n?a2???annn?na1na2?an?a1a2?an?结论成立. ②

n?a?nb?n18. 若a,b是两个正数,则ab???n?1??n?1.

????n???a?b?b???ba?nb证 n?1abn???结论成立.

n?1n?119. 若x?0,则1?x?x???x22n??2n?1?xn.

6

1?x?x2???x2n2n?1证 ?1?x?x2?x2n?1?2n?1x1?2?3???2n?xn?结论成立.

2n?1?n?1?20. 当n?1时,n!???.

?2?证

nnn!?1?2???nn?1??结论成立.(注:几何平均数不超过算数平均数中的等

n2号成立的充要条件是:a1?a2???an)

思考与练习 1-3

1. 下述命题是否成立?

① 存在只有唯一公共点的两个闭区间. √

②如果两个开区间有一个公共点,则有无穷多个公共点. √ 2. 在数轴上画出下列区间:

①??1,1? ②??4,1? ③??4,2? ④??1,4? ⑤??1,?? ⑥???,0? 略

3. 将下述数轴上表示的实数范围用区间表示出来 ①

12345678 ?2,7?

②

?3?2?101234 ??2,3?

③

?7?6?5?4?3?2?10 ???,?1?

④

?3O?101234 ??1,4?

4. 下列数集是否有上界或下界,如有,则给出下列数集的上界或下界,并与同学对比一下,看大家给出的上界或下界是否一致?

n???1??2?????4,?2,0,2,4,?? ②?xx??0,2??Q? ③?xx?①??,其中n为正整数

n????23n??1??1????1?1?④??1?1?,?1??,?1??,??1??,??,其中n为正整数 ???2??3??n??? 7

⑤?tanxx??????????,?? ⑥?arctanxx????,????. ?22?? 答：① 数集既无上界，也无下界；② 数集有上界，如3，也有下界，如-9；③ 数集有上界，如2，也有下界，如-1；④数集有上界，如4，也有下界，如0；⑤数集既无上界，也无下界；⑥ 数集有上界，如2，也有下界，如-2；

5. 给出4题中有界数集的上确界或下确界.

解：② infE?0,supE?2； ③infE?0,supE?3； ④ infE?2,supE?e（注：2e是一个无理数，e?2.718281828459045?）

6. 设S为非空数集.试对下列概念给出定义: ①S无上界; ②S无界.

解 ① 若对任意的M?0，都存在x0?S，使得x0?M，则数集S无上界； ② 若对任意的M?0，都存在x0?S，使得x0?M，则数集S无界。 7. 用区间表示下列不等式的解:

①1?x?x?0; ②(x?a)(x?b)(x?c)?0(a,b,c为常数，且a?b?c);

③x?21. ?6; ④sinx?2x解 ① 1?x?x?0?1?x?x，两边平方得x?11，所以解集为(??,)； 22②当x?a时原不等式无解，当a?x?b和x?c时原不等式成立，故不等式的解为

(a,b)?(c,??)；

③不等式两边平方得x?34x?1?0，解方程x?34x?1?0得

4242x1,2,3,4??(3?8)，故不等式的解集为[?3?8,?3?8]?[3?8,3?8]；

?2k??。 ④不等式的解为???2k?,k?Z44??8. 试证明：数集S?yy?2?x,x?R有上界无下界.

证 对任意的y?2?x?S?y?2?x?2，所以2是数集S的上界；又对任意的实数M>0，存在y0?2?(3?M)?S,且y0??M，故S无下界。

9. 求下列数集的上.下确界,并依定义加以验证: ①S???10,?8,?6,?4,?2?;

②S???2,?2.1,?2.11,?2.111,?2.1111,??;

8

2??3???2?22③S??2.4,2.44,2.444,2.4444,??; ④S??1???11111?,1?,1?,1?,?,1?,??; 2345n?n⑤S??xx???1??⑥S?xx?2;

??1?,n为正整数?; n??2?1?内的无理数. ⑦S?xx为?0，解 ①infS??10,事实上,对任意的x?S,显然x??10,对任意的??0,存在

?10?S,使得?10??10??,由定义知infS??10;

??supS??2,事实上,对任意的x?S,显然x??2,对任意的??0,存在?2?S,使得

?2??2??,由定义知supS??2;

?,事实上,对任意的x?S,显然x??2,对任意的??0,存在?2?S,使得supS?2.4?2??2??,由定义知supS??2;

11111,事实上,对任意的x?1??S(n?1),显然x?1??1??,对2nn221111任意的??0,存在?S,使得???,由定义知infS?;

222211supS?1,事实上,对任意的x?S,x?1??1,对任意的??0,存在??,使得

nm11??1??,由定义知supS?1;

m1nn⑤infS??1,事实上,对任意的x?S,??1?????1???1,对任意的??0,存在

n④infS?12k0?1??，所以?1?11??1??,由定义知infS??1; ?S,使得?1?2k0?12k0?131113nn,事实上,对任意的x?S,显然x???1?????1???1??,对任2n222313332意的??0,存在???1???S,使得???,由定义知supS?;

22222supS?⑥事实上，因为对?x?S，则x?2??2?x?2，所以supS?22，infS??21?为S的下界；又对任意的???0，存在x0?2??S使得

222

9

???2?2x0??2??(2??)2， ??2???822??所以

22是S的上确界；又对任意的

21???0，存在x0??2???S使得222????222x0???2??2????(?2??)?，所以?2是S的下确界; ??822??⑦infS?0,事实上,对任意的x?S,由区间的定义知,x?0,对任意的??0(不妨设??1),由无理数的稠密性,存在x0??0,?????S,使得x0?0????,由定义知

infS?0;

supS?1,事实上,对任意的x?S,由区间的定义知,x?1,对任意的??0(不妨设

??1),由无理数的稠密性,存在x0???,1????S,使得x0?1??,由定义知supS?1.

10. 设S为非空有下界数集,证明:

infS???S???minS.

证 “必要性”，因为infS???S??x?S有??x且??S，所以?“充分性” 因为??minS；

?minS，所以对任意的x?S有??x，又对任意的??0，存在

minS???S使得?????，故infS???minS；

11. 设S为非空数集,定义S??xx?S.证明:

???(1)infS???supS;(2)supS???infS

证（1）由上确界的定义得：对任意的x?S，有x?supS??x??supS，即?supS是数集S的下界，又对任意的?所以inf??0，存在x?S使得x?supS????x??supS??，

S???supS；

（2）由下确界的定义得：对任意的x?S，有x?inf数集S的上界，又对任意的?以supS?S??x??infS，即?infS是

??0，存在x?S使得x?supS????x??supS??，所

??infS。

12. 设A,B皆为非空有界数集,定义数集 A?B?zz?x?y,x?A,y?B

10

??

证 (1)sup(A?B)?supA?supB;(2)inf(A?B)?infA?infB.

证 (1) 对任意的z?A?B,存在x?A,y?B,使得z?x?y?supA?supB,所以

supA?supB是数集A?B的上界;又对任意的??0,存在x0?A,y0?B,使得x0?supA??,y0?supB??,所以z0?x0?y0?A?B且z0?supA?supB?2?,故(1)

成立.

(2) 与(1)的证明类似.

思考练习 1-4

1. 下述命题成立吗?

①log2x对任何实数有定义; ╳ ②

yylogx?logx?logy;╳ logy4OxOx③?logx??4logx.╳

图1.4-10(a) 图1.4-10(b) 2. 在下列两种变化过程中,一定

质量的气体的温度、体积、压强哪些是变量?哪些是常量?

① 等温压缩过程; ② 封闭容器加热过程.

答: ① 温度是常量,而体积、压强是变量; ②体积常量,而温度、压强是变量. 3. 函数是怎么定义的?下列关系是否为函数?为什么?

① 三角形的面积是否为边长的函数?为什么?又三角形一边为a,其上的高为h(常数).问其面积是否为边长a的函数?

② 等速直线运动的速度是否为时间的函数? ③ 圆的面积与半径是否为函数关系? ④ 小麦产量与施肥量是否是函数关系?

答: ① 三角形的面积不是边长的函数.因为相同边长的三角形的面积可能不等.如三条边长分别为4,3,3的三角形的面积等于25,三条边长分别为4,4,2的三角形的面积等于

151.是,因为S?ha. 22② 是.v?a是常数函数 ③ 是S??r

④ 不是.

4. 如图1.4-10所示图形是否为某函数的图形?

答: 1.4-10(a)是函数关系; 而1.4-10(b)不是函数关系.

5. 函数关系有几个要素?何谓函数定义域?两函数相同指什么?下列各对函数相同吗?

2 11

① f?x??② ??x??③ f?x??xx?1?x?x2g?x??1; 1?x2??x???x?;

x2g?x??x;

④ f?x??2lnx⑤ z?x??ln⑥ f?x??x⑦ f?x??arcsinxh?x??lnx2;

xw?x??1lnx; 2??x??elnx

g?x???2?arccosx.

答: 有定义域和对应法则两个要素; 若f是一个由D到M内的函数,记作

f:D?M

x?y

则称数集D为函数f的定义域;它们的定义域相同和对应法则相同. ③、④、⑤、⑦是相同的函数.

6. fx??与?f?x??是一回事吗?试举例说明.

2222fx?3?9. ?答: 不相同,如f?x??3,则fx?3????????27. 用函数表示下列数量关系: ① 圆锥的体积除以的高度;

② 半径为a的球的体积等于半径的立方的?倍; ③ 液体下物体的浮力等于它所排出的液体的重量;

④ 气体的压力正比于它所排出的液体的重量.(该题要修改!)

?等于它的底半径的平方乘以它343y?1xO1图1.4-12(c) 4?32解 ①V?rh; ②V?r; ③ F??gV; ④

338. 试作下列函数的图象:

①y?1??x?1?; ②y?sgn(sinx);

2? 12

?3x,x?1,?③y??x3,x?1,

?3,x?1.?解 ① 图1.4-12(a); ② 图1.4-12(b);③图1.4-12(c);

yy??1?x?2y?????1?2?O图1.4-12(a) x???O??x ??2?x

图1.4-12(b) 9. 试比较函数y?a与y?logax分别当a?2和a?解 见图1.4-13

10. 根据图1.4-11写

1时的图象. 2y?1?y????2?xyy?2xy?log2x1OO1y?log1x2xx图1.4-13 出定义在?0,1?上的函数f1(x)和f2(x)的解析表示式.

1?16x,0?x?,?1?40?x?,??4x,11?2解 f1?x??? f2?x???8?16x,?x?,

142?4?4x,?x?1.?12??0,?x?1.?2?11. 确定下列初等函数的存在域: ①y?arcsin(lg③y?ln⑤y?yx) ②y?10x?3x?10

x?8224f2?x?x?22x ④y?arccos2 3?xx?1f1?x?sinx?16?x2 ⑥y?lnlnlnx2

????O1解 ①由?1?lg故D??1,100?;

xx?1?0.1??10?1?x?100， 1010412图1.4-11

1x 13

② x?8,?x?2??x?5??0?x?8,x?5或x??2; ③

x?2?0?x????,2???2,3?; 3?x2x?1?2x?1?x2?x??; 2x?1④

⑤ x??0,?????4,???; ⑥ lnlnx?2??0?lnx2?1?x2?e?x????,?e???e,???.

?2?x,x?012. 设函数f(x)??x

2,x?0?求 ①f(?3),f(0),f(1); ②f(?x)?f(0),f(??x)?f(0)(?x?0). 解 ①f??3??2???3???1;f?0??2?0?2;f?1??2?2.

1②f??x??f?0??213. 设函数f(x)?解

?x?2;f???x??f?0??2????x??2???x。

11). ,求:f(2?x),f(2x),f(x2),f(f(x)),f(f(x)1?xf?2?x??f?f?x???11111?;f?2x???;fx2?;21??2?x?3?x1??2x?1?2x1?x??1?1?f?x?11?11?x?1?x;2?x?1?111

?f?????f?x??12?x??1?11?1f?x?1?xcosx14. 试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成: ①y?x?arcsinx ②y??sinx?2 ③y?arccos1?x22x 21?x④y?sinx?? ⑤y?lnsin?1?x? ⑥y?1?21212cosx

解 ① y?w,w?x?v,v?arcsinx; ② y??sinx??10cosxlgsinx ,所以y?10v,v?cosxlgz,z?sinx;

③ y?arccosz,z?⑥ y?1?2,v?

v2x2y?sinz,z?x;④ ; ⑤ y?lnv,v?sinz,z?1?x; 21?xz,z?1?x2.

14

15. 在什么条件下,函数y?ax?b的反函数是它本身？

cx?d?dy?b，故当a??d时，

cy?a答： 由y?cx?d??ax?b??cy?a?x?b?dy?x?ax?b的反函数就是它本身。

cx?d16. 将长为l的铁丝剪成两段.一段弯成正方形,一段弯成圆.设正方形的边长为x,圆与正方形的面积和为y.试将y表为x的函数,并写出x的存在域.

l?4x解 如图1.4-14设正方形的边长为x,则圆的半径为r?,所以

2?函数y??l?4x??l?2y??r?x????x, x?0,?. ???2???4?22217 证明关于函数y??x?的如下的不等式: ①当x?0时，1?x?x???1;

?x?②当x?0时，1?x???1?x.

?x?证 ① 当x?0时，

?1??1?x图1.4-14

1?1?1?1?????1?x?x?x?x② 当x?0时，

?1?x???1 ； ?x?1?1?1?1????，因为x?0，所以1?x?x?x思考与练习 1-5

?1?x???1?x。 ?x?1. 函数的奇偶性是怎么定义的?若??x?是偶函数,则f???x??必是偶函数;若??x?是奇函数,则f???x??必为奇函数,对吗?

答 设D为对称与原点的数集,f为定义在D上的函数.若对每一个x?D有

f(?x)??f(x)(f(?x)?f(x)),

则称f为D上的奇(偶)函数.

若??x?是偶函数,则f???x??是偶函数, 而??x?是奇函数,但f???x??不一定是奇函数.如??x??x是奇函数,f?x??sinx?1,但f??x??sinx?1是非奇非偶函数.

33?? 15

2. 函数的有界性与哪些因素有关?下列函数有界吗? ①y?x??x?(?x?表示不大于x的最大整数); ②f?x??1 a)0?x???,b)1?x???, c)???,0?; x③??t??sin??1?0?t???? ④??t??tant??0?t??

2?t?答: 与函数的定义法则和自变量的取值范围有关. ①0?y?x??x??1,故是有界函数; ② a)无界,b)有界, c)无界; ③有界; ④无界

3. 2题①、③中的函数是周期函数吗?若是请写出其周期. 答: ①是周期函数,周期为1,③ 不是周期函数.

4. 已知函数y?f?x?的图形(图1.5-2),试作出下列函数的图形

① y??f?x? ② y?f?x??1 ③y?f?x?.

?1y1?1,1?11232?1O2x解 见图1.5-2(a),(b),(c).

5. 单值函数与单调函数是一回事吗?试举例说明. 略

6. 哪些函数是基本初等函数?试叙述它们的定义域、值域、主要性质.并作常见图形,并指出哪几个互为反函数.

略

7. 何谓复合函数,中间变量? 略

8. 什么叫初等函数?试举例. 略

9. 什么就分段函数?试举例. 略

图1.5-2(a) y1?1?1y1?1,0?图1.5-2(b) ?1,1?12132121322xx10. 证明f(x)?2是R上的有界函数.

x?1证 f?x??以f?x???1O2xx12x1??,?x?R，所2221?x21?x?1x是R上的有界函数。 21?x图1.5-2(c) O11. ① 叙述无界函数的定义;

② 举出函数f的例子,使f为闭区间?0,1?上的无界函数.

解 ① 定义: 设f为定义在D上的函数,若对?M?0,都存在x0?D,使得f?x0??M,

16

则称f为D上的无界函数.

?1?,x??0,1?, ② 解 例如f?x???x是?0,1?上的无界函数.

?x?0.?1,12. 证明函数y?3x?1在???,???上严格递增.

证 对任意的x1,x2????,???,x1?x2,?3x2?1???3x1?1??3?x2?x1??0,所以函数y?3x?1在???,???上严格递增.

13. 判断下列函数的奇.偶性(通过本题你能发现奇、偶函数的运算性质的某些规律吗？) ①

f(x)?14x?x2?1;2②

f(x)?x?sinx;③

f(x)?x2e?x;2④

f(x)?lg(x?1?x2).

解 ①、③为奇函数；②、④为偶函数.

偶（奇）函数的和差为偶（奇）函数；偶（奇）函数与偶（奇）函数的积、商为偶（奇）函数；偶函数与奇函数的积为奇函数。

14. 求下列函数的周期:

①cosx; ②tan3x; ③cos解 ① cosx?22xx?2sin. 231?cos2x,因为cos2x的基本周期是?,所以f的基本周期是?. 2?② tan3x的基本周期是.

3xxxx③ cos的基本周期是4?,sin的基本周期是6?,所以f?x?=cos?2sin的基

2233本周期是6?.

15. 设函数f定义在??a,a?上,证明:

①F(x)?f(x)?f(?x),x???a,a?为偶函数; ②F(x)?f(x)?f(?x),x???a,a?为奇函数; ③f可表示为某个奇函数与某个偶函数之和.

证 ① 因为F(?x)?f(?x)?f(x)?F?x?,x???a,a?,所以F为偶函数;

② 因为F(?x)?f(?x)?f(x)????,所以F?f?x??f??x?????F?x?,x???a,a为奇函数;

17

③f?x??11fx?f?x????????2??f?x??f??x???,由①和②的结论可知,f可表示2?为某个奇函数与某个偶函数之和.

16. 设f,g为定义在D上的有界函数,满足f(x)?g(x),x?D.证明:

①supf(x)?supg(x); ②inff?x??infg(x).

x?Dx?Dx?Dx?D证① 因为对任意的x?D,有f?x??g?x??supg?x?,即supg?x?是f的上界,故

x?Dx?Dsupf?x??supg?x?.

x?Dx?D② 因为对任意的x?D,有inff?x??f?x??g?x?,即inff?x?是g的下界,故

x?Dx?Dinff?x??infg?x?.

x?Dx?D17. 证明:tanx在??????????,?上无界,而在??,?内任一闭区间?a,b?上有界. ?22??22?证 (ⅰ) 对?M?0,记x1?arctan?M?1?,x2?arctan??M?1?,则有x1,x2?

??????,?且 ?22?tanx1?tan?arctan?M?1???M?1?M,tanx2?tan?arctan??M?1????M?1??M,

即tanx在??????,?上无界. ?22? (ⅱ) 对任意的a,b,??2?a?b??2,则对?x??a,b????????,?,恒有 22??tana?tanx?tanb,

即tanx在??????,?内的任一闭区间?a,b?上有界. ?22?18. 讨论狄利克雷函数

?1,当x为有理数D(x)??

0,当x为无理数?的有界性.单调性与周期性.

解 有界,不单调,有周期,但无基本周期的函数。

19.试证曲线y?f?x?上任意不同两点的割线的斜率大于0,则函数y?f?x?是增函数;

18

若斜率小于0,则是减函数.

证 在曲线上任取两点x1,f?x1?,x2,f?x2?,且x1?x2,由条件知

????f?x2??f?x1?x2?x1?0??0??f?x2??f?x1??0??0??f?x2?f?x1???f?x??f?x??

21由单调函数的定义知,结论成立.

20. 证明:f(x)?x?sinx在R上严格增. 证 设x1,x2?R,x2?x1,

x2?x1x?x1sin222

x?x1?x2?x1?2sin2?x2?x1??x2?x1??0.??sinx?x,x?0?2f?x2??f?x1??x2?x1?sinx2?sinx1?x2?x1?2cos21. 设定义在?a,???上的函数f在任何闭区间?a,b?上有界.定义?a,???上的函数:m(x)?inff(y),M(x)?supf(y).试讨论m(x)和M(x)的图象,其中

a?y?xa?y?x2①f(x)?cosx,x??0,???; ②f(x)?x,x???1,???. 答 ① m?x????cosx,0?x??,??1,??x???.M?x??1,0?x???

?x2,?1?x?0,② m?x????0,0?x???;1.设a,b?R,证明:

?1,?1?x?1,M?x???2

x,1?x???.?总练习题

1?a?b?a?b?;(2)min?a,b??1?a?b?a?b? 2211证 若a?b，则max?a,b??a,?a?b?a?b???a?b?a?b??a；若a?b，

2211则max?a,b??b,?a?b?a?b???a?b??a?b???b，故结论真。（2）同样可证。

22 (1)max?a,b??2.设f和g都是D上的初等函数.定义

M(x)?max?f(x),g(x)?,m(x)?min?f(x),g(x)?,x?D 试问M(x),m(x)是否为初等函数. 答 仍为初等函数。因为由1题可得

19

M?x??1?f?x??g?x??f?x??g(x)??1f?x??g?x??[f?x??g?x?]2， 22??所以M?x?是初等函数。同理可得m?x?仍是初等函数。

3.设函数f(x)?1?x,求: 1?x?1?12,,f(x),f(f(x)). ??x?f(x) f(?x),f(x?1),f(x)?1,f?解

1??x?1?1?x?x1?x2f??x???;f?x?1???;f?x??1??1?;

1???x?1?x1??x?1?2?x1?x1?x1???x?11?x1?x?111?x1?x2?1?2x1?x?x. f????;?;f?x??,f?f?x???21?x1?x?x?1?11?xf?x?1?x1?x1?x1?4.已知f??1?2??x?1?x,求f(x). ?x??1???解 f?x????1???1?x2,x?0x1?x,x?0x2.

5.利用函数y??x?求解:

(1)某系各班级推选学生代表,每5人推选1名代表,余额满3人可增选1名.写出可推选代表数y与班级学生数x之间的函数关系(假设每班学生数为30~50人)

(2)正数x经四舍五入后得整数y,写出y与x之间的函数关系.

解（1）y???,x?30,31,32,?,50. （2）y??x?0.5?,x?0. 5??6.已知函数y?f(x)的图象,试做出下列各函数的图象:

?x?2?(1)y??fx();

y(2?)f?x();y?(?3f)?x(y)?;f(x4)(); 11(5)y?sgnf(x);(6)y??f(x)?f(x)?;(7)y??f(x)?f(x)?????227.已知函数f和g的图象,试作出下列函数的图象:

;(2)?(x)?min?f(x),g(x)? ?(x)?max?f(x),g(x)? 20

8.设f,g和h为增函数,满足f(x)?g(x)?h(x),x?R. 证明:f(f(x))?g(g(x))?h(h(x)).

证 f?f?x???f?g?x???g?g?x???g?h?x???h?h?x??。

9.设f和g为区间(a,b)上的增函数,证明第7题中定义的函数?(x)和?(x)也都是

(a,b)上的增函数.

证 对?x1,x2??a,b?,x1?x2。则有f?x1??f?x2?且g?x1??g?x2?

??x1??max?f?x1?,g?x1???max?f?x2?,g?x1???max?f?x2?,g?x2?????x2? ??x1??min?f?x1?,g?x1???min?f?x2?,g?x1???min?f?x2?,g?x2?????x2?.

10.设f为??a,a?上的奇(偶)函数.证明:若f在?0,a?上增,则f在??a,0?上增(减). 证 因为f为??a,a?上的奇函数，所以f??x???f(x)对?x1,x2??0,a?,x1?x2，由条件得f?x1??f?x2?，所以对任意的?x1,x2???a,0?,x1?x2得

?(?x1),(?x2)??0,a?,(?x1)?(?x2)，故f??x2??f??x1???f?x2???f?x1?，即 f?x1??f?x2?，所以f在??a,0?上增。（f为??a,a?上的偶函数同样可证）

11.证明:

(1)两个奇函数之和为奇函数,其积为偶函数. (2)两个偶函数之和与积都为偶函数 (3)奇函数和偶函数之积为奇函数. 略

12.设f,g为D上的有界函数,证明:

①inf?f(x)?g(x)??inff(x)?supg(x); ② supf(x)?infg(x)?sup?f(x)?g(x)?.

x?Dx?Dx?Dx?Dx?Dx?D 21

证 ① 对?x?D?g?x??supg?x??f?x??g?x??f?x??supg?x?,由第一章第5

x?Dx?D节习题16的结论可知,

（最后一个等式由第3节习inf?f?x??g?x???inf?f?x??supg?x??f?x??supg?x????infx?Dx?D?x?Dx?Dx?D?题12的结论可得）。

② 对?x?D?g?x??infg?x??f?x??g?x??f?x??infg?x?,由第一章第5节习

x?Dx?D题16的结论可知,

x?Dx?Dsup?f?x??g?x???supf?x??infg?x??supf?x??infg?x?（最后一个等式由第3节习

x?Dx?Dx?D??题12的结论可得）。

13.设f,g为D上的非负有界函数,证明:

① inff(x)?infg(x)?inf?f(x)g(x)?; ② sup?f(x)g(x)??supf(x)supg(x).

x?Dx?Dx?Dx?Dx?Dx?D证 因为f和g为D上的非负有界函数，所以inff?x??0,infg?x??0，若

x?Dx?Dinff?x?,infg?x?中有一为零，则不等式显然成立，故不妨设inff?x??0,infg?x??0，

x?Dx?Dx?Dx?D由于f,g的非负性，因此

f?x?infg?x??f?x?g?x?

x?D由此可得

inf{f?x?infg?x?}?inf{f?x?g?x?}

x?Dx?Dx?D于是有

inff?x??infg?x?}?inf{f?x?g?x?}

x?Dx?Dx?D（注：最后的不等式是用了inf{ainff?x?}?ainff?x?,a?0）

x?Dx?Dx?D② 因为f和g为D上的非负有界函数，所以supf?x??0,supg?x??0，若

x?Dx?Dsupf?x?,supg?x?中有一为零，则f和g应恒等于零，不等式显然成立，故不妨设

x?Dx?Dsupf?x??0,supg?x??0，由于f,g的非负性，因此

x?Dx?Df?x?supg?x??f?x?g?x?

x?D由此可得

sup{f?x?supg?x?}?sup{f?x?g?x?}

x?Dx?Dx?D 22

于是有

supf?x??supg?x?}?sup{f?x?g?x?}

x?Dx?Dx?D{asupf?x?}?asupf?x?,a?0） （注：最后的不等式是用了supx?Dx?Dx?D（注：若f和g的非负性条件不满足，则上述结论不成立。例如函数

f?x???1?x?1?和g?x???1x,x?D??0,1?。f为非负函数，g是非正函数， 2211?1?inff?x??0,infg?x???但inf?f?x?g?x???inf?x?x?1?????0。

x?D4x?Dx?D162x?D??14.将定义在?0,???上的函数设f延拓到R上,使延拓后的函数为(i)奇函数;(ii)偶函数.

??1?1?x2,0?x?1设 ① f(x)?sinx?1; ②f(x)?? .

3x,x?1??解 ①f是定义在?0,???上的函数，为把f延拓到R上，必须将f的定义域扩充到

(??,0]得到定义在R上的函数F?x?并使F?x?要满足两个条件：第一，F?x?是奇（偶）函

数；第二，在?0,???上应有F?x??f?x?。

（1）（ⅰ）为了使f延拓后成为奇函数，而奇函数的图形关于原点对称，所以应当定义

?sinx?1,x?0,? F1?x???0,x?0,?sinx?1,x?0.?显然，F1?x?满足：F1?x?是奇函数且在?0,???上有F1?x??f?x?。

（ⅱ）为了使f延拓后成为偶函数，而偶函数的图形关于y轴对称，所以应当定义

?sinx?1,x?0,F2?x???

?1?sinx,x?0.显然，F2?x?满足：F2?x?是偶函数且在?0,???上有F2?x??f?x?。

②（ⅰ）为了使f延拓后成为奇函数，而奇函数的图形关于原点对称，所以应当定义

?x3,x?1,?2?1?1?x,0?x?1,

F1?x???2??1?1?x,?1?x?0,?x3,x??1? 23

显然，F1?x?满足：F1?x?是奇函数且在?0,???上有F1?x??f?x?。

（ⅱ）为了使f延拓后成为偶函数，而偶函数的图形关于y轴对称，所以应当定义

?x3,x?1,?F2?x???1?1?x2,x?1

??x3,x??1?显然，F2?x?满足：F2?x?是偶函数且在?0,???上有F2?x??f?x?。

15 设f为定义在R上以h为周期的函数,a为实数.证明:若f在?a,a?h?上有界,则f在R上有界.

证 由条件f在?a,a?h?上有界，，故?M?0,对?x??a,a?h?，有f?x??M。 对?x?R,?m??，使得x?mh?x1，其中x1??a,a?h?，所以

f?x??f?mh?x1??f?x1??M

即f在R上有界。

16.设f在区间I上有界.记

M?supf(x),m?inff(x)

x?Ix?I证明:supf(x1)?f(x2)?M?m.

x1,x2分析：按上确界的定义，应当证明：

（1）?x?,x???I,f?x???f?x????M?m； （2）???0,?x?,x???I,f?x???f?x????M?m??

证 先证（1）

?x?,x???I,f?x???M,f?x????m?f?x???f?x????M?mf?x????M,f?x???m?f?x????f?x???M?m???M?m??f?x???f?x????M?m ?f?x???f?x????M?m再证（2）。若M?m则f?x?在I上恒为常数，结论显然成立。不妨设M?m，取正数??M?m。因为M?supf?x?,x?Im?inff?x?，所以对

x?I???0,?x?,x???I,使得M????f?x??,f?x????m? 22 24

于是

M?m???f?x???f?x????f?x???f?x???

由（1）和（2）得supf?x???f?x????M?m成立。

x?,x???I 25

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