指数与指数幂的运算

2.1.1 指数与指数幂的运算（三课时）

教学目标：1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念；

2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；

3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。

教学重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质 教学难点：根式概念和分数指数幂概念的理解 教学方法：学导式 教学过程：

第一课时：9月20日星期一 （I）复习回顾 引例：填空

（1）a?a?a（n?N)； a=1（a?0)； a0n*?n?n个a1(a?0,n?N*) na (2)a?a?amnm?n (m,n∈Z)； (am)n?amn (m,n∈Z)； (ab)n?an?bn (n∈Z) （3）9?_____； -9?_____； （4）(a)2?_____( a?0)； a2?________（II）讲授新课 1.引入：

0?______ （1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为a?a可看作a?a所以a?a?amnm?nmnm?n,

可以归入性质a?a?amnm?nm?n；又因为()可看作a?a，所以

abnanan()?n可以归入性质(ab)n?an?bn(n∈Z)）,这是为下面学习分数指数幂的概念和性质bb做准备。为了学习分数指数幂，先要学习n次根式（n?N*）的概念。 （2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。如： 2=4 ，（-2）=4 ? 2，-2叫4的平方根 332=8 ? 2叫8的立方根； （-2）=-8?-2叫-8的立方根 5n2=32 ? 2叫32的5次方根 ? 2=a ?2叫a的n次方根 22分析：若2=4，则2叫4的平方根；若2=8，2叫做8的立方根；若2=32，则2叫做32的n

5次方根，类似地，若2=a，则2叫a的n次方根。由此，可有： 2.n次方根的定义：（板书） 一般地，如果x?a，那么x叫做a的n次方根（n th root）,其中n?1，且n?N。 问题1：n次方根的定义给出了，x如何用a表示呢？x?na是否正确？ 分析过程：

例1．根据n次方根的概念，分别求出27的3次方根，-32的5次方根，a的3次方根。（要求完整地叙述求解过程）

1

6235n?

解：因为3=27，所以3是27的3次方根；因为(?2)5=-32，所以-2是-32的5次方根；

因为(a2)3?a6，所以a是a的3次方根。

结论1：当n为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时，a的n次方根可表示为x?na。 从而有：327?3，5?32??2，3a6?a2

例2．根据n次方根的概念，分别求出16的4次方根，-81的4次方根。 解：因为2?16，(?2)4?16，所以2和-2是16的4次方根；

因为任何实数的4次方都是非负数，不会等于-81，所以-81没有4次方根。 结论2：当n为偶数时（跟平方根一样），有下列性质：正数的n次方根有两个且互为相反数，负数没有n次方根。此时正数a的n次方根可表示为：?na(a?0) 其中na表示a的正的n次方根，?na表示a的负的n次方根。 例3．根据n次方根的概念，分别求出0的3次方根，0的4次方根。 解：因为不论n为奇数，还是偶数，都有0=0，所以0的3次方根，0的4次方根均为0。 结论3：0的n次方根是0，记作n0?0,即na当a=0时也有意义。 这样，可在实数范围内，得到n次方根的性质： 3.n次方根的性质：（板书）

n??a,n?2k?1na叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。 x??(k?N*) 其中 n???a,n?2kn2

6

3

4注意：根式是n次方根的一种表示形式，并且，由n次方根的定义，可得到根式的运算性质。 4.根式运算性质：（板书） ①，结果仍为被开方数。 （na）?a，即一个数先开方，再乘方（同次）

问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？ 例4：求3(?2)3 ， 525 ， 434 ， (?3)2 由所得结果，可有：（板书）

n②a??nn?a,n为奇数；?|a|,n为偶数

性质的推导如下：

2

性质①推导过程： 当n为奇数时，x?na,由xn?a得(na)n?a 当n为偶数时，x??na,由xn?a得(na)n?a 综上所述，可知：(na)n?a 性质②推导过程： 当n为奇数时，由n次方根定义得：a?nan 当n为偶数时，由n次方根定义得：a??nan 则|a|?|?nan|?nan 综上所述：(na)n???a,n为奇数?|a|，n为偶数 注意：性质②有一定变化，大家应重点掌握。 （III）例题讲解 例1．求下列各式的值： 32434 （4）(a?b)2（a>b） （1）（－8）（2）（－10）（3）（3－?）注意：根指数n为奇数的题目较易处理，要侧重于根指数n为偶数的运算。 （III）课堂练习：求下列各式的值

(1)5?32 (2)(?3)4 (3)(2?3)2 (4)5?26 （IV）课时小结 通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。 （V）课后作业 1、书面作业：

a.求下列各式的值 3（1）－27 (2)a62 (4)(（3）（?－4）x?12) 3?xb.书P69习题2.1 A组题第1题。 2、预习作业：

a.预习内容：课本P59—P62。 b.预习提纲：

（1）根式与分数指数幂有何关系？

（2）整数指数幂运算性质推广后有何变化？ 第二课时：9月21日星期二 （I）复习回顾 1.填空

3

5（1）3?64?______, （2）481?______,32?_______；?481?______； 312（3）(43)4?______, (4)5a10?_____, (56)5?______；a?_______；5（5）5（?2）?___,7(?3)7?_____； （6）6(?4)6?____,454?______. （II）讲授新课 分析：对于“填空”中的第四题，既可根据n次方根的概念来解： ?(a2)5?a10,?5a10?a2；也可根据n次方根的性质来解：5a10?5(a2)5?a2。

问题1：观察5a10?a2,4a12?a3，结果的指数与被开方数的指数，根指数有什么关系？

?a510?a105?a,a2412?a123即：当根指数的被开方数的指数能被根指数整除时，?a4，

根式可以写成分数指数幂的形式。

问题2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否可以写成分数指数幂的形式？如：a?a是否可行？

2323分析：假设幂的运算性质(a)?amn23mn对于分数指数幂也适用，那么(a)?a2

2

2332?33?a2，这

说明a也是a2的3次方根，而3a2也是a的3次方根（由于这里n=3，a的3次方根唯一），于是a?a。这说明a?a可行。

22323323由此可有：

1.正数的正分数指数幂的意义：<板书>

a?nam(a?0,m,n?N*,且n?1)

注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是要注意被开方数a的幂指数n与根式的根指数n的一致性。根式与分数指数幂可以进行互化。 问题3：在上述定义中，若没有“a>0”这个限制，行不行？ 分析：正例：(?8)?反例：(?8)?124n

mn133?8??2,5(?2)2610?(?2)105?(?2)?4,(?2)?3(?2)2等等；

22313312?8??2,(?8)?6(?8)2?2,而实际上?；又如：

36434124（?8）?（?8）?（?8），（?8）?4812?4（83）?83。这样就产生了混乱，因此

12“a>0”这个限制不可少。至于(?8)?为分数指数幂，

133?8??2，这是正确的，但此时(?8)不能理解

1312不能代表有理数（因为不能改写为），这只表示一种上标。而36 4

5那是因为(?2)10?210,(?2)2?22，负号内部消化了。 (?2)5?(?2),(?2)?3(?2)2，

10523问题4：如何定义正数的负分数指数幂和0的分数指数幂？

分析：正数的负分数指数幂的定义与负整数指数幂的意义相仿；0的分数指数幂与0的非0整数幂的意义相仿。

2.负分数指数幂：<板书>

a?mn?1amn(a?0,m,n?N*,且n?1)

3.0的分数指数幂：（板书）

0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义（为什么？）。 说明：（1）分数指数幂的意义只是一种规定，前面所举的例子只表示这种规定的合理性； （2）规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数； （3）可以验证整数指数幂的运算性质，对于有理数幂也同样适用，即（板书）

aras?ar?s(a?0,r,s?Q)； (ar)s?ars(a?0,r,s?Q) (ab)r?arbr(a?0,b?0,r?Q)

(4) 根式与分数指数幂可以进行互化:分式指数幂可以直接化成根式计算，也可利用

mnmn(an)?an??am来计算；反过来，根式也可化成分数指数幂来计算。

（5）同样可规定ap(p?0,p是无理数）的意义：

① a表示一个确定的实数；

② 上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关念和证明从略； ③ 指数概念可以扩充到实数指数（为下一小节学习指数函数作铺垫）。 （III）例题讲解（投影2）

p

1－316－3100，（），（）4 例2．求值：8，481－2312分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质。

1＝10－1＝；10解： 33－4?（－）1－31622－327－3（－2）?（－3）（）＝（2－2）＝2＝26＝64；（）4＝（）4＝（）＝。4813388＝（2）＝233?232323＝2＝4；100＝（10）＝1022－12－1212?（－）2例3．用分数指数幂的形式表示下列各式： a2?a,a3?3a2,aa(式中a?0) 分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。 解：

5

a?a?a?a?a33232322122?1223?a;?a;

3411352a?a?a?a?a11223?aa?(a?a)?(a)?a.（IV）课堂练习

课本P63练习：1、2、3、4 （V）课时小结

通过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质。 （V）课后作业

1、书面作业：课本P69习题2.1A组题第2,3,4.

第三课时：9月22日星期三

教学目标

1.掌握根式与分数指数幂的互化；

2.熟练运用有理指数幂运算性质进行化简、求值； 3.培养学生的数学应用意识。

教学重点：有理指数幂运算性质运用。 教学难点：化简、求值的技巧 教学方法：启发引导式 教学过程 （I）复习回顾

1.分数指数幂的概念，以及有理指数幂的运算性质

分数指数幂概念 有理指数幂运算性质 mn3122a?nam aras?ar?s(a?0,r,s?Q)； a?mn?nam＝1nam (ar)s?ars(a?0,r,s?Q) (a?0,m,n?N*,且n?1) (ab)r?arbr(a?0,b?0,r?Q) 2.用分数指数幂表示下列各式（a>0,x>0） 5a2

14x

x6x (a)3

（II）讲授新课

例1．计算下列各式（式中字母都是正数）

(1)(2ab)(?6ab)?(?3ab); (2)(mn?). 分析：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号。（2）题先按积的乘方计算，后按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤。对于计算的结果不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示。如果有特殊要求，可根据要求给出结果，但：

① 结果不能同时含有根式和分数指数；②不能同时含有分母和负指数；

6

23121213165614388

③ 根式需化成最简根式。

(1)(2ab)(?6ab)?(?3ab)解：?[2?(?6)?(?3)]a211??326231212131656(2)(mn)14814388?383b115??236 ?(m)(n)3?3 ?4ab0?4a;m2?m?n?3n 例2．计算下列各式： (1)a2a3a2(a?0); (2)(325?125)?45 分析：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算。 （2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算。 解： a?3a2 5 ?a6?6a5;例3．求值：

(1)a2?a12232?a122??23 325?125)?45?(5?5)?5(2)(233214a?a?5?5?5?5?5512542314321421?34?531?24?5?5?1255?545.(1)5?26?7?43?6?42;(2)23?31.5?612 分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质； 解： (1)5?26?7?43?6?42?(3)2?23?2?(2)2?22?2?23?(3)2?22?2?22?(2)2?((3?2))2?(2?3)2?(2?2)2?|3?2|?|2?3?|?|2?2|?3?2?2?3?(2?2)?22注意：此题开方后先带上绝对值，然后根据正负去掉绝对值符号。113236(2)23?31.5?612＝2?3?（）?（3?2）212 ＝2111－＋33?3111＋＋236＝2?3＝6要求：例3学生先练习，后讲评，讲评时需向学生强调求值过程中的变形技巧。 （III）课堂练习 计算下列各式：

7

131－34（1）16－（）－（）162 4（2）[?5?3?()0]?215要求：学生板演练习，做完后老师讲评。 （IV）课时小结

通过本节学习，要求大家能够熟练运用有理数幂运算性质进行化简、求值，并掌握一定的解题技巧，如凑完全平方、寻求同底幂等方法。 12

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