【数学】福建省泉港一中2014-2015学年高二年上学期期末考试(理)

泉港一中2014-2015学年上学期期末考

高二数学(理科）试题

（考试时间：120分钟 总分：150分） 命题人：柯杰兰 审题人：刘景森

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个答案是正确的.）

?1”的否定是（ ） 1．命题“?x?R,sinx≤

?1 A．?x?R,sinx≥

B．?x?R,sinx?1

C．?x?R,sinx≥1 D．?x?R,sinx?1 ?12.

曲线y2=x与直线y= x所围成的图形的面积为（ ) A.

B.

C. D.

3.执行如右图所示的程序框图,输出的s值为（ ） A．?2 B．?

32

12C．2 D．

13

4. 函数f(x)?x?ax?x?6在(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围是( ) A. a≥1 B.a=1 C. a≤1 D.0﹤a﹤1

5.正三角形ABC边长为2，平面ABC外一点P，PA=PB=PC=2则P到平面ABC的距离为（ ） A.262363B. C. D.

3 3 3 3

的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的

，则该双

6. 双曲线

曲线的渐近线方程是（ ）

A． B． C． D．

7.设函数f(x)?xex,则（ ）

A．x?1为f(x)的极大值点 C．x??1为f(x)的极大值点

8.已知椭圆C的中心为原点，F(3,0)是C的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点，且

B．x?1为f(x)的极小值点 D．x??1为f(x)的极小值点

AB的中点为N(2,1)，则椭圆C的离心率是( )

A．

3312 B. C. D.

23229.如右图在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC,BD分别在

这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC?6cm,

BD?8cm,CD?217cm，则这个二面角的度数为（ ）

A．30

B．60 C．90 D．120

，直线

、，以

的方程为

，过双曲线的右焦点F的直线相交于

、

，记劣弧MN的

10．己知双曲线的方程为与双曲线的右支相交于

为直径的圆与直线

长度为，则的值为（ ）

A．

?6 B．

?4 C．

? 3 D．

?2

二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分.） 11．定积分

?e1(1?2x)dx=__________。 x12. 点P是抛物线y2?4x上一动点，则点P到点A?0，?1?的距离与到直线x??1的距离之

和的最小值是________

2

13.定义在R上的函数f(x)满足：f?(x)?1?f(x)，f(0)?6，f?(x)是f(x)的导函数，则不等式exf(x)?ex?5（其中e为自然对数的底数）的解集为

14.已知双曲线x2 ? y2 =1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若P F1⊥PF2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________.

15.已知函数f(x)?x2,x?[?2,2]和函数g(x)?ax?1,x?[?2,2]，若对?x1?[?2,2]，总?x0?[?2,2]，使得g(x0)?f(x1)成立，则实数a的取值范围为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16.某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市18～68岁的人群抽取一个容量为n的样本，并将样本数据分成五组：

再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组， [18,28),[28,38),[38,48),[48,58),[58,68)，

频率组距0.0300.0250.0200.015 0.010 第2组，

，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结

182838485868年龄（岁）果如下表所示．

回答正确的人数 5 18 27 回答正确的人数占本组的比例 0.5 组号 分组 第1组 [18,28) 第2组 [28,38) 第3组 [38,48) 第4组 [48,58) a 0.9 0.36 x 3 0.2 第5组 [58,68)

（1）分别求出a，x的值；

（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各

抽取多少人?

3

（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人

中第2组至少有1人获得幸运奖的概率． 17．（本小题满分13分）

x3已知函数f(x)?sinx，g(x)?mx?（m为实数）．

6（1）求曲线y?f(x)在点P?f??，（2）求函数g(x)的单调减区间；

?π?4?π??处的切线方程； ????4??x3（3）若m?1，证明：当x?0时，f(x)?g(x)?．

618.（本小题满分13分）

x2?y2?1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率. 已知椭圆C1:4 （1） 求椭圆C2的方程;

(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,OB?2OA,求直线AB的方程.

19．（本小题满分13分）

如图5所示,在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD为矩形,PA?平面ABCD,点E 在线段

PC上,PC?平面BDE.

(1)证明:BD?平面PAC;

(2)若PA?1,AD?2,求二面角B?PC?A的正切值.

20.（本小题满分14分）

如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，离为

12）到抛物线C：y=2px（P＞0）的 准线的距25。点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分。 4（1）求p,t的值。

（2）（2）求△ABP面积的最大值。

4

21.（本小题满分14分）

已知函数f(x)?ax2?x?3，g(x)??x?4lnx,h(x)?f(x)?g(x) (1)当a?1时，求函数h(x)的极值。

（2）若函数h(x)有两个极值点，求实数a的取值范围。

（3）定义：对于函数F(x)和G(x)，若存在直线l:y?kx?b，使得对于函数F(x)和G(x)各自定义域内的任意x，都有F(x)?kx?b且G(x)?kx?b成立，则称直线l:y?kx?b为函数F(x)和G(x)的“隔离直线”。则当a?1时，函数f(x)和g(x)是否存在“隔离直线”。若存在，求出所有的“隔离直线”。若不存在，请说明理由。

5

泉港一中2014-2015学年上学期期末考

高二数学(理科）试题

参考答案

（考试时间：120分钟 总分：150分） 命题人：柯杰兰 审题人：刘景森

一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分。)

1-5 DACAC 6-10 ADBBC

二、填空题：(本大题共5小题，每小题4分，共20分。)

11. e2 12.2 13.

5515. (??,?][,??)

?0,???

14.23.

22三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．解：（1）第1组人数5?0.5?10，所以n?10?0.1?100， ………… 2分 第2组频率为：0.2，人数为：100?0.2?20，所以a?18?20?0.9， … 4分 第4组人数100?0.25?25，所以x?25?0.36?9， ………… 6分 （2）第2,3,4组回答正确的人的比为18:27:9?2:3:1，所以第2,3,4组每组应各依次抽

取2人，3人，1人 …9分 （3）记“所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A，抽取的6人中，第2组的设为a1，a2，第3组的设为b1，b2，b3，第4组的设为c， 则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：

(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a1,c)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)，(a2,c)，

(b1,b2)， (b1,b3)，(b1,c)，(b2,b3)，(b2,c)，(b3,c). ………………11分 其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是： (a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)， (a1,b3)，(a1,c)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)，(a2,c)．

93?P(A)??．

1553答：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为 ． ………13分

5

17．解：（1）由题意得所求切线的斜率k?f?()?cos??44?222?),则切线方程为y??(x?) ， 切点P(,42224?即x?2y?1??0………4分

412（2）g?(x)?m?x

2（1）当m≤0时，g?(x)≤0，则g(x)的单调减区间是(??,??)；………6分

（2）当m?0时，令g?(x)?0，解得x??2m或x??2………2分 22m，

则g(x)的单调减区间是(??,?2m)，(2m,??).………9分

（3）证明：令h(x)?x?sinx,x?[0,??)，h?(x)?1?cosx≥0………11分

6

则h(x)是[0,??)上的增函数

x3故当x?0时，h(x)?h(0)?0即sinx?x，f(x)?g(x)?………13分

618．解

19.解:(1)因为PC?平面BDE,BD?平面BDE,所以PC?BD.又因为PA?平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA?BD.而PCPA?P,

PC?平面PAC,PA?平面PAC,所以BD?平面PAC. ………6分

(2)由(1)可知BD?平面PAC,而AC?平面PAC,所以BD?AC,而ABCD为矩形,所以ABCD为正方形,于是AB?AD?2. ………

7分

以A点为原点,AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系A?BDP.………8分

则P?0,0,1?、C?2,2,0?、B?2,0,0?、D?0,2,0?,于是BC??0,2,0?,PB??2,0,?1?.设平面PBC的一个法向量为n1??x,y,z?,则???n1?BC?0??n1?PB?0,从而

?2y?0,令x?1,得n1??1,0,2?.………11分 ?2x?z?0?而平面PAC的一个法向量为n2?BD???2,2,0?.所以二面角B?PC?A的余弦值为cos?n1,n2??n1?n2n1n2=210?,105?22于是二面角B?PC?A的正切值为3.………13分 20.解

7

1?2pt?1?p???（1）由题意得?2 ………4分 p5，得?1?????24?t?1 （2）设A(x1,y1),B?x2,y2?，线段AB的中点坐标为Q(m,m)

由题意得，设直线AB的斜率为k（k?0）.

2??y1?2px1由?2，得(y2?y1)(y1?y2)?k(x2?x1)，得k?2m?1 ??y2?2px2所以直线的方程为y?m?1(x?m)，即x?2my?2m2?m?0.………6分 2m2??x?2my?2m?m?0由?2，整理得y2?2my?2m2?m?0，………7分 ??y?x2所以?4m?4m，y1?y2?2m，y1y2?2m2?m.从而得

AB?1?122y?y?1?4m4m?4m，………9分 122k设点P到直线AB的距离为d，则

d?1?2m?2m21?4m2，

设?ABP的面积为S，则S?1AB?d?1?2(m?m2)?m?m2.………11分 22由??4m?4m?0，得0?m?1.

12，则S?t(1?2t). 2122设S?t(1?2t)，0?t?，则S??1?6t.

22令t?m?m，0?t?2由S??1?6t?0，得t?6?1?6，故?ABP的面积的最大值??0,?，所以Smax?96?2?为6.………14分 9＝

，

，

21.解：（1）a=1时，

的定义域是（0，+∞），

当x∈(0,1)时，

递减

8

当x∈(1，+∞)时，递增

∴x=1时，h(x)取得极小值h(1)=0,h(x)无极大值。……………………………………（4分） （2）

，x∈(0,+∞)

依题意，方程在（0，+∞）上有两个不相等的解。

∴∴- ∴a的取值范围是（-）……………………………………………………（9分）

（3）设存在，a=1时，

由（1）知，当且仅当x＝1时，h(x)=0,此时，f(1)=g(1)=-1 ∴y=与y=g(x)的图象有唯一的交点A（1，-1） 直线l必过点A，设l的方程：y+1=k(x-1),y=kx-k-1 由≥kx-k-1恒成立得x2+(1-k)x+k-2≥0恒成立

∴△＝（1-k）2-4(k-2)=(k-3)2≤0

∴k=3,直线l的方程：y=3x-4…………………………………………………………（12分） 以下证明g(x)≤3x-4对x>0恒成立 令φ（x）＝3x-4-g(x)=4x-4-4lnx φ`(x)=4- 当x∈(0,1)时 , φ`(x)<0, φ(x)递减，当x∈（1，+∞）时，φ(x)>0，φ(x)递增，∴φ(x)的最小值为φ(1)＝0，∴φ(x)≥0恒成立 即g(x)≤3x-4对x>0恒成立 综上，和g(x)存在唯一的“隔离直线”：y=3x-4。……（14分）

9

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