初中数学拔尖材料09 整数里的一些神奇数

初中数学拔尖材料09 整数里的一些神奇数

数学是一切科学的皇后，整数理论是皇后头上的皇冠，皇冠里面有很多神奇的数．

本讲主要介绍常见的几个神奇数：质数、合数，最大公约数、最小公倍数；同时介绍几个与它们有关的定理：算术基本定理、正约数个数定理、辗转相除法、费马小定理．

这些内容小学生都能玩得起来，其中充满了“数的智慧”，还能检测你的“数”思维能力． ．一、质数与合数 基本知识

定义1：一个大于1的正整数a，如果仅有1与a这两个正约数，那么称a叫做质数． ．．定义2：如果一个正整数a除了1与a这两个约数外还有其它的正约数，那么称a叫做合数． ．．注意：1既不是质数，也不是合数．正整数分为三类：1，质数，合数． 如果一个正整数的约数是质数，那么称它为质约数． ．．．典型例题

例1．若三个质数p、q、r满足p?q?r，且p?q?r，求质数p．

例2．求不能用三个不相等的合数之和来表示的最大奇数．

例3．判断下列各数哪些是质数？哪些合数？

31，97，721，3223．

例4．若a是正整数，问：a4?3a2?9是质数还是合数？

例5．若p是不小于5的质数，且2p?1也是质数，试证：4p?1是合数．

例6．求这样的质数p，当它加上10和14时，仍为质数．

二、最大公约数与最小公倍数 基本知识

定义3：设a1, a2, a2, , an是不全为0的整数，如果da1，da2，…，dan，那么称d叫做a1，

, an)?d．

, an的公约数．其中最大的d叫做最大公约数，记作：(a1, a2, ．．．．．

定义4：设a1, a2, a2, , an和m是正整数，如果a1m，a2m，…，anm，那么称m叫做a1，

, an的公倍数．其中最小的m叫做最小公倍数，记作：[a1, a2, ．．．．．

, an]?d．

特别地，对于两个正整数a、b，两者之间关系是：[a, b]?定义5：设a1, a2, , an都是正整数，如果(a1, a2, ab． (a, b), an是互质的

, an)?1，那么称a1, a2, 数，简称互质．特别地，a1, a2, ．．, an中任意两个数都互质，则称为两两互质． ．．．．

两两互质的整数一定互质；反之，互质的整数不一定两两互质，如：（8，9，14）．

典型例题

例7．求：①（221，325）； ②（5767，4453）．

例8．若n为小于50的正整数，求使代数式4n?5和7n?6的值有大于1的公约数的所有n的值．

例9．设m是两个不相等的正整数x、y的最小公倍数，且满足

例10．一个正整数能被5和7整除，被11除时余6，求适合条件的最小正整数，并写出具有这种

性质的整数的一般形式．

例11．用数码1、2、3、4、5、6随意排成一个六位数n，求证：n不是完全平方数．

三、有关的常用定理 基本知识

定理1（算术基本定理）：任意一个大于1的整数都能唯一地分解成质数的乘积．（不考虑顺序）

?2?定理2（正约数个数定理）：N?p1?1?p2?k?pk的正约数共有：(?1?1)(?2?1)11m?1??，求所有可能的x、y． xym(?k?1)个．

定理3（费马小定理）：对任意一个质数p和整数a，总有pap?a成立；

特别地，当(p, a)?1，就有pap?1?1成立．

例12．求最小的正整数，使它的

例13．设n是满足下列两个条件的最小正整数：①n是75的倍数；②n恰好有75个正约数（包

括1和本身）；试求

例14．当质数p?5时，求证：p111．

(p?1)个111是平方数，它的是立方数，它的是五次方数． 235n． 75

例15．求证：30a?a(a为任一整数)．

巩固练习

1．求不能写成两个合数之和的最大正整数．

5

2．三个质数之积等于它们的和的5倍，求这三个质数．

3．有一个小于2000的四位数，它恰有14个正约数（包括1和本身），其中有一个质约数的末位数

是1，求这个四位数．

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