湖北省黄冈中学2012年秋季高二上期中试卷(文科)

湖北省黄冈中学2012年秋季高二数学（文）期中考试试题

命题：曹燕 校对：肖海东

★祝同学们考试顺利★

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的．）

1． 直线3x+y?1?0的倾斜角是 ( )

A．150o B．135o C．120o D．30o 答案：C

解析：直线斜率k??3，则倾斜角为120o． 2． 下列说法中正确的有（ ）

A．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据 B．一组数据不可能有两个众数

C．一组数据的中位数一定是这组数据中的某个数据 D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大 答案：D

解析：一组数据的平均数介于这组数据中的最大数据与最小数据之间，所以A错；众数是一组数据

中出现最多的数据，所以可以不止一个，B错；若一组数据的个数有偶数个，则其中中位数是中间两个数的平均值，所以不一定是这组数据中的某个数据，C错；一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大，D对．

3．抛掷一颗骰子，则事件“点数为奇数”与事件“点数大于5”是（ ）

A．对立事件 C．不是互斥事件 答案：B

解析：事件“点数为奇数”即出现1点，3点，5点，事件“点数大于5”即出现6点，则两事件是互斥

事件但不是对立事件．

B．互斥事件但不是对立事件 D．以上答案都不对

4． 把1010(2)化为十进制数为（ ）

A．20 C．10

答案：C

解析： 1010(2)=1?2+0?2+1?2+0?2=103210

B．12 D．11

1

5． 某程序框图如图1所示，现输入如下四个函数:

2f(x)?x，f(x)?sinx，f(x)?1x，f(x)?ex， 则可以输出的函数是（ ） A．f(x)?x2 C．f(x)?答案：B

解析：有程序框图可知可以输出的函数既是奇函数，又要存在零点．满足条件的函数是B． 6． 设不等式组??0?x?2?0?y?21x B．f(x)?sinx D．f(x)?ex 图1

表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的

距离小于等于2的概率是（ ） A．

?4 B．

??22 C．

?6 D．

4??4

答案：A

解析：平面区域D的面积为4，到坐标原点的距离小于等于2的点所到区域为?，有几何概型的概

率公式可知区域D内一个点到坐标原点的距离小于等于2的概率为

?4．

7．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间?1,450?的人做问卷A，编号落入区间?451,750?的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（ ） A．7 C．10

答案：C

B．9 D．15

解析：方法一：从960中用系统抽样抽取32人，则每30人抽取一人，因为第一组号码为9，则第

二组为39，公差为30.所以通项为an?9?30(n?1)?30n?21，由451?30n?21?750，即152230?n?252130，所以n?16,17,?25，共有25?16?1?10人．

方法二：总体中做问卷A有450人，做问卷B有300人，做问卷C有210人，则其比例为15：10：7．抽到的32人中，做问卷B有32?1032?10人．

238．如图2是某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形， 等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ）

正视图2侧视图A． 23 B． 43 C．4 D．2 答案：A

2

2俯视图图2

解析：有三视图可知几何体是底面为菱形，对角线分别为2和23，顶点在底面的射影为底面菱形

对角线的交点，高为3，所以体积为V=?3112?2?23?3=23．

9．如图3是某算法的程序框图，则程序运行后输入的结果是（ ） 开始 T?0k?1k?2(k?1)?2是 sin?sin是 a?1 ? T?T?ak?k?1k?6?否 输出T 结束 否 a?0 图3 A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C

解析：当k?1,a?1,T?1; 当k?2,a?0,T?1;当k?3,a?0,T?1;

当k?4,a?1,T?2;当k?5,a?1,T?3，则此时k=k?1?6，所以输出T=3．

10．函数y?9?(x?5)2的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该等比数列的公比的数是（ ） A．

34 B．2 C．3 D．5

答案：D

解析：函数等价为(x?5)2?y2?9,y?0，表示为圆心在(5,0)半径为3的上半圆，圆上点到原点

的最短距离为2，最大距离为8，若存在三点成等比数列，则最大的公比q应有8?2q2，即

q122?4,q?2，最小的公比应满足2?8q，所以q22?14,q?12，所以公比的取值范围为

?q?2，所以5不可能成为该等比数列的公比．

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置上．)

????

11．点B是点A（1，2，3）在坐标面xOy内的射影，其中O为坐标原点，则OB等于 ________． 答案：5

解析：点B是点A（1，2，3）在坐标面xOy内的射影，可知B（1，2，0），有空间两点的距离公式

可知

????OB=5．

12．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）： 125 120 122 105 130 114

116 95 120 134，则样本数据落在?114， 124?内的频率为________． 答案：0.7

3

解析：样本数据落在?114， 124?内有7个，所以频率为0.7． 13．在平面直角坐标系中，设直线l:kx?y?2?0与圆C:x2?y2?4

相交于A、B两点，M为弦AB的中点，且CM?1，则实数k?________． 答案：?1

解析：有圆的性质可知CM?AB，又CM?1，有点到直线距离公式可得k??1． 14．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民

某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量 分别为x1,x2,x3,x4 (单位：吨)．根据如图4所示的程序框图， 若x1,x2,x3,x4分别为1, 2，3, 4，则输出的结果S为________． 答案：

52??????????

解析：有算法的程序框图的流程图可知输出的结果S为x1,x2,x3,x4的平均值，

图4

即为

1+2+3+44=52．

ax1?by1?cax2?by2?c15．设M(x1,y1)，N(x2,y2)为不同的两点，直线l:ax?by?c?0，??正确的序号为 ．

①不论?为何值，点N都不在直线l上； ②若??1，则过M，N的直线与直线l平行； ③若???1，则直线l经过MN的中点；

，以下命题中

④若??1，则点M、N在直线l的同侧且直线l与线段MN的延长线相交． 答案：①②③④

解析：不论?为何值，ax2?by2?c?0，点N都不在直线l上，①对；若??1，则

（ax1?x2)?b(y1?y2)?0，即kMN?y1?y2x1?x2??ab=kl,过M，N的直线与直线l平行, ②对；若

（x+x)(y+y)???1则（ax1+x2)?b(y1+y2)+2c?0?a12?b12+c?0，直线l经过MN的中点,

22③对；点M、N到直线l的距离分别为d1?ax1?by1+ca?b22,d2?ax2?by2+ca?b22,若??1,则

ax1?by1+c?ax2?by2+c?d1?d2，且（ax1?by1+c）(ax2?by2+c）>0，即点M、N在直线l的同侧且直线l与线段MN的延长．

4

三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

16．（本题满分12分）某市对排污水进行综合治理，征收污水处理费，系统对各厂一个月内排出的

污水量x吨收取的污水处理费y元，运行程序如图5所示： （Ⅰ）写出y与x的函数关系；

（Ⅱ）求排放污水150吨的污水处理费用． 16解：（Ⅰ）y与x的函数关系为：

?13m(m?50)?y??50?15(m?50)(50?m?100)?150?25(m?100)(m?100)?INPUTxIFx?50THENy?13xELSEIFx?100THENy?50?15(x?50)ELSE ????8分 y?150?25(x?100)ENDIFENDIF（Ⅱ）因为m?150?100,

所以y?150?25(150?100)?1400，

故该厂应缴纳污水处理费1400元． ????12分

END图5 17．（本题满分12分）已知向量a?(x,?1)，b?(3,y)，其中x随机选自集合{?1,1,3}，y随机选自

集合{1,3，9}． （Ⅰ）求a//b的概率； （Ⅱ）求a?b的概率．

17解析：则基本事件空间包含的基本事件有：(-1，1)，(-1，3)，(-1，9)，

(1，1)，(1，3)，(1，9)，(3，1)，(3，3)，(3，9)，共9种． ????2分

（Ⅰ）设“a//b”事件为A，则xy??3． 事件A包含的基本事件有(-1，3), 共1种．

??∴a//b的概率为P???????????A??19． ????7分

（Ⅱ）设“a?b” 事件为B，则y?3x．

事件A包含的基本事件有(1，3), (3，9)，共2种．

??2∴a?b的概率为P?B??9． ????12分

18．（本题满分12分）如图6是歌手大奖赛中，七位评委给甲、乙两名选手

打出的分数的茎叶图．

（Ⅰ）现将甲、乙所得的一个最高分和一个最低分均去掉后，

分别求甲、乙两名选手得分的众数，中位数，平均数；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下用方差说明甲、乙成绩的稳定性．

6

图6

6

5

（注：方差s2?1n[(x1?x)?(x2?x)?????(xn?x)]，其中x222，为数据x1,x2,???,xn的平均数）

18.解析：将甲、乙所得的一个最高分和一个最低分均去掉后，

甲的分数为85，84，85，85，86；

乙的分数为84，84，86，84，87． ????2分

（Ⅰ）甲的众数，中位数，平均数分别为85，85，85；

乙的众数，中位数，平均数分别为84，84，85． ????6分

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，

甲的方差为[(85?85)2?(84?85)2?(85?85)2+(85?85)2+(86?85)2]=51125，

85乙的方差为[(84?85)2?(84?85)2?(86?85)2+(84?85)2+(87?85)2]=5．????10分

甲的方差比乙的方差小，则甲的成绩稳定些． ????12分

19．（本题满分12分）某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的政治成绩（均为

整数）分成六段： ?40,50?，?50,60?，…， ?90,100?后得到如下频率分布直方图7． （Ⅰ）求分数在?70,80?内的频率；

（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高二年

级学生期中考试政治成绩的平均分；

（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）

的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样 本看成一个总体，从中任意选取2人， 求其中恰有1人的分数不低于90分的概率． 19解析：（Ⅰ）分数在?70,80?内的频率为：

图7

1?(0.010?0.015?0.015?0.025?0.005)?10?1?0.7?0.3 ???3分

（Ⅱ）平均分为：

x?45?0.1?55?0.15?65?0.15?75?0.3?85?0.25?95?0.05?71

???7分

（Ⅲ）由题意，?80,90?分数段的人数为：0.25?60?15人

?90,100?分数段的人数为：0.05?60?3人； ????9分

∵用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴?80,90?分数段抽取5人，分别记为A，B，C，D，E；?90,100?分数段抽取1人， 记为M. 因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分，则另一人的 分数一定是在?80,90?分数段，所以只需在分数段?80,90?抽取的5人中确定1人．

6

设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分为”事件A，

则基本事件空间包含的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)， (B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，(A，M)，(B，M)，(C，M)，(D，M)， (E，M)共15种．

事件A包含的基本事件有(A，M)，(B，M)，(C，M)，(D，M)，(E，M)5种． ∴恰有1人的分数不低于90分的 概率为P?A??515?13.． ????12分

20．（本题满分13分）如图8，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC?A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的

内接三角形，且AB是圆O直径． （Ⅰ）证明：平面A1ACC1?平面B1BCC1；

（Ⅱ）设AB?AA1?2，在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自于三

棱柱ABC?A1B1C1内的概率为p．

（i）当点C在圆周上运动时，求p的最大值；

图8

（ii）当p取最大值时,求直线CB1与平面C1COO1所成的角的正弦值． 20解析：（Ⅰ）因为AA1?平面ABC，BC?平面ABC，所以AA1?BC，

因为AB是圆O直径，所以BC?AC，又AC?AA1?A，

所以BC?平面A1ACC1，

而BC?B1BCC1，所以平面A1ACC1?平面B1BCC1． ????3分 （Ⅱ）（i）有AB=AA1=2，知圆柱的半径r=1，其体积V=?r2?2r?2? 三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V1=BC?AC?2r?BC?AC，

21又因为BC+AC=AB=4，所以BC?AC?222BC+AC222=2，

当且仅当BC=AC=2时等号成立，从而V1?2， 故p?V1V?1?当且仅当BC=AC=2，即OC?AB时等号成立，

1

所以p的最大值是

?． ????8分

（ii）由（i）可知，p取最大值时，OC?AB，即O1C1?O1B1 ， O1O?O1B1 则O1B1?平面C1COO1，连O1C，则?O1CB1为直线CB1与平面C1COO1所成的角，

7

????13分

CB1622+2y C221．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy中， =2则sin?O1CB1?O1B11=6y已知圆C1:(x?1)2?y2?1，圆C2:(x?3)2?(y?4)2?1． （Ⅰ）若过点C1(?1,0)的直线l被圆C2截得的弦长为

求直线l的方程；

65 ，

C1OCx （Ⅱ）设动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长，如图9所示． （i）证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；

图9

（ii）动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

21 解析：（Ⅰ）设直线l的方程为y?k(x?1)，即kx?y?k?0．

因为直线l被圆C2截得的弦长为6，而圆C2的半径为1，

5所以圆心C2(3， 4)到l：kx?y?k?0的距离为4k?4k?12?4．

5 化简，得12k2?25k?12?0，解得k?4或k?3．

34 所以直线l的方程为4x?3y?4?0或3x?4y?3?0． ????4分

（Ⅱ）（i）证明：设圆心C(x， y)，由题意，得CC1?CC2， 即(x?1)2?y2?(x?3)2?(y?4)2．

化简得x?y?3?0 即动圆圆心C在定直线x?y?3?0上运动． ????8分 （ii）圆C过定点，设C(m，3?m)，

则动圆C的半径为1?CC12?1?(m?1)2?(3?m)2．

于是动圆C的方程为(x?m)2?(y?3?m)2?1?(m?1)2?(3?m)2． 整理，得x2?y2?6y?2?2m(x?y?1)?0．

?x?1?32，?x?1?32，x?y?1?0，???22由?2得或??2? x?y?6y?2?0，? y?2?32；? y?2?32.?2?2

COy C2 y C1x

333所以定点的坐标为1?32， 2?2，1?2， 2?2． ????14分

2222???? 8

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