2018年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数z满足z（l﹣i）=﹣1﹣i，则|z+1|=（ ） A．0
B．1
C．
D．2
2．已知U=R，函数y=ln（1﹣x）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}．则下列结论正确的是（ ）
A．M∩N=N B．M∩（?UN）=? C．M∪N=U D．M?（?UN） 3．已知a，b都是实数，那么“
＞
”是“lna＞lnb”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（ ）
A．20 B．35 C．45 D．55 5．己知x0=
是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区
间是（ ） A．（
，
） B．（
，
） C．（
，π） D．（
，π）
6．已知F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右两个焦点，若在双曲线C
上存在点P使∠F1PF2=90°，且满足2∠PF1F2=∠PF2F1，那么双曲线C的离心率为（ ） A．
+1
B．2
C．
D．
7．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
8．已知tanx=，则sin（A．
B．
C．
2
+x）=（ ） D．
9．执行如图所示的程序框图，输出的z值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（ ）
A．13π B．16π C．25π D．27π 11．给出下列函数： ①f（x）=xsinx； ②f（x）=e+x； ③f（x）=ln（?a＞0，使
﹣x）；
f（x）dx=0的函数是（ ）
x
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
12．设直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论： ①abc的取值范围是（0，4）；
②a+b+c为定值； ③c﹣a有最小值无最大值． 其中正确结论的个数为（ ） A．0
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 13．（
﹣
）5的展开式的常数项为 （用数字作答）．
）⊥，
B．1
C．2
D．3
222
14．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（ +λ则λ的值为 ．
15．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵（同垛）之．问底子在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，M是BC的中点，BM=2，AM=c﹣b，△ABC面积的最大值为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=3Sn﹣2（n∈N）． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{nan}的前n项和Tn．
18．未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如如图所示（单位：μm）． （Ⅰ） 计算平均值μ与标准差σ；
（Ⅱ） 假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（μ，σ2），该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：μm）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？
*
参考数据：P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.95443=0.87，0.99744=0.99，0.04562=0.002．
19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，AC=AA1=AB⊥AA1，H为棱CC1的中点，D在棱BB1上，且A1D丄平面AB1H． （Ⅰ）求证：D为BB1的中点； （Ⅱ）求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值．
AB，∠AA1C1=60°，
20．已知椭圆： +=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），且焦距为2，直线l交椭
圆于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AE⊥AF． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）O为坐标原点，若点P满足2
=
+
，求直线AP的斜率的取值范围． ﹣alnx．
21．设常数λ＞0，a＞0，函数f（x）=
（1）当a=λ时，若f（x）最小值为0，求λ的值；
（2）对任意给定的正实数λ，a，证明：存在实数x0，当x＞x0时，f（x）＞0．
选修4-1：几何证明选讲
22．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，BA、CD的延长线交于点P，且AB=AD，BP=2BC （Ⅰ）求证：PD=2AB；
（Ⅱ）当BC=2，PC=5时．求AB的长．
选修4-4：坐标系与参数方程选讲
23．已知直线l的方程为y=x+4，圆C的参数方程为为极点，x轴正半轴为极轴．建立极坐标系． （Ⅰ）求直线l与圆C的交点的极坐标；
（Ⅱ）若P为圆C上的动点．求P到直线l的距离d的最大值．
选修4-5：不等式选讲
24．己知函数f（x）=|x﹣2|+a，g（x）=|x+4|，其中a∈R． （Ⅰ）解不等式f（x）＜g（x）+a；
（Ⅱ）任意x∈R，f（x）+g（x）＞a恒成立，求a的取值范围．
2
（θ为参数），以原点
2018年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数z满足z（l﹣i）=﹣1﹣i，则|z+1|=（ ） A．0
B．1
C．
D．2
【考点】复数求模．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数． 【分析】根据复数的运算性质计算即可． 【解答】解：∵z（l﹣i）=﹣1﹣i， ∴z（1﹣i）（1+i）=﹣（1+i）， ∴2z=﹣2i， ∴z=﹣i， ∴z+1=1﹣i， 则|z+1|=故选：C．
【点评】本题考查了复数的化简与模的计算．
2．已知U=R，函数y=ln（1﹣x）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}．则下列结论正确的是（ ）
A．M∩N=N B．M∩（?UN）=? C．M∪N=U D．M?（?UN） 【考点】集合的包含关系判断及应用． 【专题】转化思想；综合法；集合．
【分析】分别解出关于M，N的范围，然后判断即可． 【解答】解：由1﹣x＞0，解得：x＜1，
故函数y=ln（1﹣x）的定义域为M=（﹣∞，1）， 由x2﹣x＜0，解得：0＜x＜1， 故集合N={x|x2﹣x＜0}=（0，1），
，
2
∴M∩N=N， 故选：A．
【点评】本题考察了集合的包含关系，考察不等式问题，是一道基础题．
3．已知a，b都是实数，那么“
＞
”是“lna＞lnb”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．
【分析】根据充分必要条件的定义，结合对数函数的性质，从而得到答案． 【解答】解：∵lna＞lnb?a＞b＞0?而
＞
＞
，是必要条件，
，如a=1，b=0则lna＞lnb不成立，不是充分条件，
故选：B．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查了对数函数的性质，是一道基础题．
4．设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（ ）
A．20 B．35 C．45 D．55 【考点】简单线性规划． 【专题】计算题．
【分析】先画出满足约束条件 的平面区域，结合几何意义，然后求出目标函数z=2x+3y取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．
【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：
令z=2x+3y可得y=作直线l：2x+3y=0
，则为直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越大
把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，
由故选D
可得x=5，y=15，此时z=55
【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键． 5．己知x0=
是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区
间是（ ） A．（
，
） B．（
，
） C．（
，π） D．（
，π）
【考点】正弦函数的单调性；正弦函数的图象．
【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质． 【分析】由极值点可得φ=﹣递减区间，结合选项可得． 【解答】解：∵x0=∴sin（2×不妨取φ=﹣令2kπ+
是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，
+φ=2kπ+
，解得φ=2kπ﹣） ＜x＜kπ+
，
，k∈Z，
，解2kπ+
＜2x﹣
＜2kπ+
可得函数f（x）的单调
+φ）=1，∴2×
，此时f（x）=sin（2x﹣
＜2kπ+
可得kπ+
＜2x﹣
∴函数f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+）k∈Z，
，
），
结合选项可知当k=0时，函数的一个单调递减区间为（故选：B．
【点评】本题考查正弦函数的图象和单调性，数形结合是解决问题的关键，属基础题．
6．已知F1，F2分别是双曲线C：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的左右两个焦点，若在双曲线C
上存在点P使∠F1PF2=90°，且满足2∠PF1F2=∠PF2F1，那么双曲线C的离心率为（ ） A．
+1
B．2
C．
D．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由已知得∠F1PF2=90°，∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，设|PF2|=x，则|PF1|=|F1F2|=2x，由此能求出双曲线C的离心率．
【解答】解：如图，∵∠F1PF2=90°，且满足2∠PF1F2=∠PF2F1， ∴∠F1PF2=90°，∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°， 设|PF2|=x，则|PF1|=∴2a=
，|F1F2|=2x，
，
，2c=2x，
=
．
∴双曲线C的离心率e=故选：A．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．
7．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4
位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．
【分析】设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A）=P（B）=
，p（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A）P（B），能
求出甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率．
【解答】解：设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”， 由题意P（A）=
=，P（B）=
，
∴甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为： p（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A）P（B） =
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意任意事件概率加法公式的合理运用．
8．已知tanx=，则sin（A．
B．
C．
2
=．
+x）=（ ） D．
【考点】二倍角的正弦．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由条件利用半角公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值． 【解答】解：tanx=，则sin2（
+x）=
=
=+
=+故选：D．
=+=，
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角公式的应用，属于基础题．
9．执行如图所示的程序框图，输出的z值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】程序框图．
【专题】操作型；算法和程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累乘循环变量a值，并输出满足条件的累乘积关于2的对数值，模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中变量的值的变化情况进行分析，不难给出答案． 【解答】解：执行循环体前，S=1，a=0，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=1×20=20，a=1，
当S=2°，a=1，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=1×21=21，a=2 当S=2，a=2，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=2×2=2，a=3 当S=2，a=3，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=2×2=2，a=4 当S=26，a=4，满足退出循环的条件， 则z=
故输出结果为6 故选：D
【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
=6
3
3
3
6
1
1
2
3
10．某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（ ）
A．13π B．16π C．25π D．27π 【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．
【分析】几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3．则长方体的对角线为外接球的直径．
【解答】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2
．
=5．∴r=．∴长方体外接
则长方体外接球半径为r，则2r=球的表面积S=4πr2=25π． 故选C．
【点评】本题考查了长方体的三视图，长方体与外接球的关系，属于中档题．
11．给出下列函数： ①f（x）=xsinx； ②f（x）=e+x； ③f（x）=ln（?a＞0，使
﹣x）；
f（x）dx=0的函数是（ ）
x
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【考点】特称命题．
【专题】对应思想；转化法；导数的综合应用；简易逻辑．
【分析】①求出dx=0成立； ②求出
f（x）dx的积分，结合函数的图象得出存在a＞0，使f（x）
（ex+x）dx=0时a的值，得出命题不成立；
③根据f（x）是定义域上的奇函数，积分的上下限互为相反数，得出定积分值为0，满足条件．
【解答】解：对于①，f（x）=xsinx， ∵（sinx﹣xcosx）′=xsinx， ∴
xsinxdx=（sinx﹣xcosx）
=2sina﹣2acosa，
令2sina﹣2acosa=0， ∴sina=acosa， 又cosa≠0，∴tana=a；
画出函数y=tanx与y=x的部分图象，如图所示； 在（0，
）内，两函数的图象有交点，
f（x）dx=0成立，①满足条件；
x
即存在a＞0，使
对于②，f（x）=e+x，
a
﹣a
（e+x）dx=（e+x）
xx2
=e﹣e；
a﹣a
令e﹣e=0，解得a=0，不满足条件； 对于③，f（x）=ln（
﹣x）是定义域R上的奇函数，
且积分的上下限互为相反数， 所以定积分值为0，满足条件； 综上，?a＞0，使故选：B．
f（x）dx=0的函数是①③．
【点评】本题主要考查了定积分运算性质的应用问题，当被积函数为奇函数且积分区间对称时，积分值为0，是综合性题目．
12．设直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论： ①abc的取值范围是（0，4）； ②a2+b2+c2为定值； ③c﹣a有最小值无最大值． 其中正确结论的个数为（ ） A．0
B．1
C．2
D．3
2
【考点】函数的图象．
【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】作出f（x）=x（x﹣3）的函数图象，判断t的范围，根据f（x）的变化率判断c﹣a的变化情况，构造函数g（x）=x（x﹣3）2﹣t，根据根与系数的关系得出abc，a2+b2+c2，c﹣a的值进行判断．
【解答】解：令f（x）=x（x﹣3）2=x3﹣6x2+9x，f′（x）=3x2﹣12x+9，令f′（x）=0得x=1或x=3．
当x＜1或x＞3时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数， 当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=4，当x=3时，f（x）取得极小值f（3）=0． 作出函数f（x）的图象如图所示：
∵直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）有三个交点，∴0＜t＜4．
令g（x）=x（x﹣3）﹣t=x﹣6x+9x﹣t，则a，b，c是g（x）的三个实根． ∴abc=t，a+b+c=6，ab+bc+ac=9，
∴a+b+c=（a+b+c）﹣2（ab+bc+ac）=18．
由函数图象可知f（x）在（0，1）上的变化率逐渐减小，在（3，4）上的变化率逐渐增大， ∴c﹣a的值先增大后减小，故c﹣a存在最大值，不存在最小值． 故①，②正确， 故选：C．
2
2
2
22
3
2
22
【点评】本题考查了导数与函数的单调性，函数的图象，三次方程根与系数的关系，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 13．（
﹣
）的展开式的常数项为 ﹣10 （用数字作答）．
5
【考点】二项式系数的性质． 【专题】计算题；二项式定理． 【分析】在（
﹣
）5展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求出r的值，即可
求出展开式的常数项． 【解答】解：由于（
﹣
）5展开式的通项公式为Tr+1=
?（﹣1）r?
，
令15﹣5r=0，解得r=3，故展开式的常数项是﹣10， 故答案为：﹣10．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
14．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（ +λ则λ的值为 ﹣
．
）⊥，
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用． 【分析】求出+λ
和的坐标，根据向量垂直列出方程解出λ．
【解答】解： +λ+8λ=0，解得λ=﹣故答案为﹣
．
=（1+λ，2λ），∵（+λ．
）⊥，∴（ +λ）?=0，即3（1+λ）
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，向量垂直与数量积的关系，是基础题．
15．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵（同垛）之．问底子在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，M是BC的中点，BM=2，AM=c﹣b，△ABC面积的最大值为 2【考点】余弦定理．
【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形．
【分析】在△ABM和△ABC中分别使用余弦定理得出bc的关系，求出cosA，sinA，代入面积公式求出最大值．
【解答】解：在△ABM中，由余弦定理得： cosB=
=
．
．
在△ABC中，由余弦定理得： cosB=
=
．
∴
即b+c=4bc﹣8． ∵cosA=
=
2
2
=．
，∴sinA==．
∴S=sinA=bc
．
=．
∴当bc=8时，S取得最大值2故答案为2
．
【点评】本题考查了余弦定理得应用，根据余弦定理得出bc的关系是解题关键．
三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=3Sn﹣2（n∈N*）． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{nan}的前n项和Tn． 【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】（1）通过an=3Sn﹣2与an﹣1=3Sn﹣1﹣2（n≥2）作差、整理可知an=﹣an﹣1（n≥2），进而可知数列{an}是首项为1、公比为﹣的等比数列，计算即得结论； （2）通过（1）可知nan=（﹣1）n﹣1?【解答】解：（1）∵an=3Sn﹣2， ∴an﹣1=3Sn﹣1﹣2（n≥2）， 两式相减得：an﹣an﹣1=3an， 整理得：an=﹣an﹣1（n≥2）， 又∵a1=3S1﹣2，即a1=1，
∴数列{an}是首项为1、公比为﹣的等比数列， ∴其通项公式an=（﹣1）n﹣1?（2）由（1）可知nan=（﹣1）n﹣1?∴Tn=1?1+（﹣1）?2?+…+（﹣1）∴﹣Tn=1?（﹣1）?+2?错位相减得： Tn=1+[﹣+
n﹣2
，进而利用错位相减法计算即得结论．
；
， ?（n﹣1）?
+（﹣1）
n﹣1
?， ，
+…+（﹣1）n﹣1?（n﹣1）?﹣
+…+（﹣1）
n﹣1
+（﹣1）n?n?]﹣（﹣1）?n?
n
?
=1+﹣（﹣1）n?n?
=+（﹣1）n﹣1??，
?
]=+（﹣1）n﹣1?
?
．
∴Tn= [+（﹣1）n﹣1?
【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
18．未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如如图所示（单位：μm）． （Ⅰ） 计算平均值μ与标准差σ；
（Ⅱ） 假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（μ，σ），该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：μm）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？
参考数据：P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.9544=0.87，0.9974=0.99，0.0456=0.002．
3
4
2
2
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；茎叶图． 【专题】转化思想；综合法；概率与统计．
【分析】（I）利用平均值与标准差的计算公式即可得出μ，σ；
（II）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（105，62），分别计算出满足满足2σ的概率及其3σ的概率，即可得出． 【解答】解：（I）平均值μ=100+标准差σ=
=105． =6．
（II）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（105，62）， ∴P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=P（93＜Z＜117）=0.9544，可知：落在区间（93，117）的数据有3个：95、103、109，因此满足2σ的概率为： 0.95443×0.04562≈0.0017．
P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=P（87＜Z＜123）=0.9974，可知：落在区间（87，123）的数据有4个：95、103、109、118，因此满足3σ的概率为： 0.99744×0.0026≈0.0026．
由以上可知：此打印设备不需要进一步调试．
【点评】本题考查了茎叶图、平均值与标准差、正态分布，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，AC=AA1=AB⊥AA1，H为棱CC1的中点，D在棱BB1上，且A1D丄平面AB1H． （Ⅰ）求证：D为BB1的中点； （Ⅱ）求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值．
AB，∠AA1C1=60°，
【考点】二面角的平面角及求法．
【专题】方程思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（Ⅰ）建立坐标系，求出向量坐标，利用线面垂直的性质建立方程关系即可证明D为BB1的中点；
（Ⅱ）求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：连接AC1， ∵AC=AA1，∠AA1C1=60°， ∴三角形ACC1是正三角形， ∵H是CC1的中点， ∴AH⊥CC1，从而AH⊥AA1，
∵侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，面AA1C1C∩侧面ABB1A1=AA1，AH?平面AA1C1C， ∴AH⊥ABB1A1，
以A为原点，建立空间直角坐标系如图， 设AB=
，则AA1=2，
，2，0），D（
，t，0），
则A（0，2，0），B1（
则=（，2，0），=（，t﹣2，0），
∵A1D丄平面AB1H．AB1?丄平面AB1H． ∴A1D丄AB1， 则即D（
?
=（
，2，0）?（
，t﹣2，0）=2+2（t﹣2）=2t﹣2=0，得t=1，
，1，0），
∴D为BB1的中点； （2）C1（0，1，
），
=（
，﹣1，0），
=（0，﹣1，
），
设平面C1A1D的法向量为=（x，y，z）， 则由?
=
x﹣y=0），?，z=
=﹣y+
，z=0，得）， ）， ，
，
令x=3，则y=3， =（3，3
=（0，0，
=
显然平面A1DA的法向量为=则cos＜，＞=
=
即二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值是．
【点评】本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解二面角的常用方法．综合性较强，运算量较大．
20．已知椭圆：
+
=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），且焦距为2，直线l交椭
圆于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AE⊥AF． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）O为坐标原点，若点P满足2【考点】椭圆的简单性质．
=+，求直线AP的斜率的取值范围．
【专题】方程思想；分析法；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2，c=1，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程，运用韦达定理，可得E的坐标，由两直线垂直可得F的坐标，再由直线的斜率公式，结合基本不等式即可得到斜率的最值，进而得到所求范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得a=2，2c=2，即c=1， b=
=
，
则椭圆的标准方程为+=1；
（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），
代入椭圆方程，可得（3+4k）x﹣16kx+16k﹣12=0， 由2+xE=
，可得xE=
，
2
2
2
2
yE=k（xE﹣2）=，
由于AE⊥AF，只要将上式的k换为﹣，
可得xF=由2
=
+
，yF=，
，可得P为EF的中点，
，
），
即有P（
则直线AP的斜率为t=当k=0时，t=0；
=，
当k≠0时，t=，
再令s=﹣k，可得t=，
当s=0时，t=0；当s＞0时，t=≤=，
当且仅当4s=时，取得最大值；
当s＜0时，t=≥﹣，
综上可得直线AP的斜率的取值范围是[﹣，]．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查直线的斜率的取值范围的求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题．
21．设常数λ＞0，a＞0，函数f（x）=
﹣alnx．
（1）当a=λ时，若f（x）最小值为0，求λ的值；
（2）对任意给定的正实数λ，a，证明：存在实数x0，当x＞x0时，f（x）＞0． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】综合题；分类讨论；转化思想；分类法；导数的概念及应用． 【分析】（1）当a=λ时，函数f（x）=
﹣
（x＞0）．f′（x）
=
性，即可得出最小值． （2）函数f（x）=x﹣研究其单调性即可得出．
，分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，研究其单调
﹣alnx＞x﹣λ﹣alnx．令u（x）=x﹣λ﹣alnx．利用导数
【解答】（1）解：当a=λ时，函数f（x）=﹣alnx=﹣（x＞0）．
f′（x）=﹣=，
∵λ＞0，x＞0，∴4x2+9λx+3λ2＞0，4x（λ+x）2＞0． ∴当x＞λ时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增； 当0＜x＜λ时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
∴当x=λ时，函数f（x）取得极小值，即最小值， ∴f（（λ）=
=0，解得λ=
．
（2）证明：函数f（x）=﹣alnx．
令u（x）=x﹣λ﹣alnx． u′（x）=1﹣=u（x）→+∞．
﹣alnx=﹣alnx=x﹣﹣alnx＞x﹣λ
，可知：当x＞a时，u′（x）＞0，函数u（x）单调递增，x→+∞，
一定存在x0＞0，使得当x＞x0时，u（x0）＞0，
∴存在实数x0，当x＞x0时，f（x）＞u（x）＞u（x0）＞0．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
选修4-1：几何证明选讲
22．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，BA、CD的延长线交于点P，且AB=AD，BP=2BC （Ⅰ）求证：PD=2AB；
（Ⅱ）当BC=2，PC=5时．求AB的长．
【考点】与圆有关的比例线段．
【专题】选作题；方程思想；综合法；推理和证明．
【分析】（Ⅰ）证明：△APD∽△CPB，利用AB=AD，BP=2BC，证明PD=2AB； （Ⅱ）利用割线定理求AB的长．
【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠PAD=∠PCB， ∴∠APD=∠CPB， ∴△APD∽△CPB，
∴=，
∵BP=2BC ∴PD=2AD， ∴AB=AD， ∴PD=2AB；
（Ⅱ）解：由题意，BP=2BC=4，设AB=t，由割线定理得PD?PC=PA?PB， ∴2t×5=（4﹣t）×4 ∴t=，即AB=．
【点评】本题考查三角形相似的判断，考查割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
选修4-4：坐标系与参数方程选讲
23．已知直线l的方程为y=x+4，圆C的参数方程为为极点，x轴正半轴为极轴．建立极坐标系． （Ⅰ）求直线l与圆C的交点的极坐标；
（Ⅱ）若P为圆C上的动点．求P到直线l的距离d的最大值． 【考点】参数方程化成普通方程．
【专题】选作题；转化思想；消元法；坐标系和参数方程． 【分析】（I）由圆C的参数方程为
（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化
（θ为参数），以原点
为普通方程，与直线方程联立解得交点坐标，利用可得极坐标．
（II）圆心（0，2）到直线l的距离为d1，可得P到直线l的距离d的最大值为d1+r． 【解答】解：（I）由圆C的参数方程为
（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1
化为：x2+（y﹣2）2=4，联立，解得或．
可得极坐标分别为：，．
（II）圆心（0，2）到直线l的距离∴P到直线l的距离d的最大值为
+r=
=+2．
，
【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
选修4-5：不等式选讲
24．己知函数f（x）=|x﹣2|+a，g（x）=|x+4|，其中a∈R． （Ⅰ）解不等式f（x）＜g（x）+a；
（Ⅱ）任意x∈R，f（x）+g（x）＞a恒成立，求a的取值范围． 【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式． 【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（Ⅰ）问题转化为解不等式|x﹣2|＜|x+4|，两边平方，解出即可；
（Ⅱ）f（x）+g（x）＞a可化为a﹣a＜|x﹣2|+|x+4|，根据绝对值的性质，求出|x﹣2|+|x+4|的最小值，从而求出a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜g（x）+a即|x﹣2|＜|x+4|， 两边平方得：x﹣4x+4＜x+8x+16，解得：x＞﹣1， ∴原不等式的解集是（﹣1，+∞）；
（Ⅱ）f（x）+g（x）＞a可化为a﹣a＜|x﹣2|+|x+4|， 又|x﹣2|+|x+4|≥|（x﹣2）﹣（x+4）|=6， ∴a﹣a＜6，解得：﹣2＜a＜3， ∴a的范围是（﹣2，3）．
【点评】本题考察了解绝对值不等式问题，考察转化思想，是一道基础题．
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