回归教材集合与常用逻辑用语

1．集合与常用逻辑用语

1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．

[问题1] 已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则实数a＝________. 答案 0

2．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝f(x)}——函数的定义域；{y|y＝f(x)}——函数的值域；{(x，y)|y＝f(x)}——函数图象上的点集． [问题2] 已知集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}，则M∩N等于( ) A．(0,1)，(1,2) B．{(0,1)，(1,2)} C．{y|y＝1，或y＝2} D．{y|y≥1} 答案 D

3．在解决集合间的关系和集合的运算时，不能忽略空集的情况．

[问题3] 已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1

4．注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．

[问题4] 已知全集I＝R，集合A＝{x|y＝1－x}，集合B＝{x|0≤x≤2}，则(?IA)∪B等于( ) A．[1，＋∞) C．[0，＋∞) 答案 C

5．命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，而此命题的否定(非命题)是“若p，

B．(1，＋∞) D．(0，＋∞)

则綈q”．

[问题5] 已知实数a，b，若|a|＋|b|＝0，则a＝b.该命题的否命题和命题的否定分别是________________________________________________________________________． 答案 否命题：已知实数a，b，若|a|＋|b|≠0，则a≠b； 命题的否定：已知实数a，b，若|a|＋|b|＝0，则a≠b

6．根据集合间的关系，判定充要条件，若A?B，则x∈A是x∈B的充分条件；若A?B，则x∈A是x∈B的充分不必要条件．

3

[问题6] 已知p：x≥k，q：<1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是

x＋1( )

A．[2，＋∞) C．[1，＋∞) 答案 B

7．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；对命题进行否定时要正确对判断词进行否定，如“>”的否定是“≤”，“都”的否定是“不都”． [问题7] (2015·浙江)命题“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( ) A．?n∈N*，f(n)?N*且f(n)＞n B．?n∈N*，f(n)?N*或f(n)＞n C．?n0∈N*，f(n0)?N*且f(n0)＞n0 D．?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)＞n0 答案 D

8．求参数范围时，要根据条件进行等价转化，注意范围的临界值能否取到，也可与补集思想联合使用．

12[问题8] 已知命题p：?x0∈R，ax0＋x0＋≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是

2________． 1

答案 (，＋∞)

2

1

解析 因为命题p是假命题，所以綈p为真命题，即?x∈R，ax2＋x＋>0恒成立．当a＝0

2

??a>0，1

时，x>－，不满足题意；当a≠0时，要使不等式恒成立，则有?

2?Δ<0，?

B．(2，＋∞) D．(－∞，－1]

a>0，a>0，????1

即?解得?1所以a>， 12???1－4×2×a<0，?a>2，

1

即实数a的取值范围是(，＋∞)．

2

易错点1 忽视空集

例1 已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，集合B＝{x|p＋1≤x≤2p－1}．若B?A，求实数p的取值范围．

易错分析 忽略了“空集是任何集合的子集”这一结论，即B＝?时，符合题设． 解决有关A∩B＝?，A∪B＝?，A?B等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解． 解 集合A＝{x|－2≤x≤5}， ①当B≠?时，即p＋1≤2p－1?p≥2. 由B?A得－2≤p＋1且2p－1≤5. 由－3≤p≤3，∴2≤p≤3.

②当B＝?时，即p＋1>2p－1?p<2. 由①②得p≤3.

易错点2 忽视区间端点的取舍

例2 记f(x)＝2－

x＋3

的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a＜1)的定义域为B.若Bx＋1

?A，求实数a的取值范围．

易错分析 在求解含参数的集合间的包含关系时，忽视对区间端点的检验，导致参数范围扩大或缩小．

x＋3x－1

解 ∵2－≥0，∴≥0.

x＋1x＋1

∴x＜－1或x≥1，即A＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)． 由(x－a－1)(2a－x)＞0，得(x－a－1)(x－2a)＜0. ∵a＜1，∴a＋1＞2a，∴B＝(2a，a＋1)． ∵B?A，∴2a≥1或a＋1≤－1，

11

即a≥或a≤－2，而a＜1，∴≤a＜1或a≤－2.

22故当B?A时，实数a的取值范围是 1

(－∞，－2]∪[，1)．

2

易错点3 混淆充分条件和必要条件

例3 已知a，b∈R，下列四个条件中，使a>b成立的必要而不充分的条件是( ) A．a>b－1 C．|a|>|b|

B．a>b＋1 D．2a>2b

易错分析 在本题中，选项是条件，而“a>b”是结论．在本题的求解中，常误认为由选项推出“a>b”，而由“a>b”推不出选项是必要不充分条件．

解析 由a>b可得a>b－1，但由a>b－1不能得出a>b，∴a>b－1是a>b成立的必要而不充分条件；由a>b＋1可得a>b，但由a>b不能得出a>b＋1，∴a>b＋1是a>b成立的充分而不必要条件；易知a>b是|a|>|b|的既不充分也不必要条件；a>b是2a>2b成立的充分必要条件． 答案 A

易错点4 对命题否定不当

ax＋10

例4 已知M是不等式≤0的解集且5?M，则a的取值范围是________________．

ax－255a＋10

易错分析 题中5?M并不能转化为>0，题意中还有分式无意义的情形，本题可从集合

5a－25的角度用补集思想来解．

解析 方法一 ∵5?M，原不等式不成立， ∴

5a＋10

>0或5a－25＝0， 5a－25

∴a<－2或a>5或a＝5，故a≥5或a<－2. 5a＋10

方法二 若5∈M，则≤0，

5a－25∴(a＋2)(a－5)≤0且a≠5，∴－2≤a<5， ∴5?M时，a<－2或a≥5. 答案 (－∞，－2)∪[5，＋∞)

1．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于( ) A．0或3 C．1或3 答案 B

解析 ∵A∪B＝A，∴B?A，∴m∈A，显然m≠1. 当m＝3时，符合题意．

由m＝m可得m＝0或m＝1，又m≠1，∴m＝0， 综上，m＝0或3.

x

2．设全集U＝R，A＝{x|＜0}，B＝{x|2x＜2}，则图中阴影部分表示的集合为( )

x－2

B．0或3 D．1或3

A．{x|x≥1} C．{x|0＜x≤1} 答案 B

解析 A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，由题图可知阴影部分表示的集合为(?UB)∩A＝{x|1≤x＜2}．

3．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则M∪N等于( ) A．[0,1] C．[0,1) 答案 A

解析 由题意得M＝{0,1}，N＝(0,1]， 故M∪N＝[0,1]，故选A.

x－4

4．已知集合A＝{x∈R|≤0}，B＝{x∈R|(x－2a)(x－a2－1)＜0}，若A∩B＝?，则实数a

x＋1的取值范围是( ) A．(2，＋∞) C．{1}∪[2，＋∞) 答案 C

x－4

解析 由≤0，得A＝{x∈R|－1＜x≤4}，B＝{x∈R|(x－2a)(x－a2－1)＜0}＝{x∈R|2a＜x

x＋1＜a2＋1}．若B≠?，则在数轴上可以看出2a≥4，所以a≥2；若B＝?，只能a＝1，综上选C.

5．已知命题p：log1|2x－3|>0，命题q：x2－3x<0，则p是q的( )

2B．{x|1≤x＜2} D．{x|x≤1}

B．(0,1] D．(－∞，1]

B．[2，＋∞) D．(1，＋∞)

A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

33

解析 不等式log1|2x－3|>0?0<|2x－3|<1?－1<2x－3<0或0<2x－3<1?1

22

233

不等式log1|2x－3|>0的解集为A＝(1，)∪(，2)．

22

2而不等式x2－3x<0的解集为B＝(0,3)， 因此，A?B.

从而可知p是q的充分不必要条件，故选A.

6．已知p：关于x的函数y＝x2－3ax＋4在[1，＋∞)上是增函数，q：y＝(2a－1)x为减函数，若p且q为真命题，则a的取值范围是( ) 2

A．a≤

312C.

21

－∞，?，q?a∈?，1?， 解析 p?a∈?3???2?12?

∴a∈??2，3?.

7．已知集合A＝{x|x2－2x－8≤0}，B＝{x|x2－(2m－3)x＋m(m－3)≤0，m∈R}，若A∩B＝[2,4]，则实数m＝________. 答案 5

解析 由题意知A＝[－2,4]，B＝[m－3，m]，

??m－3＝2，因为A∩B＝[2,4]，故?则m＝5.

?m≥4，?

1

B．0

D.

8．已知条件p：x2＋2x－3>0，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围为__________． 答案 [1，＋∞)

解析 由x2＋2x－3>0可得x>1或x<－3，

“綈p是綈q的充分不必要条件”等价于“q是p的充分不必要条件”，故a≥1.

9．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是________． 答案 10

解析 因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．因为x∈A∩B，所以x可取0,1；因为y∈A∪B，所以y可取－1,0,1,2,3.则(x，y)的可能取值如下表所示：

y x 0 1 －1 (0，－1) (1，－1) 0 (0,0) (1,0) 1 (0,1) (1,1) 2 (0,2) (1,2) 3 (0,3) (1,3)

故A*B中的元素共有10个． 10．给出下列命题：

①命题：“存在x0>0，使sin x0≤x0”的否定是：“对任意x>0，sin x>x”； ②函数f(x)＝sin x＋

2

(x∈(0，π))的最小值是22； sin x

③在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则△ABC是等腰或直角三角形； ④若直线m∥直线n，直线m∥平面α，那么直线n∥平面α. 其中正确的命题是________． 答案 ①③

解析 易知①正确；②中函数f(x)＝sin x＋

22

(x∈(0，π))，令t＝sin x，则g(t)＝t＋，t∈(0,1]sin xt

为减函数，所以g(t)min＝g(1)＝3，故②错误；③中由sin 2A＝sin 2B，可知2A＝2B或2A＋2Bπ

＝π，即A＝B或A＋B＝，故③正确；④中直线n也可能在平面α内，故④错误．

2

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