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回归教材集合与常用逻辑用语

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1.集合与常用逻辑用语

1.集合的元素具有确定性、无序性和互异性,在解决有关集合的问题时,尤其要注意元素的互异性.

[问题1] 已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,则实数a=________. 答案 0

2.描述法表示集合时,一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如:{x|y=f(x)}——函数的定义域;{y|y=f(x)}——函数的值域;{(x,y)|y=f(x)}——函数图象上的点集. [问题2] 已知集合M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},则M∩N等于( ) A.(0,1),(1,2) B.{(0,1),(1,2)} C.{y|y=1,或y=2} D.{y|y≥1} 答案 D

3.在解决集合间的关系和集合的运算时,不能忽略空集的情况.

[问题3] 已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1

4.注重数形结合在集合问题中的应用,列举法常借助Venn图解题,描述法常借助数轴来运算,求解时要特别注意端点值.

[问题4] 已知全集I=R,集合A={x|y=1-x},集合B={x|0≤x≤2},则(?IA)∪B等于( ) A.[1,+∞) C.[0,+∞) 答案 C

5.命题“若p,则q”的否命题是“若綈p,则綈q”,而此命题的否定(非命题)是“若p,

B.(1,+∞) D.(0,+∞)

则綈q”.

[问题5] 已知实数a,b,若|a|+|b|=0,则a=b.该命题的否命题和命题的否定分别是________________________________________________________________________. 答案 否命题:已知实数a,b,若|a|+|b|≠0,则a≠b; 命题的否定:已知实数a,b,若|a|+|b|=0,则a≠b

6.根据集合间的关系,判定充要条件,若A?B,则x∈A是x∈B的充分条件;若A?B,则x∈A是x∈B的充分不必要条件.

3

[问题6] 已知p:x≥k,q:<1,如果p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是

x+1( )

A.[2,+∞) C.[1,+∞) 答案 B

7.全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题;对命题进行否定时要正确对判断词进行否定,如“>”的否定是“≤”,“都”的否定是“不都”. [问题7] (2015·浙江)命题“?n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( ) A.?n∈N*,f(n)?N*且f(n)>n B.?n∈N*,f(n)?N*或f(n)>n C.?n0∈N*,f(n0)?N*且f(n0)>n0 D.?n0∈N*,f(n0)?N*或f(n0)>n0 答案 D

8.求参数范围时,要根据条件进行等价转化,注意范围的临界值能否取到,也可与补集思想联合使用.

12[问题8] 已知命题p:?x0∈R,ax0+x0+≤0.若命题p是假命题,则实数a的取值范围是

2________. 1

答案 (,+∞)

2

1

解析 因为命题p是假命题,所以綈p为真命题,即?x∈R,ax2+x+>0恒成立.当a=0

2

??a>0,1

时,x>-,不满足题意;当a≠0时,要使不等式恒成立,则有?

2?Δ<0,?

B.(2,+∞) D.(-∞,-1]

a>0,a>0,????1

即?解得?1所以a>, 12???1-4×2×a<0,?a>2,

1

即实数a的取值范围是(,+∞).

2

易错点1 忽视空集

例1 已知集合A={x|x2-3x-10≤0},集合B={x|p+1≤x≤2p-1}.若B?A,求实数p的取值范围.

易错分析 忽略了“空集是任何集合的子集”这一结论,即B=?时,符合题设. 解决有关A∩B=?,A∪B=?,A?B等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解. 解 集合A={x|-2≤x≤5}, ①当B≠?时,即p+1≤2p-1?p≥2. 由B?A得-2≤p+1且2p-1≤5. 由-3≤p≤3,∴2≤p≤3.

②当B=?时,即p+1>2p-1?p<2. 由①②得p≤3.

易错点2 忽视区间端点的取舍

例2 记f(x)=2-

x+3

的定义域为A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1)的定义域为B.若Bx+1

?A,求实数a的取值范围.

易错分析 在求解含参数的集合间的包含关系时,忽视对区间端点的检验,导致参数范围扩大或缩小.

x+3x-1

解 ∵2-≥0,∴≥0.

x+1x+1

∴x<-1或x≥1,即A=(-∞,-1)∪[1,+∞). 由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0. ∵a<1,∴a+1>2a,∴B=(2a,a+1). ∵B?A,∴2a≥1或a+1≤-1,

11

即a≥或a≤-2,而a<1,∴≤a<1或a≤-2.

22故当B?A时,实数a的取值范围是 1

(-∞,-2]∪[,1).

2

易错点3 混淆充分条件和必要条件

例3 已知a,b∈R,下列四个条件中,使a>b成立的必要而不充分的条件是( ) A.a>b-1 C.|a|>|b|

B.a>b+1 D.2a>2b

易错分析 在本题中,选项是条件,而“a>b”是结论.在本题的求解中,常误认为由选项推出“a>b”,而由“a>b”推不出选项是必要不充分条件.

解析 由a>b可得a>b-1,但由a>b-1不能得出a>b,∴a>b-1是a>b成立的必要而不充分条件;由a>b+1可得a>b,但由a>b不能得出a>b+1,∴a>b+1是a>b成立的充分而不必要条件;易知a>b是|a|>|b|的既不充分也不必要条件;a>b是2a>2b成立的充分必要条件. 答案 A

易错点4 对命题否定不当

ax+10

例4 已知M是不等式≤0的解集且5?M,则a的取值范围是________________.

ax-255a+10

易错分析 题中5?M并不能转化为>0,题意中还有分式无意义的情形,本题可从集合

5a-25的角度用补集思想来解.

解析 方法一 ∵5?M,原不等式不成立, ∴

5a+10

>0或5a-25=0, 5a-25

∴a<-2或a>5或a=5,故a≥5或a<-2. 5a+10

方法二 若5∈M,则≤0,

5a-25∴(a+2)(a-5)≤0且a≠5,∴-2≤a<5, ∴5?M时,a<-2或a≥5. 答案 (-∞,-2)∪[5,+∞)

1.已知集合A={1,3,m},B={1,m},A∪B=A,则m等于( ) A.0或3 C.1或3 答案 B

解析 ∵A∪B=A,∴B?A,∴m∈A,显然m≠1. 当m=3时,符合题意.

由m=m可得m=0或m=1,又m≠1,∴m=0, 综上,m=0或3.

x

2.设全集U=R,A={x|<0},B={x|2x<2},则图中阴影部分表示的集合为( )

x-2

B.0或3 D.1或3

A.{x|x≥1} C.{x|0<x≤1} 答案 B

解析 A={x|0<x<2},B={x|x<1},由题图可知阴影部分表示的集合为(?UB)∩A={x|1≤x<2}.

3.设集合M={x|x2=x},N={x|lgx≤0},则M∪N等于( ) A.[0,1] C.[0,1) 答案 A

解析 由题意得M={0,1},N=(0,1], 故M∪N=[0,1],故选A.

x-4

4.已知集合A={x∈R|≤0},B={x∈R|(x-2a)(x-a2-1)<0},若A∩B=?,则实数a

x+1的取值范围是( ) A.(2,+∞) C.{1}∪[2,+∞) 答案 C

x-4

解析 由≤0,得A={x∈R|-1<x≤4},B={x∈R|(x-2a)(x-a2-1)<0}={x∈R|2a<x

x+1<a2+1}.若B≠?,则在数轴上可以看出2a≥4,所以a≥2;若B=?,只能a=1,综上选C.

5.已知命题p:log1|2x-3|>0,命题q:x2-3x<0,则p是q的( )

2B.{x|1≤x<2} D.{x|x≤1}

B.(0,1] D.(-∞,1]

B.[2,+∞) D.(1,+∞)

A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 A

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

33

解析 不等式log1|2x-3|>0?0<|2x-3|<1?-1<2x-3<0或0<2x-3<1?1

22

233

不等式log1|2x-3|>0的解集为A=(1,)∪(,2).

22

2而不等式x2-3x<0的解集为B=(0,3), 因此,A?B.

从而可知p是q的充分不必要条件,故选A.

6.已知p:关于x的函数y=x2-3ax+4在[1,+∞)上是增函数,q:y=(2a-1)x为减函数,若p且q为真命题,则a的取值范围是( ) 2

A.a≤

312C.

21

-∞,?,q?a∈?,1?, 解析 p?a∈?3???2?12?

∴a∈??2,3?.

7.已知集合A={x|x2-2x-8≤0},B={x|x2-(2m-3)x+m(m-3)≤0,m∈R},若A∩B=[2,4],则实数m=________. 答案 5

解析 由题意知A=[-2,4],B=[m-3,m],

??m-3=2,因为A∩B=[2,4],故?则m=5.

?m≥4,?

1

B.0

D.

8.已知条件p:x2+2x-3>0,条件q:x>a,且綈p是綈q的充分不必要条件,则a的取值范围为__________. 答案 [1,+∞)

解析 由x2+2x-3>0可得x>1或x<-3,

“綈p是綈q的充分不必要条件”等价于“q是p的充分不必要条件”,故a≥1.

9.设集合A={-1,0,1},集合B={0,1,2,3},定义A*B={(x,y)|x∈A∩B,y∈A∪B},则A*B中元素的个数是________. 答案 10

解析 因为A={-1,0,1},B={0,1,2,3},所以A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1,2,3}.因为x∈A∩B,所以x可取0,1;因为y∈A∪B,所以y可取-1,0,1,2,3.则(x,y)的可能取值如下表所示:

y x 0 1 -1 (0,-1) (1,-1) 0 (0,0) (1,0) 1 (0,1) (1,1) 2 (0,2) (1,2) 3 (0,3) (1,3)

故A*B中的元素共有10个. 10.给出下列命题:

①命题:“存在x0>0,使sin x0≤x0”的否定是:“对任意x>0,sin x>x”; ②函数f(x)=sin x+

2

(x∈(0,π))的最小值是22; sin x

③在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则△ABC是等腰或直角三角形; ④若直线m∥直线n,直线m∥平面α,那么直线n∥平面α. 其中正确的命题是________. 答案 ①③

解析 易知①正确;②中函数f(x)=sin x+

22

(x∈(0,π)),令t=sin x,则g(t)=t+,t∈(0,1]sin xt

为减函数,所以g(t)min=g(1)=3,故②错误;③中由sin 2A=sin 2B,可知2A=2B或2A+2Bπ

=π,即A=B或A+B=,故③正确;④中直线n也可能在平面α内,故④错误.

2

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