八年级数学上册 2.3立方根培优教案系列 北北师大版【教案】

●课 题：§2.3 立方根

●教学目标 (一)教学知识点

1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.

2.能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算. 3.了解立方根的性质.

4.区分立方根与平方根的不同. (二)能力训练要求

1.在学了平方根的基础上，要求学生能用类比的方法学习立方根的有关知识，领会类比思想.

2.发展学生的求同求异思维，使他们能在复杂环境中明辨是非. (三)情感与价值观要求 当今社会是科学飞速发展、信息千变万化的时代，每一个人都不可能把一生中要接触的知识全部学会，因此让他们会学知识比学会知识更重要，这就要从小培养良好的学习习惯，能自己解决的问题就自己解决，其中类比的学习方法就是一种重要的学习方法，本节课重点训练学生的类比思想的养成.

●教学重点 立方根的概念. ●教学难点

1.正确理解立方根的概念. 2.会求一个数的立方根.

3.区分立方根与平方根的不同之处. ●教学方法 类比学习法. ●教具准备 投影片两张：

第一张：平方根与立方根的联系与区别(记作§2.3 A)； 第二张：补充练习(记作§2.3 B). ●教学过程 Ⅰ.新课导入

上节课我们学习了平方根的定义，若x=a，则x叫a的平方根，即x=±a.

2

若正方体的棱长为a，体积为8，根据正方体体积的公式得a=8，那a叫8的什么呢？

3

本节课请大家根据上节课的内容自己来类推出结论，若x=a，则x叫a的什么呢？

Ⅱ.新课讲解

1.［师］请大家先回忆平方根的定义.

2

［生］若一个数x的平方等于a，即x=a，则x叫a的平方根.

3

［师］在平方根定义的基础上，若x=a，则x叫a的什么呢？请大家自己猜想然后讨论得出结果.

2

［生］因为x=a，x叫a的平方根，所以当x的立方等于a时，x叫a的立方根.

4

［师］当x=a时，x叫a的什么根呢？

［生］当x的4次方等于a时，x叫a的4次方根.

［师］大家应为这位同学的精彩回答而鼓掌.下面大家能不能再根据平方根的写法来类

用心 爱心 专心

1

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推立方根的记法呢？

［生］能.若x的平方等于a，则x叫a的平方根，记作x=±2a，读作x等于正、负二次根号a，简称为x等于正，负根号a.若x的立方等于a，则x叫a的立方根，记作x=±3a，读作x等于正、负三次根号a，简称x等于正、负根号a.

［师］请大家对这位同学的回答展开讨论，小组总结后选代表发言.

［生甲］我认为这位同学回答得不对.如果x=a，则x=±a，x=a时，x=±a也成

2

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立的话，那如何区分平方根与立方根呢？

3

［生乙］因为乘方与开方是互为逆运算，求立方根可通过逆运算立方来求，如x=8，因3

为2=8，所以x=2，只有一个根而不是±2，所以立方根的个数不正确.

［师］大家的分析非常有道理，请认真看书第13、14页可知，若一个数x的立方等于3

a，即x=a，那么这个数x就叫做a的立方根(cube root；也叫三次方根)如2是8的立方根，记为x=3a，读作x等于三次根号a.

开立方的定义

［师］大家先回忆开平方的定义，再类推开立方的定义.

［生］求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，则求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数.

(2)立方根的性质

［师］2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是8？

3

［生］2的立方等于8，(－2)=－8，所以没有其他的数的立方等于8. ［师］－3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是－27？

3

［生］－3的立方等于－27，3=27，所以没有其他的数的立方等于－27. ［师］0的立方等于多少？0有几个立方根？ ［生］0的立方等于0，0有1个立方根是0.

［师］从刚才的讨论中，大家总结一下正数有几个立方根？0有几个立方根？负数有几个立方根？

［生］正数有一个立方根，0有一个立方根是0，负数有一个立方根.

［师］对.正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0的立方根有一个，是0. (3)平方根与立方根的区别与联系.

［师］我们已经学习了平方根与立方根的定义，并会求某些数的平方根和立方根，下面请大家说说它们的联系与区别.

2

［生］从定义来看，若一个数x的平方等于a，即x=a，则x叫a的平方根；若一个数x的立方等于a，即x3=a，则x叫a的立方根，都是一个数x的乘方等于a，但一个是平方，另一个是立方.

［生］一个正数的平方根有两个，一个负数没有平方根，零的平方根有一个是零；一个正数的立方根有一个，并且是正数，一个负数有一个负的立方根，零的立方根有一个是零.

［生］它们的表示方法和读法不同，一个正数a的平方根表示为±a，立方根表示为

3a.

［师］很好.大家现在已经具备了一定的分析判断能力，这对大家以后的学习和工作非

用心 爱心 专心

2

常有帮助，继续发扬下去，你们都将前途无量，下面我再系统地总结一下.

投影片：(§2.3 A) 平方根与立方根的联系与区别. 联系： (1)0的平方根、立方根都有一个是0. (2)平方根、立方根都是开方的结果. 区别： (1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根.” (2)个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有平方根，一个负数有一个立方根. (3)表示法不同 正数a的平方根表示为±a，a的立方根表示为3a. (4)被开方数的取值范围不同 ±a中的被开方数a是非负数；3a中的被开方数可以是任何数. 2.例题讲解

［例1］求下列各数的立方根： (1)－27；(2)

8；(3)0.216；(4)－5. 1253

解：(1)因为(－3)=－27，所以－27的立方根是－3，即3?27=－3；

(2)因为(

2388282)=，所以的立方根是，即3=； 5125125512553

(3)因为0.6=0.216，所以0.216的立方根是0.6，即30.216=0.6； (4)－5的立方根是3?5. ［师］请大家思考下列问题.

3a表示a的立方根，则(3a)3等于什么？3a3等于什么？

大家可以先举例后找规律.

［生］∵2=8，∴38=2，(38)=8；

3

3

∵(－2)=－8，

∴3?8=－2；(3?8)=－8；

3

3

∵(

131)=， 327∴3113131； ?;()2732727用心 爱心 专心

3

∵(－

131)=－， 327∴3?1111??,3(?)3??. 27327273

∴(3a)=a.

［师］若x=a，则x=3a，∴x=(3a)=a.

3

3

3

∴(3a)=a.

3

又∵a是a的立方,所以a的立方根就是a，所以3a3=a.下面就这两个式子进行练习.

3

3

［例2］求下列各式的值： (1)3?8；(2)30.064；(3)－33解：(1) 3?8=3(?2)=－2； 3(2) 30.064=3(0.4)?0.4；

83

；(4)(39) 125(3) 38232=?3()??； 125553

(4)(39)=9. Ⅲ.课堂练习 (一)随堂练习

1.求下列各式的值：

30.125;3?64;353;(316)3.

解：30.125?30.53?0.5；

33?64?3(?4)3??4;53?5;

(316)3?16.2.一个正方体，它的体积是棱长为3厘米的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是多少？

解：设正方体的棱长是x厘米，得 x3=8×33 3

∴x=216 ∴x=6(厘米)

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答：这个正方体的棱长是6厘米. (二)补充练习

投影片：(§2.3 B) 1.求下列各数的立方根： 0，1，－27125，6，－，0.001 8110002.求下列各式的值： 30.027;3?1;?313638;?1;3(?2)3;(3?2)3;3(?)2 12564273.下列说法对不对？ －4没有立方根； 1的立方根是±1； 11的立方根是； 636－5的立方根是－35； 64的算术平方根是8.

3

1.解：因为0=0，所以0的立方根为0. 即30=0；

因为1=1，所以1的立方根为1. 即31=1； 因为?3

27111??,?的立方根为3?. 81333即3?2731??； 8136的立方根为36；

∵－

1251111125311??,(?)3??的立方根为－，即3?????； 100082821000823

∵0.1=0.001，所以0.001的立方根为0.1，即30.001=0.1. 2.解：30.027?30.33?0.3；

用心 爱心 专心 5

3?1?3(?1)3??1;111??3()3??;12555?336313131?1?3??(?)??; 646444(?2)3??2;3(3?2)3??2;3(?8232224)?[(?)3]2?3[()2]3?()2?. 2733393.答案：错.因为负数也有立方根； 错.因为1的立方根是1； 错.

111的立方根是3，平方根是±；

63636对.－5的立方根是3?5，－35?3?5；

对.

Ⅳ.议一议

1.某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体.现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐半径的多少倍？

解：设原来的球形储气罐的半径为r1，后来的储气罐的半径为r2，由球体积公式V=

43

πr得 34343

8×πr1=πr2

33∴8r1=r2 33

∴(2r1)=r2 ∴r2=2r1

即新储气罐的半径是旧储气罐半径的2倍.

2.一个正方体的体积变为原来的n倍，它的棱长变为原来的多少倍？ 解：设原正方体的棱长为a，后来的正方体的棱长为b，得

3

3

na3=b3∴3b3?3a3n

∴b=3a3n?3na.

即后来的棱长变为原来的3n倍. Ⅴ.课时小结

本节课学了如下内容： 1.立方根的定义. 2.立方根的性质.

用心 爱心 专心

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3.开立方的定义.

4.平方根与立方根的区别与联系. 5.会求一个数的立方根. Ⅵ.课后作业 习题2.5.

Ⅶ.活动与探究

1.求下列各式中的x.

3

(1)8x+27=0；

3

(2)(x－1)－0.343=0；

4

(3)81(x+1)=16；

5

(4)32x－1=0.

分析：先把每一个式子都化成x=解：(1)由8x+27=0.∴8x=－27 ∴x=?3

3

3

3

b的形式，然后再根据平方根或立方根的定义来求， a27272733∴x=3???3??3()3??； 888223

(2)由(x－1)－0.343=0 3

∴(x－1)=0.343

3∴x－1=30.343?3(0.7)=0.7

∴x=1.7；

4

(3)由81(x+1)=16 ∴(x+1)=

4

16 81∴x+1=±41622??4()4?? 8133∴x=±

251－1∴x=－或x=－； 3335

(4)由32x－1=0 ∴x=

5

1 32∴x=515151?()?. 32222.求满足3x?1+1=x的x的值. 解：3x?1=x－1

∴x－1=－1或x－1=0或x－1=1 ∴x=0或x=1或x=2 3.计算

2(1)－3?27?(?5)；

用心 爱心 专心 7

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