1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设y?ln(1?3?x),则dy?＿＿＿＿＿＿. (2) 曲线y?e?x的上凸区间是＿＿＿＿＿＿. (3)
2???1lnxdx?＿＿＿＿＿＿. 2x(4) 质点以速度tsin(t2)米每秒作直线运动,则从时刻t1?过的路程等于＿＿＿＿＿＿米.
?2秒到t2??秒内质点所经(5) lim?x?01?e1x1x?＿＿＿＿＿＿.
x?e
二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 若曲线y?x2?ax?b和2y??1?xy3在点(1,?1)处相切,其中a,b是常数,则 ( )
(A) a?0,b??2 (B) a?1,b??3 (C) a??3,b?1 (D) a??1,b??1
x? x2, 0?x?1,(2) 设函数f(x)??记F(x)??f(t)dt,0?x?2,则 ( )
0?2?x,1?x?2,??x3x3 , 0?x?1 , 0?x?1????33(A) F(x)?? (B) F(x)??
22?1?2x?x,1?x?2??7?2x?x,1?x?2??32?3?6??x3x3 , 0?x?1 , 0?x?1????33(C) F(x)?? (D) F(x)??
222?2x?x,1?x?2?x?2x?x,1?x?2??2?2?3(3) 设函数f(x)在(??,??)内有定义,x0?0是函数f(x)的极大点,则 ( )
(A) x0必是f(x)的驻点 (B) ?x0必是?f(?x)的极小点
(C) ?x0必是?f(x)的极小点 (D) 对一切x都有f(x)?f(x0) (4) 曲线y?1?e?x1?e2?x2 ( )
(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线
(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (5) 如图,x轴上有一线密度为常数?,长度为l的细杆,有一质量为m的质点到杆右端的距
离为a,已知引力系数为k,则质点和细杆之间引力的大小为 ( )
l a O m x (A)
?0km??l(a?x)2dx (B) ?lkm?0(a?x)2dx
l(C) 2?0km??l(a?x)2dx (D) 2?2km?0(a?x)2dx 2
三、(每小题5分,满分25分.)
?x?tcostd2(1) 设?t,求y?y?tsindx2.
(2) 计算
?4dx1x(1?x). (3) 求 limx?sinxx?0x2(ex?1). (4) 求 ?xsin2xdx.
(5) 求微分方程xy??y?xex满足y(1)?1的特解.
四、(本题满分9分)
利用导数证明：当x?1时,有不等式ln(1?x)xlnx?1?x成立.
五、(本题满分9分)
求微分方程y???y?x?cosx的通解.
六、(本题满分9分)
曲线y?(x?1)(x?2)和x轴围成一平面图形,求此平面图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积.
七、(本题满分9分)
如图,A和D分别是曲线y?ex和y?e?2x上的点,AB和DC均垂直x轴,且
AB:DC?2:1,AB?1,求点B和C的横坐标,使梯形ABCD的面积最大.
y
八、(本题满分9分)
y ?e?2x A y?ex 1 D B O C x设函数f(x)在(??,??)内满足f(x)?f(x??)?sinx,且f(x)?x,x?[0,?), 计算
??3?f(x)dx.
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)【答案】?ln3dx x3?1【解析】由复合函数求导法则,即y??(f(x))的微分为dy???(f(x))f?(x)dx,有
dy?(2)【答案】(?1ln3?x?3ln3?(?1)dx??dx. ?xx1?33?111,) 22【解析】求函数y?f(x)的凹凸区间,只需求出y??,若y???0,则函数图形为上凹,若
y???0,则函数图形为上凸,由题可知
y??e?x?(?2x)??2xe?x,
2221y????2e?x?(?2x)e?x?(?2x)?4e?x(x2?).
222因为4e?x2?0,所以当x2?1122?0时y???0,函数图像上凸,即x2?,?时, ?x?2222函数图像上凸.故曲线上凸区间为(?(3)【答案】1
【解析】用极限法求广义积分.
11,). 22???1blnxblnx1dx?limdx?limlnxd(?) 22??11b???b???xxx分部b?b11???lnx???lim????(?)dx? ??1b???xxx?1?????b?lnb1?lnbln1?1???????????lim(?)?1?1. ?lim??b???b???1?x?1?bb??b?(4)【答案】
1 2【解析】这是定积分的应用.
22设在t?t?dt时刻的速度为tsin(t),则在dt时间内的路程为ds?tsin(t)dt,所以
从时刻t1??2秒到t2??秒内质点所经过的路程为
s??tsin(t2)dt
t1t2 ????/2tsin(t2)dt??12???/2sin(t2)dt2
12 ??cos(t)2(5)【答案】?1
?/21?11??(cos??cos)??(?1?0)?.
22221??【解析】这是一个型未定式,分子分母同乘以ex,得
?x?0lim?1?e1x1x?lim?x?0e?1x1x?1?1.
x?exe?为简化计算,令t??11,则x??,原式可化为 xtx?0?lime?1x1x?1xe?et?10?1?lim???1. t???et0?1??1?1t
二、选择题(每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)
【解析】两函数在某点处相切,则在该点处的切线的斜率相等,即在该点处的导数相等, 对两函数分别对x求导,得
y??2x?a,则该曲线在点(1,?1)处的导数为y?x?1?2?a,
y3,则曲线在点(1,?1)处的导数为 2y??y?3xyy?,即y??22?3xy32(?1)3y?x?1??1, 22?3?1?(?1)两导数相等,有2?a?1,即a??1.
又因为曲线y?x?ax?b过点(1,?1),所以有?1?1?a?b?1?1?b?b,b??1. 所以选项(D)正确. (2)【答案】(B)
【解析】这是分段函数求定积分.
2当0?x?1时,f(x)?x,所以F(x)?2?x0?1?1f(t)dt??t2dt??t3??x3.
0?3?03xx当1?x?2时,f(x)?2?x, 所以
F(x)??x0f(t)dt??tdt??(2?t)dt
0112x12?1121?13?? ?t?2t?t??(2x?x)?(2?) ????2?1322?3?0? ??1x71?2x?x2. 62?x3,0?x?1??3所以F(x)??,应选(B).
2??7?2x?x,1?x?2?2?6(3)【答案】(B)
【解析】方法一：用排除法.
由于不可导点也可取极值,如f(x)??x?1,在x0?1处取极大值,但是x0?1不是
f(x)??x?1的驻点,所以(A)不正确；
注意到极值的局部性,即极值不是最值,所以(D)也不正确；
对于f(x)??|x?1|,在x0?1处取极大值,但?x0??1并非是?f(x)?|x?1|的极小值点,所以(C)也不成立；故选(B).
方法二：证明(B)是正确的,因为x0?0,不妨设x0?0,则f(x0)为极大值,则在x0的某个领域内有f(x0)?f(x0??x)；
函数y??f(?x)与函数y?f(x)关于原点对称,所以必有?f(?x0)??f(?x0??x),即在?x0的某个领域内?f(?x0)为极小值,故(B)是正确的. (4)【答案】(D)
【解析】函数的定义域为x?0,所以函数的间断点为x?0,
limy?limx?0x?01?e?x1?e2?x2?limx?0ex?1e?122x2??,所以x?0为铅直渐近线,
limy?limx??x??1?e?x1?e2?x2??limx??ex?1e?1x2?1,所以y?1为水平渐近线.
所以选(D).
【相关知识点】铅直渐近线：如函数y?f(x)在其间断点x?x0处有limf(x)??,则
x?x0x?x0是函数的一条铅直渐近线；
水平渐近线：当limf(x)?a,(a为常数）,则y?a为函数的水平渐近线.
x??(5)【答案】(A)
【解析】如图建立坐标系,则x?x?dx中,dx长度的细杆的质量为?dx,与质点的距离
0km?dxkm?为a?x,故两点间的引力为dF?,积分得F???l(a?x)2dx,故选(A). (a?x)2 同理应用微元法可知,若以l的中点为原点,则质点的坐标为(a?l2l?2l,0),故 2F??km?dx；
l2(a??x)2若以l的左端点为原点,则质点的坐标为(a?l,0),故F?故(B)、(C)、(D)均不正确,应选(A).
三、(每小题5分,满分25分.)
(1)【解析】这是个函数的参数方程,
km??0(a?l?x)2dx.
ldydy/dtsint?tcost??, dxdx/dtcost?tsintd2yddy1dsint?tcost1?()??()? dx2dtdxdxdtcost?tsintcost?tsintdt?(2cost?tsint)(cost?tsint)?(2sint?tcost)(sint?tcost)1? 2(cost?tsint)cost?tsint2(cos2t?sin2t)?t2(sin2t?cos2t)?3tsintcost?3tsintcost ?3(cost?tsint)2?t2. ?3(cost?tsint)【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：
如果 ??x??(t)dy??(t)?,则 .
?dx?(t)?y??(t)(2)【解析】用换元法求定积分.
令t?x,则x?t2,dx?2tdt,则
?41221dx11??2?2tdt?2?(?)dt 1t(1?t)1t1?tx(1?x)t?214?. ?2?ln?2(ln?ln)?2ln?t?1323??1(3)【解析】利用等价无穷小和洛必达法则.
当x?0时,有sinx?x,ex?1?x,所以
2?x?2x22sin??x?sinxx?sinx1?cosx?2??1. 2lim2x?lim洛lim?lim?limx?0x(e?1)x?0x?0x?0x?0x33x23x23x26(4)【解析】用分部积分法求不定积分.
21?cos2x1dx??(x?xcos2x)dx 221111??xdx??xcos2xdx?x2??xd(sin2x) 2244111?x2?xsin2x??sin2xdx 444111?x2?xsin2x?cos2x?C. 4481x(5)【解析】所给方程是一阶线性方程,其标准形式为y??y?e.通解为
x2xsinxdx??x??dxdx1?x?xxy?e(?eedx?C)?(?xexdx?C)
x?11111(?xdex?C)?(xex??exdx?C)?(xex?ex?C). xxx1x?1xe. 代入初始条件y(1)?1得C?1,所以特解为y??xx ?【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程y??p(x)y?q(x)的通解为
?p(x)dxp(x)dxy?e?(?q(x)e?dx?C),其中C为常数.
四、(本题满分9分)
【解析】首先应简化不等式,从中发现规律.
当x?1时,原不等式即(1?x)ln(1?x)?xlnx,即(1?x)ln(1?x)?xlnx?0. 证法一：令f(x)?(1?x)ln(1?x)?xlnx,则只需证明在x?1时f(x)?0即可, 可利用函数的单调性证明,对于f(x)有
f?(x)?ln(1?x)?1?lnx?1?ln(x?1). x因x?1,故
x?1?1,即f?(x)?0,所以在(1,??)上f(x)是严格递增函数,所以 xf(x)?f(1)?2ln2?0,
故(1?x)ln(1?x)?xlnx?0,所以当x?1时,有不等式
ln(1?x)x?成立. lnx1?x证法二：当x?1时,原不等式即(1?x)ln(1?x)?xlnx,不等式左右两端形式一致,故令
f(x)?xlnx,则f?(x)?lnx?1?0(x?1),所以f(x)?xlnx在x?1时严格单调递增,
故f(x?1)?f(x)，即(1?x)ln(1?x)?xlnx.
所以当x?1时,有不等式
五、(本题满分9分)
【解析】微分方程y???y?x?cosx对应的齐次方程y???y?0的特征方程为r?1?0, 特征根为r1,2??i,故对应齐次通解为C1cosx?C2sinx.
方程y???y?x必有特解为Y1?ax?b,代入方程可得a?1,b?0. 方程y???y?cosx的右端e?xcos?x?cosx,???i?i为特征根,必有特解
2ln(1?x)x?成立. lnx1?xY2?x?Acosx?x?Bsinx,代入方程可得A?0,B?由叠加原理,原方程必有特解Y?Y1?Y2?x?所以原方程的通解为y?C1cosx?C2sinx?x?【相关知识点】关于微分方程特解的求法:
1. 2xsinx. 21xsinx. 2?x???如果f(x)?Pm(x)e,则二阶常系数非齐次线性微分方程y?p(x)y?q(x)y?f(x)k?不具有形如y*?xkQm(x)e?x的特解,其中Qm(x)与Pm(x)同次(m次)的多项式,而按
是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2.
如果f(x)?e[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x],则二阶常系数非齐次线性微分方程
?xy???p(x)y??q(x)y?f(x)的特解可设为
(1)(2)y*?xke?x[Rm(x)cos?x?Rm(x)sin?x],
(1)(2)其中Rm(x)与Rm(x)是m次多项式,m?max?l,n?,而k按??i?(或??i?)不是特征
方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.
六、(本题满分9分)
【解析】利用定积分求旋转体的体积,用微元法,曲线为一抛物线,与x轴的交点是x1?1,
31x2?2,顶点坐标为(,?).
24方法一：考虑对x积分,如图中阴影部分绕y轴旋转一周,
环柱体的体积为
dV??(x?dx)2y??x2y?2?xydx??ydx2
其中dx为dx?0的高阶无穷小,故可省略,且y为负的, 故y??y,即dV??2?xydx??2?x(x?1)(x?2)dx. 把x从1?2积分得
2V??2?x(1?x)(x?2)dx?2??(3x2?x3?2x)dx
112211????2??x3?x4?x2??2?(0?)?.
442??1方法二：考虑对y的积分,如图中阴影部分绕y轴旋转一周的体积为抛物线两半曲线分别绕
y轴旋转一周后的体积差,即 dV??x22dy??x12dy
其中,x1,x2为Y?y与抛物线的交点,且x2?x1, 把Y?y代入抛物线方程y?(x?1)(x?2),解得
2x1?3?1?4y3?1?4y,x2?, 22故旋转体体积为V??01?42?(x2?x12)dy.把x1,x2的值代入化简,得
3?3??23?2?2V??13?1?4ydy???(1?4y)????.
?4343214???040
七、(本题满分9分)
【解析】可以利用函数的极值求解.
设B、C的横坐标分别为x1,x,因为|AB|?1,所以x1?0,x?0.依题设
AB:DC?2:1,所以有ex1?2e?2x,两边同时取自然对数,得x1?ln2?2x,
而 BC?x?x1?x?(ln2?2x)?3x?ln2,(x?0), 所以梯形ABCD的面积为
1x113(e?e?2x)(3x?ln2)?(2e?2x?e?2x)(3x?ln2)?(3x?ln2)e?2x. 2223?2x求函数S?(3x?ln2)e,(x?0)的最值,满足一般函数求最值的规律,两边对x求导,
2并令S??0有
3S??(3?6x?2ln2)e?2x?0,
21111得驻点x??ln2,在此点S?由正变负,所以x??ln2是极大值点.
2323113?2x又驻点唯一,故x??ln2?0是S?(3x?ln2)e最大值点.
232111此时x??ln2,x1?ln2?1时,梯形ABCD面积最大,
233111故B点的坐标为(ln2?1,0),C点的坐标为(?ln2,0).
323S?
八、(本题满分9分)
【解析】这是个抽象函数求定积分,由题知
f(x??)?f(x)?sin(x??)?x?sinx,x?[0,?),
f(x?2?)?f(x??)?sin(x?2?)?x?sinx?sinx?x,x?[0,?), 而 对于
??3?f(x)dx??2??f(x)dx??3?2?f(x)dx,
??2?f(x)dx,令t?x??,则x?t??,dx?dt,所以
对于
??2?f(x)dx??f(t??)dt??(t?sint)dt;
00????23?f(x)dx,令t?x?2?,则x?t?2?,dx?dt,所以
所以
??23?f(x)dx??f(t?2?)dt??tdt;
00????3?f(x)dx??2???f(x)dx??3?2?f(x)dx
?0 ? ???00(t?sint)dt??tdt
?0?2tdt??sintdt
??22???t??0??cost?0???2.
而 BC?x?x1?x?(ln2?2x)?3x?ln2,(x?0), 所以梯形ABCD的面积为
1x113(e?e?2x)(3x?ln2)?(2e?2x?e?2x)(3x?ln2)?(3x?ln2)e?2x. 2223?2x求函数S?(3x?ln2)e,(x?0)的最值,满足一般函数求最值的规律,两边对x求导,
2并令S??0有
3S??(3?6x?2ln2)e?2x?0,
21111得驻点x??ln2,在此点S?由正变负,所以x??ln2是极大值点.
2323113?2x又驻点唯一,故x??ln2?0是S?(3x?ln2)e最大值点.
232111此时x??ln2,x1?ln2?1时,梯形ABCD面积最大,
233111故B点的坐标为(ln2?1,0),C点的坐标为(?ln2,0).
323S?
八、(本题满分9分)
【解析】这是个抽象函数求定积分,由题知
f(x??)?f(x)?sin(x??)?x?sinx,x?[0,?),
f(x?2?)?f(x??)?sin(x?2?)?x?sinx?sinx?x,x?[0,?), 而 对于
??3?f(x)dx??2??f(x)dx??3?2?f(x)dx,
??2?f(x)dx,令t?x??,则x?t??,dx?dt,所以
对于
??2?f(x)dx??f(t??)dt??(t?sint)dt;
00????23?f(x)dx,令t?x?2?,则x?t?2?,dx?dt,所以
所以
??23?f(x)dx??f(t?2?)dt??tdt;
00????3?f(x)dx??2???f(x)dx??3?2?f(x)dx
?0 ? ???00(t?sint)dt??tdt
?0?2tdt??sintdt
??22???t??0??cost?0???2.
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