中国科技大学信号与系统(徐守时)习题答案-3

2 y[n]?22(0.5)n?2(n?1)(0.5)n?19(0.25)n，n?0。 其中，yzi[n]?16(0.5)n?16(0.25)n，n?0；yzs[n]?[6(0.5)n?2(n?1)(0.5)n?3(0.25)n]u[n]。

4.18 各小题的直接II型实现的方框图如下：

+2)x[n]1)x(t)+?0.75∫Dy[n]+?1y(t)+DD233)x(t)+∫2+y(t)?0.5∫++?2∫0.25D

4)x[n]++

5)x(t)∫∫∫2

+0.50.5+y[n]DDy(t)6)x[n]+?2+y[n]?2.5+2313DD?13?0.5D

4.19 各小题的直接II型实现的方框图如下： 1)x(t)+2)x(t)y(t)+∫?2++∫∫?0.5?1

y(t)

或者

+∫?2.5∫∫?1.5x(t)y(t)++∫

3)x[n]+

++?1.5或者+1.5+

y[n]y[n]4)x[n]y[n]5)x[n]++x[n]D13DDDD

+16D+++14?16D12D+14D?1D?112y[n]?14

4.20 (a) h(t)?cos(t)u(t)

(b) h[n]?(?0.5)n?2

u[n?2]

(c) h(t)?e?tu(t)?e?2tu(t) (e) h(t)?e?tu(t)?e?2tu(t)

(d) h[n]?(2(?1)n?2?(?0.5)n?2)u[n?2]??[n?1] (f) h[n]?(23)[1?(?0.5)n]u[n?1]

4.21 1) 连续时间相加器的单位冲激响应矩阵：h(t)???(t)?(t)?；系统函数矩阵：H(s)??11?。

离散时间相加器的单位冲激响应矩阵：h[n]???[n]?[n]?；系统函数矩阵：H(z)??11?。

??[?]Bxn[]??[n?1]?A?n??(t)?A?(t)?Bx(t)4.22 用第一种直接规划法， 和 ?。这里给出各个系统的A，?y[n]?C?[n?]Dx[n]???y(t)?C?(t)?Dx(t)B，C，D矩阵。

18 信号与系统 ?01) A??0????0.5?01?002) A???00??0010??0??0.25?2.5?0 .25D??0.5? 01?B??? ?0? C????00.5??1???00??0??0?10?? B??? C??320??1D??1? ?0?01????00??1?1??0?0?3 3) A?? B??? C??02? D??1? ?13231?????0??010?0 D??0? 4) A??001? B??0? C??1?2????????1???000???01?5) A???

?2?2?1??06) A??? 0?0.5???0?B??? C??5?4? D??2?

?1??0? B??? C??0.25?1?0.?3 75D???0.75?

??[?]Bxn[]??[n?1]?A?n??(t)?A?(t)?Bx(t)4.23 用第一种直接规划法，? 和 ?

y[n]?C?[n?]Dx[n]???y(t)?C?(t)?Dx(t)?01??0?B??? C??32? D??0? 1) A?? ???6?5??1?2) 原方程可以化简为：y???(t)?6y??(t)?11y?(t)?6y(t)?2x(t)

10??0?0??A??01?B???0? ?0? C??200?

????6?11?6???1??1??0?0?3) A?? B??? C??0?16? ???1656??1?10??0?A??001?? ??0.5?22.5???0?? C?1?4B??0?????1?? D??0?

D??1?

4) 原方程可以化简为：y[n]?2.5y[n?1]?2y[n?2]?0.5y[n?3]?2x[n]?x[n?1]

4 ?D??2?

4.24 在题图P4.24中取下列状态变量：接地电感中的电流?1(方向自上而下)，水平位置电感中的电流?2(方

向自左而右)，左边电容电压?3和右边电容电压?4(方向左正右负)，建立如下的状态方程：

?R11111?1(t)??3(t)??4(t)?x(t)， ?2(t)??3(t)??4(t) 2L2L2L2LLL?11111?3(t)??1(t)??2(t)??3(t)??4(t)?x(t)，

2CC2RC2RC2RC?11111?4(t)???1(t)??2(t)??3(t)??4(t)?x(t)；

2CC2RC2RC2RCR111和输出方程：y(t)???1(t)??3(t)??4(t)?x(t)。系统的A，B，C，D矩阵分别为：

2222??1(t)??word文档 可自由复制编辑

?R??2L??0?A???1?2C?1????2C001C1?C?12L1L1?2RC1?2RC?1?2L??1?L?? 1??2RC?1???2RC???1??2L???0???R? B?1? C??????2?2RC??1????2RC??0?11??? 22??1?D???

?2????(t)?A?(t)?Bx(t)??4.25 用第一种直接规划法，?y(t)?C?(t)?Dx(t)

??1???(0?)?Qy(0?)其中的A，B，C，D矩阵和起始状态矢量分别为：

?01?A???

??2?3?4u(t)∫x(t)+?23+?1??u(t)∫+3?2?2?1+y(t)

图PS 4.25

?0?B???

?1?C??31?

??1???? D??0? ?(0?)?4?系统的模拟图如图PS 4.25所示。

4.26 用第一种直接规划法编写的状态变量模型为：

??[n?1]?A?[n]?Bx[n]??y[n]?C?[n]?Dx[n]，其中： ??[0]?ANQ?1y[?k]?1??0?0?A??B? ??1? ??0.5?1.5???x[n]?2[n?1]+2?[n]?1[n?1]D?0.5++D?2[n]?1.5y[n]?1[n]?0.5图PS 4.26

C???0.5?2?

D??1?

]?? ?[0?2???0?系统的模拟图如图PS 4.25所示。

第5章

5.1 1) RCdvo(t)1Vi?vo(t)?vi(t) 2) vo(t)?ej?0t 3) vo(t)?[cos?0t??0RCsin?0t] 222dt1?j?0RC1??0RC4) 结果同2）和3）。

k???5.2 1) 特征函数为est，特征值为1。

?2) 特征函数为特征函数为

k??????(t?kT)，对应特征值为1。当特征函数为

????2??1?k?2k?(t?kT)，对应特征值为

?1；而当2?(t?kT)，对应特征值为2；

k????j(π4)j(π4)te?0.5ej(π4)e?j(π4)t；基波周期T?8，?0?π4。连续傅里叶级数系数为： 5.3 1) x(t)?0.5eF1?0.5e?j(π4)，F?1?0.5ej(π4)，Fk?0，k??1。Fk和?k如图PS 5.3-1所示。

1?jπ1?jπ1?jπ1jπ1jπ1jπ4?j8πt4?j6πt4?j4πt4j4πt4j6πt2) x(t)?ee?ee?ee?ee?ee?e4ej8πt，基波周期T?1，

424424?0?2π。连续傅里叶级数系数为：F?2?0.25e?3,?4。Fk和?k如图PS 5.3-2所示。

?jπ4，F?3?0.5e?jπ4，F?4?0.25e?jπ4，Fk?0，k??2，

20 信号与系统 Fk0.5?3?10121k0.50.25?4?2Fk0.50.25k01234π4?3

?k?42?π4k

?2?k?101234π4k?10?π4

图PS 5.3-1 图PS 5.3-2

3) x(t)??0.25e?j4πt?0.5?0.25ej4πt，基波周期T?1，?0?2π。连续傅里叶级数系数为：F0?0.5，

F?2??0.25，Fk?0，k?0,?2。Fk和?k如图PS 5.3-3所示。 4) x(t)?k????2[1?(?1)]ek?1jkπt1，基波周期T?2， ?0?π。连续傅里叶级数系数为：Fk?[1?(?1)k]。Fk

2Fk和?k如图PS 5.3-4所示。

Fk0.250.25?20120.51k13k1πFk1π12π12π?3?3?101?101π21233k?2?kπ?k?0k?k?03k?π2?1012?π?3?101?3?2?104k 图PS 5.3-3 5) x(t)? 图PS 5.3-4 图PS 5.3-5

k????Fek?jkπt(?1)kj?，基波周期T?2，?0?π。连续傅里叶级数系数为：F0?0，Fk?e2，k?0。

kππFk和?k如图PS 5.3-5所示。

92π?kπ?j2sin6) x(t)?，基波周期T?3，?0?。连续傅里叶级数系数为：Fk?Fke??e，2234kπ?3?k???k?0，F0?0.5。Fk和?k请读者自行画出。

???jk(2π3)t7) x(t)?k????Fek?jk(π3)t，基波周期T?6，?0?π6?kπ??kπ?。连续傅里叶级数系数为：Fk?22sin??sin??，3kπ?2??6?π2e?j(π2)?kπ??kπ?。CFT系数为：Fk?sin??sin??，k?0，3kπ?2??6?k?0，F0?0.5。Fk和?k请读者自行画出。

8) x(t)?k????Fkejk(π3)t，基波周期T?6，?0?F0?0。Fk和?k请读者自行画出。

5.4 1) 半波整流的输出y(t)中的直流分量为F0?Aπ；基波分量为(Aπ)cos(100πt??0)。

全波整流的输出y(t)中的直流分量为F0?2Aπ；基波分量为(2Aπ)cos(200πt?2?0)。

V01V1；而采用全波整流时，0? ?V1100V1200 采用全波整流，不仅直流输出要比半波整流高出一倍，且输出v(t)中的波纹近似等于半波整流之半。

2) 当采用半波整流时，

5.5 1) i(t)的三角形式傅里叶级数系数的幅度(即k次谐波正弦电流的幅度)分别为：

I0?im(sin???cos?)i[??(sin?)(cos?)]2i[sin(k?)cos??kcos(k?)sin?]；I1?m；Ik?m，k?1

π(1?cos?)π(1?cos?)πk(k2?1)(1?cos?)2) 当?分别为π，0.5π和π3时，I0、I1和功率放大器效率??0.5(I1I0)2求得如下表所示。

π ? 0.5π π3 word文档 可自由复制编辑

I0 I1 ? 0.5im imπ ?0.22im 0.5im 0.5im ?0.39im 0.5 ?1.23 ?0.304 由此看出当??0.5π(相当于乙类规律放大器)时，规律效率最高。 3) 对于k倍频器，?应选择在Ik(?)曲线的峰值处，例如：k?2时，??0.5π；k?3时，??π3等。 5.6 1) 周期N?8，基波频率?0?π4。在DFS系数的周期区间[?3,4]内，DFS系数为F?1?0.5ejπ4，

Fk?0，其余的k。Fk和?k如图PS 5.6-1所示。

2) 周期N?21，基波频率?0?2π21。在DFS系数的周期区间[?10,10]内，DFS系数为F?3?F?7?0.5，

?3?30.5Fk7892kk?101212π4?k789Fk?0，k??3,?7。对所有的k，?k?0；Fk如图PS 5.6-2所示。

?10?π4图PS 5.6-1

0.50.5Fk0.530.57890.50.5?7?3?1011418k图PS 5.6-2

3) 因为x[n]?cos2(πn)?1，周期N可取大于0的任意整数。故F0?1，Fk?0，0?k?N，图形略。

2π51sin(5πk7)?j47πk4) 基波频率?0?，DFS系数为：Fk?，k?7m；而Fk?，k?7m，m?整数。e777sin(πk7)Fk和?k如图PS 5.6-4所示。

2π41sin(4πk7)?j37πk5) 基波频率?0?，DFS系数为：Fk?，k?7m；而Fk?，k?7m，m?整数。e777sin(πk7)Fk和?k如图PS 5.6-5所示。

Fk0.71430.71430.17810.25740.0636?3?101234567894π7Fk0.57140.07930.3210.1146?30.5714kk?10123456789?32π7π74π789124365?107?2π7?π7?4π7?4π7 图PS 5.6-4

?kk

?3π72π73π7kπ72π75831?1692?3407?π7?π7?3π7?2π7?4π7

图PS 5.6-4

2) 与1)的结果相同。

k

5.7 1) F0??0.5，F1??0.25(1?j)，F2?1，F1??0.25(1?j)。

3) x?0??2，x?1???1?j，x?2??4，x?3???1?j。

%[n]的序列值分别为： 5.8 在周期区间[0，7]内，各小题所求周期序列x1) x?0??0，x?1??4，x?2??0，x?3??j4，x?4??0，x?5???j4，x?6??0，x?7??4。 2) x?0??0，x?1??2.0908?j2.0908，x?2???1.7321，x?3???0.3587?j0.3587，x?4??0，

x?5???0.3587?j0.3587，x?6???1.7321，x?7??2.0908?j2.0908。

3) x?0??6，x?1??0，x?2??2，x?3??0，x?4???2，x?5??0，x?6??2，x?7??0。 4) x?0??5.5，x?1??3.0607，x?2??1，x?3??0.9393，x?4??0.5，x?5??0.9393，x?6??1，

x?7??3.0607。

22 信号与系统 ?F[k2],k?0,2,4,?5.10 F2[k]??1k?1,3,5,??0,5.11 1) Fk?,2N?2，并已周期为2N周期重复。

,2N?1?0.5Sa(kπ2),?4?k?42) Fk??

?0, k??4 和 k?41?kπ?Sa??

2(a?jkπ)?2?2πlog(1??2)?log(20?2)5.12 W? ?Tlog?25.13 1) 用图解法将很容易求得y(t)?0.5

2) x(t)的基本频率?0?2π，系统的频率响应H(?)?Sa(?2)e2?j?，则有y(t)?k????FH(k?)ek0?jk?0t。由

于H(k?0)?0，k?0。因此，y(t)?F0H(0)?0.5

5.14 1) 离散时间LTI系统的频率响应H(?)?10.75。

1.25?cos?

2 y[n]?(13)(?1)n?0.6(j)n

y[n]?0.3832sin(3πn4)

3 y[n]?0.6?0.3188cos(0.4πn)?0.1457cos(0.8πn)

2) 离散时间LTI系统的频率响应H(?)?1sin(5?2)

sin(?2)2 y[n]?(?1)n?(j)n

y[n]??0.4142sin(3πn4)

3 y[n]?0.2

5.15 1) X(?)??11 ，X(?)=，?(?)?arctan()，X(?)和?(?)如图PS 5.15-1所示。

aa?j?a2??28???π2,??0?j8?2) X(?)?2，，，X(?)和?(?)见图PS 5.15-2。 X(?)=?(?)??(??3)2?16(?2?3)2?16?π2,??012a?a0a1aX(?)16X(?)171?X(?)??202π2π4?a?(?)?(?)π2?2π02π4π??(?)0a?π4?π2?0??π20? 图PS 5.13-1

图PS 5.15-2

图PS 5.15-4

3) X(?)?π?(??π)ejπ2?π?(??π)e?jπ2?π?(??2π)e?jπ4?π?(??2π)ejπ4，图略。

224) X(?)?X(?)=Sa(?2)?2(1?cos?)?，?(?)?0，X(?)和?(?)如图PS 5.15-4所示。 25) X(?)?3Sa(3?2)Sa(?2)?2[cos??cos(2?)]?，X(?)和?(?)如图PS 5.15-5所示。

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3X(?)2X(?)0.510.00810?2π/302π/3??3π?2π2π3π4π?π?(?)4π/36π/32π/3?0?2π/3?π 图PS 5.15-5

π?(?)2π3π?3π?2π0?π? 图PS 5.15-6

6) X(?)?2Sa(?)?Sa(??π)?Sa(??π)?7) X(?)?Sa(?)，X(?)和?(?)如图PS 5.15-6所示。

1?(?π)21????π????π??2cos(0.5?)，X(?)和?(?)如图PS 5.15-7所示。 Sa???Sa??????22??2??2??π1?(?2π)8) X(?)?j2?[cos2??Sa(?)]，X(?)和?(?)如图PS 5.15-8所示。

2πX(?)2.543X(?)15π?5π?3π03π5π??4.02?2.4802.484.02?π?(?)3π5π??5π?3π0?π 图PS 5.15-7

π?(?)20?π2? 图PS 5.15-8

9) X(?)?[1?ej??3e?j??e?j3?]j?。

5.16 1) x(t)?0.5ejπ/3?(t?4)?0.5e?jπ/3?(t?4) 2) x(t)?(j2π)sint?(j3π)sin(2πt)

3) x(t)?5) x(t)?W2?Wt?Sa?? 4π2?2? 4) x(t)?j?sin(2t)?sintcos(3t)????

π?t2t?11?t?2?sin(t?2)1?cos(t?2)Sa(t?2)?2Sa2?? ??22π2π(t?2)4π8π(t?2)???a?1sin??11?(?)?arctan5.17 1) X(?)?；X(?)?，。当0

X(?)1(1?a)?11(1?a?1)11?a?1X(?)2ππ0π2π?2π2π2ππ01(1?a?1)π2π??(?)2ππ?(?)0π?π0π2π?(a) 0a11(b) 1a10

24 图PS 5.17-1

2) X(?)?信号与系统 sin(5?2)?j2?e，X(?)和?(?)如图PS 5.17-2所示。

sin(?2)5X(?)0.4π2ππππ?(?)0.8π0.4πππ212ππ0.4π00.4π1.6π2π?00.4π0.8π2π?0.4π0.8π

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图PS 5.17-2

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