概率同步训练解答

第六章 数理统计的基本概念

同步训练P283

1. 设总体X~N(??,X??S2，)(X1,X2,?,X9)为来自总体X的一个简单随机样本，求

P{?0.4656?（答案：0.89） ?0.9655}．X??S3X??S3?2.8965}?0.99?0.1?0.89.

解：X?N(?,?29)，?t(8)，所以

P{?0.4656?X??S?0.9655}?P{?1.3968?2. 设(X1,X2,?,Xn)为来自总体X~N(?,?2)的一个简单随机样本，其中n?1.

20S?1ni?(Xni?1??),S?22?(Xn?1i?11ni2?X)，求E(S0)，D(S0)，E(S)和D(S)．

2222（答案：E(S)??,D(S)?2n202202?n24,E(S)??,D(S)?2222?4n?12）

解：

nS0?2?1?2?(Xi?12i??)??(n)，则E(S)?220?2nE(nS0?2)??

2n24?DS?D(20nS0?22)?2n，所以D(S)?202?n4，

(n?1)S2?D(2??(n?1)，则E((n?1)S2?2)?(n?1)?2E(S)?n?1所以E(S)??，

222(n?1)S2?2)?(n?1)2?4D(S)?2(n?1)，所以D(S)?222?4n?1.

16

第七章 参数估计

同步训练P286

1. 设总体X~P(?)，其中未知参数??0，(X1,X2,?,Xn)为来自总体X的一个简单随机样本，

?M和极大似然估计量??L．?M?X,??L?X） 求?的矩估计量?（答案：???X． 解 ⑴ 由X?EX??，解得?Mnnn⑵ 似然函数为L(?)??P(Xi?xi)??i?1i?1n?xixi!ne???e?n???xii?1n?i?11xi!，故

1nlnL(?)??n??(?xi)ln??ln?i?1i?11xi!，

dlnL(?)d???n??(?xi)?0，

i?1??解得?L1nn?Xi?1i．

2. 设总体Z~N(0,3?2)，(Z1,Z2,?,Zn)为来自总体Z的一个简单随机样本，求?2的最大似然估

^2^2计量?．（答案：??Z?3ni?1n1n2i）

n2n解： 似然函数为L?n2?i?1f(zi)??i?116??n2?zi22e6??(16???16?)en?zii?12，故

16?4nlnL??ln(6??)?216??zi?12i，

dlnLd(?)2??n2??12??zi?12i?0，

^解得?

2?Z?3ni?11n2i．

3. 设总体X在[?,0]上服从均匀分布，其中未知参数??0，(X1,X2,?,Xn)为来自总体X的一个简单随机样本，求?的矩估计量??M和极大似然估计量??L．（答案：??M?2X，

??L?X1?min{X1,X2,?,Xn}）

*解 ⑴ 由X?EX??2，解得??M?2X．

nnn⑵ 似然函数为L(?)??f(xi;?)??(?)?(?)，??min{x1,x2,?,xn}

??i?1i?111 17

故 lnL(?)??nln(??)，

dlnL(?)d???n??0，

所以??L?X1*?min{X1,X2,?,Xn}. 同步训练P288

1. 设总体X~B(m,p)(m?1)，(X1,X2,?,Xn)为来自总体X的一个简单随机样本，若

n2（答案：c?Y?c?Xi(Xi?1)为p的无偏估计，求常数c．

1mn(m?1)）

i?1nn解: EY?cE?Xi(Xi?1)?c?Ei(Xi2?Xi)?cn[mp(1?p)?m2p2?mp]?p2

i?1i?1解得c?1mn(m?1).

2. 设总体X在[0,?]上服从均匀分布，问??M?2X和??L?max{X1,X2,?,Xn}是否为?的无偏估计？（答案：；??L不是?的无偏估计）

解：E??M?2EX??，??M是?的无偏估计；

?0??x??L的分布函数F??(x)??()nL????1?nxn?1?0?x??，f??(x)???nL?0?x??nn?1x?00?x??其他

E??L??????xf??(x)du?L??0xnxn?1n?dx????，故??L不是?的无偏估计.

同步训练P290

25251.

设总体X~N(?,?)，其中?未知，若已知n?25,?xi?100,?xi2?520，求?2的置信

i?1i?12度为0.90的置信区间．（答案：(3.295,8.666)）

解： 1???0.90,?2?0.05,n?1?24,?20.05(24)?36.415,?20.95(24)?13.848,s?5，所以?2的置

2信度为0.90的置信区间为

??22(n?1)s??24?524?5??(n?1)s,,??(3.295,8.666) ??2(n?1)?2(n?1)???36.41513.848??????1??22?

18

第八章 假设检验

同步训练P294

1. 测定某种溶液中的水分，由其10个测定值得x?0.452%,s?0.037%．已知测定值X~N(?,?2)，试当??0.05时，检验下列假设：⑴ H0:??0.5%;?:??0.04%; ⑵ H0H1:??0.5%；

?） （答案：拒绝H0；接受H0H1?:??0.04%．

解 ⑴H0:??0.5%;H1:??0.5%；转化为H0:??0.5%;H1:??0.5%

T?X??SnH0?X?0.5%Sn~t(9)；

由??0.05,n?10得拒绝域为W:T??t?(n?1)??t0.05(9)??1.8331．

又x?0.452%,s?0.037%，得T?0.452%?0.5%0.037??4.1?W，故拒绝H0.

?:??0.04%;⑵H0?:??0.04%;H1?:??0.04%，转化为H02H1?:??0.04%；

??(n?1)S2H0??2?(0.04%)(n?1)S22~?(9)；

2222由??0.05,n?10得拒绝域为W?:???1??(n?1)??0.95(9)?3.325．

又s?0.037%，得??

2(10?1)?0.037%(0.04%)22?. ?7.7006?W?，所以接受H0 19

第一章 随机事件及其概率

同步训练P232

1. 设A,B为两个随机事件，P(A)?0.2,P(AB)?0.6，求P(B?A).（答案：0.2）

解：P(AB)?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)?0.6；

即P(B)?P(AB)?1?P(A)?0.6?0.2所以P(B?A)?P(B)?P(AB)?0.2

14182. 设A,B,C是三个随机事件，A与B?C互不相容，如果P(A)?P(B)?P(C)?求A,B,C都不发生的概率.（答案：

38，P(BC)?，

）

解：由题意，A(B?C)??，

即P[A(B?C)]?P(AB?AC)?P(AB)?P(AC)?P(ABC)?0

P(ABC)?P(A?B?C)?1?P(A?B?C)

?1?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)?38.

同步训练P233

1. 设盒子中有十只球，其中四只红球，三只白球和三只黑球，现从中不放回地取三次，每次取一个，求三次所取的球颜色不同的概率.（答案：

解：设A：所取求颜色不同；

P(A)?4?3?3?610?9?8?310320）

.

122. 在边长为1的正方形区域内任取一点，求该点到每个顶点的距离均大于121?[??()]1?2?1?. 解设A：该点到每个顶点的距离大于，P(A)?21?141（提示：以四个顶点为圆心做半径为的圆）

2的概率.（答案：1??4）

3.设独立重复地进行某试验，已知试验成功两次之前已失败两次的概率为

316，求试验成功三次之前

1

已失败三次的概率.（答案：

532）

解：设A：试验成功三次之前已失败三次;每次试验成功的概率为p；

则由题意：成功两次之前已失败两次是指共进行四次试验，前三次成功一次而且第四次成功，即有

C3p(1?p)?p?12316，解得p?12，P(A)?C52p2(1?p)3?p?532.

同步训练P235

1. 设P(A)?0.6,P(B)?0.4,P(AB)?0.3，求P(AB)．（答案：0.8）

解：由P(AB)?0.3得

P(AB)P(B)?0.3即P(AB)?0.12；

P(AB)?P(AB)P(B)?P(A)?P(AB)1?P(B)?0.8.

2. 设十件产品中有两件次品，现依次从中不放回地任取两次，每次取一件，求两件产品中恰好有一件次品的概率.（答案：

1645）

解：设A：两件产品中恰好有一件次品；P(A)?C8C2C21011?1645.

同步训练P236

1. 某单项选择题有四个答案可供选择．已知60%的考生对相关知识完全掌握，他们可选出正确答案; 20%的考生对相关知识部分掌握，他们可剔除两个不正确答案，然后随机选一个答案；20%的考生对相关知识完全不掌握，他们任意选一个答案．现任选一位考生，求其选对答案的概率.若已知该考生选对答案，问其确实完全掌握相关知识的概率是多少？．（答案：

34 ）

解：设A1：该考生完全掌握相关知识；

A2：该考生完全掌握部分相关知识；

A3：该考生完全不掌握相关知识；

B：该考生选对答案；

3由全概率公式得：P(B)??i?1P(Ai)P(BAi)?35?1?15?12?15?14?34

2

同步训练P238

14141. 设随机事件A,B相互独立，且P(A?B)?P(B?A)?，求P(ABA?B).（答案：

13）

解：由题意P(A?B)?P(A)?P(AB)?P(B?A)?P(B)?P(AB)?解得P(A)?P(B)?12；

P(ABA?B)?P[AB(A?B)]P(A?B)?P(AB)P(A)?P(B)?P(AB)?13

2. 盒子中有编号为1,2,3,4的4张卡片，现从中任取一张，设事件A表示取到1号卡片或2号卡片，B表示取到1号卡片或3号卡片，C表示取到1号卡片或4号卡片，试分别讨论事件A,B,C的两两独立性和相互独立性.（答案：A,B,C两两独立，但不相互独立）

121414解：P(A)?P(B)?P(C)?，P(AB)?P(BC)?P(AC)?，P(ABC)?

P(AB)?P(A)P(B),P(BC)?P(B)P(C),P(AC)?P(A)P(C)

P(ABC)?P(A)P(B)P(C)所以A,B,C两两独立，但不相互独立.

3. 设随机事件A,B,C两两独立，且C与A?B相互独立,证明A,B,C相互独立． 证明：因为C与A?B相互独立，即

P(C(A?B))?P(ACB)?P(AC)?P(ABC)?P(A)P(C)?P(ABC)?P(C)P(A?B)?P(C)[P(A)?P(AB)]?P(A)P(C)?P(A)P(B)P(C)

所以P(ABC)?P(A)P(B)P(C)，故A,B,C相互独立.

4. 设一系统由n个独立工作的电子元件并联而成，且每个电子元件正常工作的概率为0.3，求该系统正常工作的概率；若要求系统正常工作的概率至少为0.99，问n至少取多少？（答案：1?0.7,13） 解：（1）设Ai：第i个电子元件正常工作，i?1.2.3...n， B：该系统正常工作； 则：P(B)?1?P(A1A2...An)?1?0.7

n（2）若P(B)?0.99即1?0.7?0.99解得n?13.

nn

3

第二章 一维随机变量及其分布

同步训练P241

b??a?,1. 设随机变量X的分布函数为F(x)??x?0,?x?1,x?1,其中a,b均为常数，计算

（答案：P{X?1?2}．

23）

解：由分布函数性质：F(??)?a?1；F(1?0)?F(1)，即a?b?0所以b?1；

P{X?1?2}?P{?1?X?3}?F(3?0)?F(?1)?23.

同步训练P242

?0,??0.3,1. 设随机变量X的分布函数为F(x)???0.6,??1,x?0,0?x?1,1?x?2,x?2,求X的概率分布．

解： X~?同步训练P244

?0?0.310.32??. 0.4?1. 若对任意的事件A(P(A)?0),总有P(BA)?1，能否说明B??？（答案：不能）

解：不能，举反例：向闭区间[0,1]任意抛一质点，用X表示质点所落的位置；记事件B表示质点落在区间(0,1)，则可验证对任意的事件A，均有P(BA)?1，但B??.

x?0,?0,?2. 设随机变量X的密度函数为f(x)??k求(1)常数k；(2)X的分布函数F(x)；

,x?0,?2?1?xx?0,?0,??(3)P?arctanX??．（答案：k?,F(x)??2?4???arctanx,x?0,????212）

解：（1）由题意?（2）F(x)?????f(x)dx????0k1?xdx?1解得k?22?；

?x??f(t)dt,x?R，

2 当x?0时，F(x)?0；当x?0时，F(x)?

4

?x0?1?tdt?22?arctanx，

x?0,?0,?所以：F(x)??2

arctanx,x?0,??? （3）P?arctanX???????P{X?1}?4??10f(x)dx?12或?F(1?0)?12.

同步训练P246

1. 设随机变量X~U[2,5]，现在对X进行三次独立观察，试求至少有两次观察值大于3的概率．（答案：

2027）

23解：A：至少有两次观察值大于3；P(X?3)? ；P(A)?C3()?3222120323. ?C3()?33272. 设随机变量X~N(10,?2)，已知P{X?20}?p，则P{X?0}? ．（答案：1?p） 解：由题意，P{X?20}?1??(P{X?0}?1??(0?1020?10)?1??(1010)?p，

?10??)?1??(??)??(?)?1?p.

同步训练P248

1. 设随机变量X~E(1)，求Y?[X]的概率分布，其中[]表示取整函数.（答案：

P{Y?k}??ke(?1?1e)?,k ,0,?1）,2解：随机变量Y的所有可能取值：0,1,2,? P{Y?k}?P{k?X?k?1}??k?1kedx?e?x?k(1?e),k?0,1,2,?. 1?12. 设随机变量X的概率密度为f(x)??(1?x)2，求Y?1?,???x???3X的密度函数

fY(y)．（答案：fY(y)?3(1?y)26?[1?(1?y)]3,???y???）

解： FY(y)?P{Y?y}?P{1??X?y}?P{X?(1?y)}，

3arctan(1?y) ???y???；

3???(1?y)31?(1?x)2dx?12?1?所以fY(y)?

3(1?y)26?[1?(1?y)],???y???.

5

3. 设随机变量X~N(0,1)，求Y?X的密度函数fY(y)．

12?y?2e2,?（答案：fY(y)??2??0,?y?0,y?0.）

解：FY(y)?P{Y?y}?P{X?y} （1）当y?0时，FY(y)?0

y?y（2）当y?0时，FY(y)?P{X?y}?P{?y?X?y}?12?y?2e2,?所以fY(y)??2??0,??12?e?x22dx，

y?0,y?0.

?0,4. 设随机变量X~U[0,2]，求Y???X,X?1,X?1,的分布函数FY(y)．

?0,?1?,?2（答案：FY(y)???1y,?2?1,?y?0,0?y?1,

1?y?2,y?2.解：FY(y)?P{Y?y} （1）当y?0时，FY(y)?0

（2）当0?y?1时，FY(y)?P{Y?y}?P{X?1}?（3）当1?y?2时，FY(y)?P{Y?y}?P{X?y}?（4）当y?2时，FY(y)?P{Y?y}?1.

122

y 6

第三章 二维随机变量及其分布

同步训练P251

1. 设二维随机变量(X,Y)的分布律为

(X,Y) P (0,-1) (0,0) b (1,-1) 18(1,0) 38a 38,b?1818且随机事件{X?Y?0}与{X?1}相互独立，求常数a,b．（答案：a?12）

1812解：由题意，a?b?3818，P{X?Y?0,X?1}?P{X?Y?0}P{X?1}即?(?b)?；

解得a?,b?.

同步训练P253

?ce?(x?y),x?0,y?0,1. 设二维随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)?? 求：⑴常数c；⑵

0,其它.?（答案：c?1,P{X?Y?1}?1-P{X+Y<1}；⑶(X,Y)的分布函数F(x,y)．?(1?e?x)(1?e?y),x?0,y?0,F(x,y)??）

0,其它.?2e）

解：（1）由密度函数的性质：?1?????????f(x,y)dxdy???0????0ce?(x?y)dxdy?1，解得c?1；

1-x（2）P{X+Y<1}=蝌dx0e0-(x+y)dxdy=1-2e

?xye?(u?v)dudv?(1?e?x)(1?e?y),x?0,y?0,?（3）F(x,y)???0?0

?其它.?0,同步训练P254

?e?x,1. 设二维随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)???0?xe?x,fY(y)．（答案：fX(x)???0,????0?y?x,其它.求边缘密度函数fX(x)和

?e?y, fY(y)??x?0.?0,x?0,y?0,y?0.）

解：fX(x)??f(x,y)dy

7

（1）当x?0时，fX(x)?（2）当x?0时，fX(x)??xe?x,所以fX(x)???0,?????xf(x,y)dy?0

?x?x?0edy?xe

x?0,x?0.

fY(y)??????f(x,y)dx

（1）当y?0时，fY(y)?（2）当y?0时，fY(y)??e?y,所以fY(y)???0,y?0,????????yf(x,y)dx?0

edx?e?x?y

y?0.

同步训练P258

1. 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为

F(x,y)?1(?2?2?arctanx)(?2?arctany)，???x???,???y???，

1?(?arctanx)， ?2试分别求出FX(x)和FY(y)，并讨论X与Y的独立性．（答案：FX(x)????x??；?FY(y)?F(??,y)?1?(?arctany)，???y???；X与Y相互独立） ?2解：（1）FX(x)?F(x,??)?FY(y)?F(??,y)?1?(?arctanx),???x??? ?21?(?arctany)???y??? ?2（2）F(x,y)?FX(x)FY(y),???x???，???y???，所以相互独立.

2. 已知二维随机变量(X,Y)和(U,V)的分布律分别为

Y X 0310310 1 310110VU 0925625 1 6254250 和

0 1 1 求它们的边缘分布律，并判断其独立性．

（答案：其边缘分布律相同，但联合分布律不同；） 解：

8

Y X 0310310351 31011025 35250 1

VU 0925625351 62542525 35250 1 X,Y不相互独立，U,V相互独立.

?e?x,3.设二维随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)???00?y?x,其它.讨论X与Y的独立性，并求

fYX(yx)以及P{Y?1X?2}．

?1?,(yx)??x?0,?0?y?x,其它;（答案：X与Y不相互独立；当x?0时，fYX

12）

解：（1）fX(x)??????f(x,y)dy

①当x?0时，fX(x)?②当x?0时，fX(x)??xe?x,所以fX(x)???0,?????xf(x,y)dy?0

?x?x?0edy?xe

x?0,x?0.

fY(y)??????f(x,y)dx

①当y?0时，fY(y)?②当y?0时，fY(y)?????????yf(x,y)dx?0

edx?e?x?y

9

?e?y,所以fY(y)???0,y?0,y?0.

因为f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以X,Y不相互独立. （2）当x?0时，

f(x,y)?1?,???xfX(x)?0?0?y?x,其它.fYX(yx)?

fYX?1?,(y2)??2?0?0?y?2,其它.，P{Y?1X?2}?12.

同步训练P262

1. 设随机变量X和Y相互独立，且X~U(0,1),Y~U(0,1)，求Z?min{X,Y}的密度函数

?2(1?z),0?z?1,fZ(z)．（答案：fZ(z)??）

0,其它.?解： FZ(z)?P{Z?z}?P{min{X,Y}?z} （1）当z?0时，FZ(z)?0 （2）当z?1时，FZ(z)?1 （3）当0?z?1时，

FZ(z)?P{min{X,Y}?z}?1?P{min{X,Y}?z}?1??dx?1dy?1?(1?z)

zz112所以fZ(z)???2(1?z),0?z?1,?0,其它.

222. 设随机变量X与Y相互独立，且同服从N(0,1)，求Z=X+Y的概率密度fZ(z)．

z?1?12e,z?0,?（答案：fZ(z)??2）

?0,z?0.?22解： FZ(z)?P{Z?z}?P{X?Y?z}

（1）当z?0时，FZ(z)?0 （2）当z?0时， FZ(z)?P{X2?Y2?z}??2?0d??z012?e?r22rdr?1?e?z2

10

z?1?1?e2,z?0,所以fZ(z)??2

?0,z?0.?3.设随机变量X与Y相互独立，X的密度函数为f(x)???2x,?0,0?x?1,其它,1Y~B(1,)，求

2z?0,?0,??1（答案：FZ(z)??z2,0?z?1,） FZ(z)．Z?max{XY,的分布函数}?2z?1.??1,解： FZ(z)?P{Z?z}?P{max{X,Y}?z} （1）当z?0时，FZ(z)?0 （2）当z?1时，FZ(z)?1 （3）当0?z?1时，

FZ(z)?P{max{X,Y}?z}?P{X?z,Y?z}?P{X?0,Y?z}?P{X?0}P{Y?z}?12z2

z?0,?0,??1所以FZ(z)??z2,0?z?1,

?2z?1.??1,

11

第四章 数字特征

同步训练

1. 设二维随机变量(X,Y)的分布律为

(X,Y) (0,0) (0,1) (1,0) P (1,1) 0.3 0.2 0.1 0.4 求D(XY)．（答案：0.21）

解： E(XY)2?0.3，E(XY)=0.3；D(XY)?E(XY)2?[E(XY)]2?0.21.

2. 设随机变量X~U(0,1)，求E[sin(?X)?X2]．（答案：

E[sin(?X)?X]?22??13）

?10(sin?x?x)dx?22??13

3. 设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1的指数分布．记U?max{X,Y}，（答案：EU?V?min{X,Y}．求EU,EV和DU,DV．

?e?x解：X?fX(x)???0?e?y，Y?fY(y)??其他?0x?0u?032,EV?12和DU?54,DV?14）

y?0其他；

?(1?e?u)2FU(u)?FX(u)FY(u)???0?2(1?e?u)e?u；fU(u)??其他?0v?0u?0其他；

?1?e?2vFV(v)?1?(1?FX(v))(1?FY(v))???0EU??2e?2v ， fV(v)??其他?0v?0其他

?????ufU(u)du?232，EV?12，

22EU2??????ufU(u)du?4，DU?EU?(EU)?54，DV?14.

同步训练P269

1. 设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为

(X,Y) (0,0) (1,1) (0,2) (2,0) P (2,2) 1121423 13 14 112 求Cov(X?Y,Y)．（答案：?）

解：Cov(X?Y,Y)?Cov(X,Y)?DY

12

EXY?DY?2323,EX?12?0?1?13?2?16?23,EY?1323?0?1?13?2?13?1,EY2?53

，Cov(X,Y)?0，Cov(X?Y,Y)??.

2. 将长度为1m的木棒随机地截成两段，求两段长度X与Y的相关系数．（答案：?1） 解：因为X?Y?1；所以?XY??1.

3. 设二维随机变量(X,Y)服从区域D：x2?y2?1上的均匀分布，问X与Y是否相互独立？又是否不相关？（答案：不相互独立；不相关）

?1?解：f(x,y)????0?x?y?1其他22，

解：（1）fX(x)??????f(x,y)dy

1?x2当?1?x?1时，fX(x)??2?所以fX(x)??????2?同理：fY(y)??????12?1?x?dy?2?1?x

21?x,0,2?1?x?1,其他.

1?y,0,2?1?y?1,其他.

所以X与Y不相互独立；

EX??????xfX(x)dx??????1?1x2?1?xdx?0,

2EXY???????xyf(x,y)dx??2?0d??101?rsin?cos?dr?0

3Cov(X,Y)?0所以X与Y不相关. ?0,Y?4. 设随机变量X~N(0,1)，??1,X?0,X?0.14求?XY．（答案：2?）

解：EX?0，DX?1；EY?12，DY?，

1EXY??0??0?xfX(x)dx????01?xfX(x)dx????01?x12?e?x22dx?12??XY?2?14?2?.

13

同步训练P272

1.设二维随机变量(X,Y)~N(1,1;1,1;0),U=2X+Y,V=X-Y，问(U,V)服从何分布？（答案：

110(U,V)~N(3,0;5,2;)）

解：因为

211?1??3?0，所以(U,V)服从二维正态分布，

EU?E(2X?Y)?2EX?EY?3，EV?E(X?Y)?EX?EY?0， DU?D(2X?Y)?4DX?DY?5，DV?D(X?Y)?DX?DY?2

Cov(U,V)?Cov(2X?Y,X?Y)?2DX?Cov(X,Y)?DY?1，?UV?Cov(U,V)DUDV?110，所以

(U,V)~N1(3,0;5,2. ;10)2. 设随机变量X与Y独立，且均服从N(0,1)，问常数a,b应满足什么条件时，U?aX?bY与

V?aX?bY(ab?0)相互独立？（答案：a2?b2）

解：因为

aab?b??2ab?0，所以(U,V)服从二维正态分布，

Cov(U,V)?Cov(aX?bY,aX?bY)?aDX?bDY?a?b

2222所以当a?b时相互独立.

22 14

第五章 大数定律和中心极限定理

同步训练P273

*1. 设随机变量X的标准化随机变量为X?34X?EXDX*，试根据切比雪夫不等式估计概率P{X?2}.

（答案：?）

*解：EX*?0，DX*?1，由切比雪夫P{X同步训练P275

?2}?1?14?34

1. 设随机变量序列{Xn}相互独立，且都服从参数为1的泊松分布，则当n??时，依概率收敛于 ．（答案：1）

22解：E[Xi(Xi?1)]?E[Xi?Xi]?EXi?EXi?2?1?1

1niX?ni?1(Xi?1)所以

1nn?Xi?1i(Xi?1)依概率收敛于1.

同步训练P277

1,2,?,481.设随机变量X1,X2,?,X48相互独立，且Xi~U(0,2),i?48．则利用中心极限定理计算

（答案：0.6915） P{?Xi?50}．

i?148484848i解：E(?Xi)?48，D(?Xi)?i?1i?1?DXi?1?16，由中心极限定理：?Xi近N(48,16)

i?1?4848P{?Xi?50}?P{i?1?Xi?1i?48?50?48441}??()=0.6915.

22. 设一批产品的次品率为0.05，现从中任意抽取1000件产品进行检验．试利用中心极限定理，求次品少于60件的概率.（答案：0.9222）

解：设X表示次品数，则由中心极限定理：X近N(50,47.5)

?P{X?60}?P{X?5047.5?60?5047.5}??(1.45)=0.9222.

15

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