静安区2010学年第一学期期末教学质量检测

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高三年级数学试卷（文理合卷）

（本试卷满分150分 考试时间120分钟） 2011.1

学生注意：

1． 本试卷包括试题纸和答题纸两部分．

2． 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3． 可使用符合规定的计算器答题．

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 设i为虚数单位，计算

1?i? . i2．（理） 幂函数f?x?的图象过点2,2，则f???1?4?的值______________. 2．（文）幂函数f?x?的图象过点2,2，则其解析式f?x?? . ??1??3. ?x2??的展开式中常数项是_________．（用数字作答）

x???x124. 若 260x?0，则x? ．

?1025. 若直线mx?y?m?1与x?my?2m平行，则m?_____． 6.已知an?1111?????,n?N*，那么an?1?an? . n?1n?2n?32n27.（理）若实数x满足对任意正数a?0，均有a?x?1，则x的取值范围是 . 27.（文） 若实数x满足对任意正数a?0，均有x?1?a，则x的取值范围是 .

y2x28. 已知椭圆2?2?1(a?b?0)的右顶点为A(1,0)，过其焦点且垂直长轴的弦长为1．则椭圆方程

ab为 .

29．若直线y?kx?2与抛物线y?4x仅有一个公共点，则实数k? .

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www.lecano.com 雷网空间-教案课件试题下载 10.如图，若框图所给的程序运行的输出结果为S?132，那么判断框 中应填入的关于k的判断条件是 ． 11.（理）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合A??a1,a2,a3?，则满足a3?a2?1?a1?4的集合A的个数是 .（用数字作答） 11.（文） 已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A??a1,a2,a3?，则满足a3?a2?1?a1?2的集合A的个数是 .（用数字作答）

12.（理）已知向量a=（1，0），b=（0，1），向量c满足（c?a)?(c?b)?0，则|c|的最大值是 . 开始 k?12 S?1 是 否 S?S?k k?k?1 第（10）题 输出S 结束 12.（文）在△ABC中，∠C=90°，AB?(1,k)，AC?(2,1)，则k的值是 . 13．已知函数f(x)?2sin(x??)，若对任意的x?R，都有f(x1)?f(x)?f(x2)，则|x1?x2|的最小23值为 .

x2y214. 设双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1(?c,0)、F2(c,0)，c?0，若以F1F2为

abc斜边的等腰直角三角形F1AF2的直角边的中点在双曲线上，则等于 .

a二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分． 15．右图给出了某种豆类生长枝数y(枝)与时间t(月)的散点图，那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是………………………………………………………………( ) (A)y?2t； (B)y?log2t； (C)y?t； (D)y?2． 16. 下列命题中正确的命题是……………………………（ ） （A）若存在x1,x2??a,b?，当x1?x2时，有f(x1)?f?x2?，则说

第（15）题

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23t www.lecano.com 雷网空间-教案课件试题下载 函数y?f(x)在区间?a,b?上是增函数；

（B）若存在xi?[a,b]（1?i?n,n?2,i、n?N*)，当x1?x2?x3?n?时x，有

f(x1)?f?x?2?f?x??3?f?xn?，则说函数y?f(x)在区间?a,b?上是增函数；

（C）函数y?f(x)的定义域为[0,??)，若对任意的x?0，都有f(x)?f(0)，则函数y?f(x)在[0,??)上一定是减函数；

（D）若对任意x1,x2??a,b?，当x1?x2时，有是增函数。

f(x1)?f(x2)?0，则说函数y?f(x)在区间?a,b?上

x1?x23n117．若limn?1?(n?N*)，则实数a满足………………………………………………（ ） nn??3?(a?1)3（A）a??1；（B）?4?a?2；（C）?1?a?2；（D）0?a?2.

18．生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约只有10%-20%的能量能够流动到下一个营养级，在H1?H2?H3?H4?H5?H6这条生物链中，若能使H6获得10KJ的能量，则需要H1提供的最少的足够的能量是……………………………………………………………………………………( ) （A）104KJ； （B）105KJ ； （C）106KJ； （D）107KJ.

三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知函数f(x)?|x?1|?ax(a?R）. (1) 当a?1时，画出此时函数的图象；

(2)若函数f(x)在R上具有单调性，求a的取值范围.

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www.lecano.com 雷网空间-教案课件试题下载 20．(本题满分15分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分8分.

已知函数f(x)?sin2x?2cosx?2cos2x. （1）若f(x)??1，求x的值； （2）求f(x)的最大值和最小值.

21．(本题满分15分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分5分.

已知函数f(x)?x2?(a?1)x?lg|a?2|(a?R,且a??2). （1）写出一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)，使f(x)=g(x)+h(x)；

（2）对（1）中的g(x). 命题P：函数f(x)在区间[(a?1)2,??)上是增函数；命题Q：函数g(x)是减

函数；如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，求f(2)的取值范围.

22． (本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.

设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1?b1?1，a2?b3?a3?b2?7. （1）求{an}，{bn}的通项公式；

（2）记cn?an?2010，n?N*，An为数列{cn}的前n项和，当n为多少时An取得最大值或最小值？ （3）（理）是否存在正数K，使得(1?111)(1?)?????(1?)?K2n?1对一切n?N*均成立，若a1a2an存在，求出K的最大值，若不存在，说明理由. （3）（文）求数列??an??的前n项和Sn． ?bn?雷网空间 www.lecano.com

www.lecano.com 雷网空间-教案课件试题下载 23．（理）(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

设常数a?0，对x1,x2?R， P(x,y)是平面上任意一点，定义运算“?”：

x1?x2?(x1?x2)2?(x1?x2)2， d1(P)?11x?x?y?y，d2(P)?(x?a)?(x?a). 22（1）若x?0，求动点P(x,x?a)的轨迹C； （2）计算d1(P)和d2(P)，并说明其几何意义；

（3）在（1）中的轨迹C中，是否存在两点A1,A2，使之满足d1(A1)?ad2(A1)且d1(A2)?ad2(A2)？

若存在，求出a的取值范围，并请求出d1(A1)?d1(A2)的值；若不存在，请说明理由.

23．（文）(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分

8分.

平面直角坐标系xoy中，y轴上有一点A（0，1），在x轴上任取一点P，过点P作P A的垂线l. （1）若l过点Q（3，2），求点P应取在何处； （2）直线l能否过点R（3，3），并说明理由； （3）点P在x轴上移动时，试确定直线l移动的区域（即直线l可以经过的点的集合），并在给定的坐标系中用阴影部分表示出来.

y O x

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www.lecano.com 雷网空间-教案课件试题下载 高三年级数学试卷 解答（文理合） 2011.1

1. 1?i； 2．（文）x （理）16； 3. 15； 4. -4； 5. -1；

12y211111?x2?16. ； 7. （文）（理）[?1,1]；8.????

2n?12n?2n?12n?12n?2 419．0，； 10. k≤ 10；或k＜11；或k=10；11. （文）10； （理）56；

210?212. （文）3， （理）2； 13． 2?；14. 3?5=。 215． D ；16. D ；17． B ； 18． C 19．解（1）当a?1时，

?2x?1x??1，………………3分 f(x)?|x?1|?ax????1x??1简图如右图所示.……………………………………………3分 （2）f(x)?|x?1|?ax???(a?1)x?1?(a?1)x?1x??1，……3分 x??1当??a?1?0?a?1?0或?，………………………………3分

?a?1?0?a?1?0即a?1或a??1时，f(x)在R上分别是增函数和减函数。所以，当a?1或a??1时，函数f(x)在R上具有单调性. ……………………………………………………2分

20．解：（1）f(x)?1?cosx?2cosx?2(2cosx?1)?3cosx?2cosx?1??1…………3分

222?3cos2x?2cosx?0?cosx?0或cosx??x?k??2 …………………………………………………2分 32,k?Z …………………………………………………………2分 231242（2）因为：f(x)?3cosx?2cosx?1?3(cosx?)?，……………………………………4分

33,x?2k??arccos所以，当cosx??1时，f(x)max?4；…………………………………………………………………2分 当cosx??14时，f(x)min??…………………………………………………………………………2分 33雷网空间 www.lecano.com

www.lecano.com 雷网空间-教案课件试题下载 21．解：

（1）h(x)?x2?lg|a?2|，…………2分 ；g(x)?(a?1)x；……………………………2分 （2）由函数f(x)在区间[(a?1)2,??)上是增函数得?a?1?(a?1)2，解得 23a??或a??1，…………………………………………………………………………………………2分

2由函数g(x)是减函数得a?1?0，解得a??1，………………………………………………………1分 再由命题P、Q有且仅有一个是真命题，得a的取值范围是[?1,??)?(?33,?1)?(?,??).……3分 22（3）f(2)?4?2a?2?lg|a?2|?6?2a?lg(a?2),……………………………………………………2分 因为在a?(?333,??)上递增，所以f(2)?6?2?(?)?lg(??2)?3?lg2，即：222f(2)?(3?lg2,??).………………………………………………………………………………………3分 22．解：

?1?d?q2?7（1）设?an?的公差为d，?bn?的公比为q，则依题意有q?0且?

1?2d?q?7?解得d?2，q?2． …………………………………………………………………………2分 所以an?1?(n?1)d?2n?1，bn?qn?1?2n?1．…………………………………………2分

（2）因为cn?an?2010?2n?2011?0?n?1005.5，所以，当1?n?1005时，当n?1006cn?0，时，cn?0.……………………………………………………………………………………2分 所以当n?1005时，An取得最小值. ……………………………………………………2分 （文）（3）

35an2n?1?n?1．Sn?1?1?2?22bn2?2n?32n?1?n?1 ① ………………………2分 n?2222Sn?2?3?②－①得Sn?2?2?22?2?2252n?32n?1??n?3?n?2 ② 22222n?1?n?2?n?1 …………………………………………………2分 22雷网空间 www.lecano.com

www.lecano.com 雷网空间-教案课件试题下载 ?11?2?2??1??2??22?6?1n?12n?11?2n?1?n?2??n?1?2?2?2?n?1 ……………………………3分 12?221?21?2n?3．……………………………………………………………………………………………1分 2n?1（理）（3）K?1111(1?)(1?)??????(1?)等价于K?F(n)min，

a1a2an2n?11(1?111)(1?)??????(1?)；……………………………………2分 a1a2an111111)(1?)?????(1?)[(1?)?]?0? a1a2an2n?12n?32n?1其中F(n)?2n?1因为:F(n?1)?F(n)?(1?2n?2)?2n?12n?3?112n?1?12n?3?2n?22n?1)?1?2n?2?2n?3?2n?1

?4n2?8n?4?4n2?8n?3?4?3显然成立，所以F(n)是递增的。……………4分

从而K?F(n)min?F(1)?23. …………………………………………………………2分 3或因为： F(n?1)2n?22(n?1)2(n?1)????1，所以：F(n)是递增2F(n)(2n?3)(2n?1)4(n?1)?12(n?1)23.………………………………2分 3的。………………………4分； 从而K?F(n)min?F(1)?23．（文）解：（1）设P（a ,0）,则PA?(?a,1) ,PQ?(3?a,2),由题意得PA?PQ，所以

(?a)(3?a)?2?0， …………………………………………………………………………2分

解得a?2,1，所以点P应取在（2，0）或（1，0）； …………………………………2分 （2）l不能过点R（3，3）；因为若l过点R，设P（a ,0）, …………………………2分

则PA?(?a,1) ,PR?(3?a,3),由题意得PA?PR，所以(?a)(3?a)?3?0，即

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www.lecano.com 雷网空间-教案课件试题下载 a2?3a?3?0，……………………………………………………………………………2分

因为??9?4?3?0，所以点P取不到，从而l不能过点R（3，3）. ……………2分 （3）设直线l可以经过点B（x，y），P（a，0），………………………………………1分 则PB?(x?a,y),PA?(?a,1),BP?PA?0?a2?ax?y?0，

a2?ax?y?0有解

?x2?4y?0即y x2y?，………………………………………3分

4x2}，即直线l所以，直线l可以经过的点B的集合是{(x,y)|y?4O x x2移动的区域是抛物线y?及以下部分。…………………2分 4简图如右…………………………………………………………2分 23.（理）解：（1）由y?2x?a?(x?a)2?(x?a)2?4ax…………………………2分 2可知：y?4ax(x?0,y?0)，所以轨迹C为抛物线y?4ax(x?0,y?0)在第一象限内的部分，包括原点；………………………………………………………………………………………………2分 （2）d1(P)?分

11x?x?y?y?4x2?4y2?22x2?y2，…………………………………………2

d2(P)?分

14(x?a)2?|x?a|， ………………………………………………………………………22分别表示P点到原点和到直线x?a的距离；……………………………………………………………2分

（3）设若存在为A1(x1,y1)A2(x2,y2)，则由d1(A1)?ad2(A1)且d1(A2)?ad2(A2)得

?x2?y2?a|x?a|11?1?22?x?ya|x2?a|2??1，即

222??x1?4ax1?a(x1?2ax1?a)?222?x?4ax?a(x22?2ax2?a)?2， 即

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www.lecano.com 雷网空间-教案课件试题下载 223??(a?1)x1?(4a?2a)x1?a?0， ?223??(a?1)x2?(4a?2a)x2?a?0所以x1、x2是方程(a?1)x2?(4a?2a2)x?a3?0的两个根.………………………………………2分

??(4a?2a2)2?4(a?1)a3?0???0???4a?2a2要使A1,A2存在，必须?x1?x2?0，即?，所以必须a?1.…………2分 ?0?xx?0?a?1?12?a3?0?a?1?a34a?2a2当a?1时，由于(x1?a)(x2?a)?x1x2?a(x1?x2)?a??a?a2?

a?1a?1a3?4a2?2a3?a3?a2?5a2???0，即x1?a与x2?a异号.…………………………………2分 a?1a?12或设f(x)?(a?1)x2?(4a?2a2)x?a3，由f(a)?(a?1)a2?(4a?2a2)a?a3?a3?a2?4a2?2a3?a3??5a2?0 得a介于x1、x2之间，即x1?a与x2?a异号.……………………………………………2分 所以d1(A1)?d1(A2)=a(|x1?a|?|x2?a|)=a|(x1?a)?(x2?a)|

(2a2?4a)24a32aa?=a=5a?4。…………………………………………………………2分 a?1a?1(a?1)2

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