23．（5分）如图：△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=45°，∠AOC=150°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D． （1）求证：CD=CB； （2）如果⊙O的半径为
，求AB的长．
24．（5分）学校要围一个矩形花圃，其一边利用足够长的墙，另三边用篱笆围成，由于园艺需要，还要用一段篱笆将花圃分隔为两个小矩形部分（如图所示），总共36米的篱笆恰好用完（不考虑损耗）．设矩形垂直于墙面的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形花圃ABCD的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）要想使矩形花圃ABCD的面积最大，AB边的长应为多少米？
25．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y=5x﹣5与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点B关于原点O对称，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=3且过点A和C．
（1）求点A和点C的坐标；
（2）求抛物线y=ax+bx+c的解析式；
（3）若抛物线y=ax+bx+c的顶点为D，且在x轴上存在点P使得△DAP的面积为6，直接写出满足条件的点P的坐标．
22
26．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线； （2）若AB=4+
，BC=2
，求⊙O的半径．
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．（7分）阅读下面材料：
如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=ax+b与双曲线y2=交于A（1，3）和B（﹣3，﹣1）两点． 观察图象可知：
①当x=﹣3或1时，y1=y2；
②当﹣3＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax+b＞的解集．
有这样一个问题：求不等式x+4x﹣x﹣4＞0的解集．
3
2
某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式x+4x﹣x﹣4＞0的解集进行了探
32
究．
下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整： （1）将不等式按条件进行转化： 当x=0时，原不等式不成立；
当x＞0时，原不等式可以转化为x+4x﹣1＞； 当x＜0时，原不等式可以转化为x2+4x﹣1＜； （2）构造函数，画出图象
设y3=x2+4x﹣1，y4=，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．
双曲线y4=如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y3=x2+4x﹣1；（不用列表） （3）确定两个函数图象公共点的横坐标
观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y3=y4的所有x的值为 ；
（4）借助图象，写出解集
结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式x+4x﹣x﹣4＞0的解集为 ． 28．（7分）我们规定：在正方形ABCD中，以正方形的一个顶点A为顶点，且过对角顶点C的抛物线，称为这个正方形的以A为顶点的对角抛物线．
（1）在平面直角坐标系xOy中，点在轴正半轴上，点C在y轴正半轴上． ①如图1，正方形OABC的边长为2，求以O为顶点的对角抛物线；
3
2
2
②如图2，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为a，其以O为顶点的对角抛物线的解析式为y=x2，求a的值；
（2）如图3，正方形ABCD的边长为4，且点A的坐标为（3，2），正方形的四条对角抛物线在正方形ABCD内分别交于点M、P、N、Q，直接写出四边形MPNQ的形状和四边形MPNQ的对角线的交点坐标．
29．（8分）我们规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R=D﹣d．
（1）①如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G1的距离跨度： A（﹣1，0）的距离跨度； B（，﹣
）的距离跨度；
C（﹣3，2）的距离跨度；
②根据①中的结果，猜想到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是 ． （2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，图形G2为以C（1，0）为圆心，2为半径的圆，直线y=k（x+1）上存在到G2的距离跨度为2的点，求k的取值范围． （3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，射线OA：y=
x（x≥0），圆C是以3为半径的
圆，且圆心C在x轴上运动，若射线OA上存在点到圆C的距离跨度为2，直接写出圆心C的横坐标xc的取值范围．
2016-2017学年北京师大附中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的（请将答案写在答题纸上）.
1．抛物线y=（x﹣2）+1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（2，1） 2．如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数是（ ）
2
A．40° B．50° C．60° D．80°
3．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球，下列事件是必然事件的是（ ） A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球 B．摸出的三个球中至少有一个球是白球 C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球 D．摸出的三个球中至少有两个球是白球
4．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠BOD等于（ ）
A．20° B．30° C．40° D．60°
5．有一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成6 个大小相同的扇形．在转盘的适当地方涂上灰色，未涂色部分为白色．为了使转动的转盘停止时，指针指向灰色的概率为，则下列各图中涂色方案正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线y=﹣2x向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ）
A．y=﹣2（x+1）2+3 B．y=﹣2（x+1）2﹣3 C．y=﹣2（x﹣1）2﹣3 D．y=﹣2（x﹣1）2+3 7．如图，已知⊙O的半径为4，则它的内接正方形的边长为（ ）
2
A．4 B．8 C．8
2
D．4
2
8．若二次函数y=x+bx的图象的对称轴是直线x=2，则关于x的方程x+bx=5的解为（ ） A．x1=0，x2=4
B．x1=1，x2=5
C．x1=1，x2=﹣5 D．x1=﹣1，x2=5
2
9．已知点A（﹣1﹣，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）在抛物线y=（x﹣1）+c上，则
y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y3＞y1
10．小阳在如图①所示的扇形舞台上沿O﹣M﹣N匀速行走，他从点O出发，沿箭头所示的方向经过点M再走到点N，共用时70秒．有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小阳的走路过程，设小阳走路的时间为t（单位：秒），他与摄像机的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图②，则这个固定位置可能是图①中的（ ）
A．点Q B．点P C．点M D．点N
二、填空题（本题共18分，每小题3分．请将答案写在答题纸上）.
11．二次函数y=﹣3x+1的图象如图所示，将其沿x轴翻折后得到的抛物线的解析式为 ．
2
12．“双十二”期间，小冉的妈妈在网上商城给小冉买了一个书包，除了书包打八折外还随机赠送购买者1支笔（除颜色外其它都相同且数量有限）．小冉的妈妈购买成功时，还有5支黑色，3支绿色，2支红色的笔．那么随机赠送的笔为绿色的概率为 ． 13．在某次试验数据整理过程中，某个事件发生的频率情况如表所示．
试验次数 事件发生的 频率 估计这个事件发生的概率是 （精确到0.01）．
14．在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，5为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是 ．
15．已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）．如图所示，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是 ．
10 0.245 50 0.248 100 0.251 200 0.253 500 0.249 1000 0.252 2000 0.251
16．阅读下面材料：
在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：
小敏的作法如下：
老师认为小敏的作法正确．
请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是 ；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是 ．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
17．（5分）已知二次函数的解析式是y=x﹣2x﹣3． （1）与x轴的交点坐标是 ；顶点坐标是 ； （2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线． x y … … … … 2
18．（5分）如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），求该光盘的直径是多少？
19．（5分）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x y … … ﹣2 0 ﹣1 4 0 6 1 6 2 4 3 0 … … （1）求这个二次函数的表达式； （2）直接写出当y＜0时x的取值范围．
20．（5分）如图，有四张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别是红桃、方块、黑桃、梅花，其中红桃、方块为红色，黑桃、梅花为黑色．小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，摸出一张，将剩余3张洗匀后再摸出一张．请用画树状图或列表的方法求摸出的两张牌均为黑色的概率．
21．（5分）已知：如图，⊙O的半径是5cm，PA、PB切⊙O于点A、B两点，∠PAB=60°．求AB的长．
22．（5分）石头剪子布，又称“猜丁壳”，是一种起源于中国流传多年的猜拳游戏．游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”．两人游戏时，若出现相同手势，则不分胜负游戏继续，直到分出胜负，游戏结束．三人游戏时，若三种手势都相同或都不相同，则不分胜负游戏继续；若出现两人手势相同，则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，此时，参照两人游戏规则．例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜．假定甲、乙、丙三人每次都是随机地做这三种手势，那么：
（1）请你用画树状图或列表的方式，求出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率；
（2）请直接写出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
2016-2017学年北京师大附中九年级（上）期中数学试卷（解析版）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的（请将答案写在答题纸上）.
1．抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（2，1） 【考点】二次函数的性质．
【分析】已知抛物线的顶点式，可知顶点坐标和对称轴． 【解答】解：∵y=（x﹣2）+1是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知， 对称轴为直线x=2， 故选D．
【点评】考查了二次函数的性质，顶点式y=a（x﹣h）+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．
2．如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数是（ ）
2
2
A．40° B．50° C．60° D．80° 【考点】圆周角定理．
【分析】直接根据圆周角定理进行解答即可．
【解答】解：∵∠AOB与∠ACB是同弧所对的圆心角与圆周角，∠AOB=100°， ∴∠ACB=∠AOB=50°． 故选B．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球，下列事件是必然事件的是（ ） A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球 B．摸出的三个球中至少有一个球是白球 C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球 D．摸出的三个球中至少有两个球是白球 【考点】随机事件．
【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断． 【解答】解：A、是必然事件； B、是随机事件，选项错误； C、是随机事件，选项错误； D、是随机事件，选项错误． 故选A．
【点评】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠BOD等于（ ）
A．20° B．30° C．40° D．60° 【考点】圆周角定理；垂径定理．
【分析】由线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，根据垂径定理的即可求得：由圆周角定理，即可求得答案．
【解答】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，
=
，然后
∴=，
∴∠BOD=2∠CAB=2×20°=40°． 故选C．
【点评】此题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
5．有一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成6 个大小相同的扇形．在转盘的适当地方涂上灰色，未涂色部分为白色．为了使转动的转盘停止时，指针指向灰色的概率为，则下列各图中涂色方案正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概率．
【分析】指针指向灰色区域的概率就是灰色区域的面积与总面积的比值，计算面积比即可． 【解答】解：A、指针指向灰色的概率为2÷6=，故选项错误； B、指针指向灰色的概率为3÷6=，故选项错误； C、指针指向灰色的概率为4÷6=，故选项正确； D、指针指向灰色的概率为5÷6=，故选项错误． 故选：C．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
6．抛物线y=﹣2x向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ）
A．y=﹣2（x+1）2+3 B．y=﹣2（x+1）2﹣3 C．y=﹣2（x﹣1）2﹣3 D．y=﹣2（x﹣1）2+3 【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据“左加右减，上加下减”进行解答即可．
2
【解答】解：抛物线y=﹣2x向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为y=﹣2（x+1）2﹣3， 故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数与几何变换，关键是掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
7．如图，已知⊙O的半径为4，则它的内接正方形的边长为（ ）
2
A．4 B．8 C．8 D．4
【考点】正多边形和圆．
【分析】利用正方形的性质结合勾股定理得出正方形ABCD的边长． 【解答】解：如图所示：
∵⊙O的半径为4，四边形ABCD是正方形， ∴OA=OB=4，∠AOB=90°， ∴AB=故选：D．
=4
．
【点评】此题主要考查了正多边形和圆、勾股定理；正确掌握正方形的性质是解题关键．
8．若二次函数y=x+bx的图象的对称轴是直线x=2，则关于x的方程x+bx=5的解为（ ） A．x1=0，x2=4
B．x1=1，x2=5
C．x1=1，x2=﹣5 D．x1=﹣1，x2=5
2
2
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】根据题意可知抛物线经过点（0，0），由抛物线的对称性可求得b=﹣4，然后将b=﹣4代入方程得到关于x的一元二次方程，最后的方程的解即可． 【解答】解：令y=0得：x2+bx=0．
解得：x1=0，x2=﹣b． ∵抛物线的对称轴为x=2， ∴﹣b=4． 解得：b=﹣4．
将b=﹣4代入x+bx=5得：x﹣4x=5．
整理得：x﹣4x﹣5=0，即（x﹣5）（x+1）=0． 解得：x1=5，x2=﹣1． 故选：D．
【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性求得b的值是解题的关键．
9．已知点A（﹣1﹣
，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）在抛物线y=（x﹣1）+c上，则
2
2
2
2
y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y3＞y1 【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据二次函数的解析式找出其开口方向及对称轴，再结合二次函数的性质以及点A、B、C三点的横坐标，即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线解析式为y=（x﹣1）+c， ∴抛物线开口向上，对称轴为x=1， ∵|﹣1﹣∴2+
﹣1|=2+
，|﹣1﹣1|=2，|2﹣1|=1，
2
＞2＞1，
∴y1＞y2＞y3． 故选A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的解析式找出A、B、C三点离对称轴的距离的远近是解题的关键．
10．小阳在如图①所示的扇形舞台上沿O﹣M﹣N匀速行走，他从点O出发，沿箭头所示的方向经过点M再走到点N，共用时70秒．有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小阳的走路过程，设小阳走路的时间为t（单位：秒），他与摄像机的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图②，则这个固定位置可能是图①中的（ ）
A．点Q B．点P C．点M D．点N 【考点】动点问题的函数图象．
【分析】根据小阳运动轨迹，结合图①与②，确定出摄像机所在的固定位置即可． 【解答】解：从图②图象上观察得到小阳沿着O﹣M匀速行走时，离摄像机距离越来越近；在弧M﹣N行走时，离摄像机距离先越来越近，再越来越远， 观察图①可得：这个固定位置可能是图①中的P点． 故选：B．
【点评】此题考查了动点问题的函数图象，弄清图象中的数据及变化过程是解本题的关键．
二、填空题（本题共18分，每小题3分．请将答案写在答题纸上）.
11．二次函数y=﹣3x2+1的图象如图所示，将其沿x轴翻折后得到的抛物线的解析式为 y=3x2﹣1 ．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据二次函数图象与几何变换，将y换成﹣y，整理后即可得出结论． 【解答】解：将二次函数y=﹣3x+1的图象沿x轴翻折后得到的抛物线的解析式为﹣y=﹣3x2+1，
整理得：y=3x﹣1． 故答案为：y=3x2﹣1．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，牢记沿x轴翻折将y换成﹣y是解题的关键．
2
2
12．“双十二”期间，小冉的妈妈在网上商城给小冉买了一个书包，除了书包打八折外还随机赠送购买者1支笔（除颜色外其它都相同且数量有限）．小冉的妈妈购买成功时，还有5支黑色，3支绿色，2支红色的笔．那么随机赠送的笔为绿色的概率为 【考点】概率公式．
【分析】让绿色的笔的个数除以笔的总个数即为所求的概率． 【解答】解：∵一共有5+3+2=10支笔，其中有3支绿色的， ∴随机赠送的笔为绿色的概率故答案为：
．
；
．
【点评】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，明确概率的意义是解题的关键．
13．在某次试验数据整理过程中，某个事件发生的频率情况如表所示．
试验次数 事件发生的 频率 估计这个事件发生的概率是 0.25 （精确到0.01）． 【考点】利用频率估计概率．
【分析】根据用频率估计概率解答即可．
【解答】解：由表格中数据可得：这个事件发生的概率是：0.25， 故答案为：0.25．
【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解答此题关键是用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
14．在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，5为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是 相交 ．
【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．
【分析】可先求出圆心到y轴的距离，再根据半径比较，若圆心到y轴的距离大于圆心距，y轴与圆相离；小于圆心距，y轴与圆相交；等于圆心距，y轴与圆相切． 【解答】解：圆心到y轴的距离是3＜5，
10 0.245 50 0.248 100 0.251 200 0.253 500 0.249 1000 0.252 2000 0.251 则圆的y轴所在直线的位置关系是相交． 故答案是：相交．
【点评】此题考查的是圆与直线的关系，即圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，则直线与圆相切．
15．已知二次函数y1=ax+bx+c与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）．如图所示，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是 x＜﹣2或x＞8 ．
2
【考点】二次函数与不等式（组）． 【分析】直接根据函数的图象即可得出结论．
【解答】解：∵由函数图象可知，当x＜﹣2或x＞8时，一次函数的图象在二次函数的上方， ∴能使y1＞y2成立的x的取值范围是x＜﹣2或x＞8． 故答案为：x＜﹣2或x＞8．
【点评】本题考查的是二次函数与不等式，能利用数形结合求解是解答此题的关键．
16．阅读下面材料：
在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：
小敏的作法如下：
老师认为小敏的作法正确．
请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是 直径所对的圆周角是直角 ；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ．
【考点】作图—复杂作图；切线的判定与性质．
【分析】直接根据圆周角定理即可得出∠OAP=∠OBP=90°，由切线的性质即可得出结论． 【解答】解：∵OP是⊙O的直径， ∴∠OAP=∠OBP=90°．
∴直线PA，PB都是⊙O的切线．
故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【点评】本题考查的是作图﹣复杂作图，熟知圆的切线的作法及圆周角定理是解答此题的关键．
三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17．已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3．
（1）与x轴的交点坐标是 （3，0）、（﹣1，0） ；顶点坐标是 （1，﹣4） ； （2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线． x y … … … …
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】（1）令y=0，则x2﹣2x﹣3=0，解方程求出与x轴的交点，再将解析式配方得出顶点坐标（1，﹣4）； （2）利用五点法画出图象．
【解答】解：（1）y=x﹣2x﹣3=（x﹣1）﹣4， 则顶点为（1，﹣4）， 当y=0时，x﹣2x﹣3=0， （x﹣3）（x+1）=0， x1=3，x2=﹣1，
则与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0）； 故答案为：（3，0）、（﹣1，0）；（1，﹣4）； （2）列表如下：
2
2
2
【点评】本题是二次函数的图象与x轴的交点与画函数图象的问题，比较简单，属于二次函数中的基础题；考查了二次函数与x轴交点坐标的求法：令y=0，得关于x的一元二次方程，解方程可得交点坐标；同时要知道五点法画二次函数的图象：①五点是指：顶点、与x轴的两个交点、与y轴交点及其对称点（也可取任意两个对称点），②计算出五点的坐标，③再列表、描点，连线即可．
18．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），求该光盘的直径是多少？
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】先过点O作OA垂直直尺与点A，连接OB，再设OB=r，利用勾股定理求出r的值即可得出答案．
【解答】解：过点O作OA垂直直尺与点A，连接OB，设OB=r， ∵一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”， ∴AB=4， ∵刻度尺宽2cm， ∴OA=r﹣2， 在Rt△OAB中，
OA+AB=OB，即（r﹣2）+4=r， 解得r=5，
则该光盘的直径是10cm．
2
2
2
2
2
2
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理及切线的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
19．抛物线y=ax+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x y … … ﹣2 0 ﹣1 4 0 6 1 6 2 4 3 0 … … 2
（1）求这个二次函数的表达式； （2）直接写出当y＜0时x的取值范围．
【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式． 【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的表达式； （2）画图象，根据图象直角写出当y＜0时x的取值范围． 【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y=a（x+2）（x﹣3）， 把（0，6）代入得：6=﹣6a， a=﹣1，
∴抛物线的表达式为：y=﹣（x+2）（x﹣3）=﹣x2+x+6；
（2）如图所示，由图象得：当y＜0时，x的取值范围是：x＜﹣2或x＞3．
【点评】本题考查了利用待定系数法求二次函数的表达式和抛物线与x轴的交点；利用图象直接得出当y＞0和y＜0时x的取值范围都与抛物线与x轴的交点有关，明确△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
20．如图，有四张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别是红桃、方块、黑桃、梅花，其中红桃、方块为红色，黑桃、梅花为黑色．小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，摸出一张，将剩余3张洗匀后再摸出一张．请用画树状图或列表的方法求摸出的两张牌均为黑色的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与摸出的两张牌均为黑色的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：列表法： A B C D A AB AC AD B AB CB DB C AC BC DC D AD BD CD ∵共有12种等可能的结果，摸出的两张牌均为黑色的有2种情况， ∴P（摸出的两张牌均为黑色）=
=．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．已知：如图，⊙O的半径是5cm，PA、PB切⊙O于点A、B两点，∠PAB=60°．求AB的长．
【考点】切线的性质．
【分析】首先连接OA，由PA、PB分别与相切⊙O于点A、B，∠PAB=60°，易得△ABP是等边三角形，则可求得AP的长，继而求得答案． 【解答】解：连接AO，
∵PA、PB分别与相切⊙O于点A、B， ∴PA=PB，∠APO=∠APB， ∵∠PAB=60°， ∴△ABP是等边三角形， ∴∠APO=30°， ∵∠PAO=90°， ∴PO=10，PA=5∴PA=AB=5
．
，
【点评】此题考查了切线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
22．石头剪子布，又称“猜丁壳”，是一种起源于中国流传多年的猜拳游戏．游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”．两人游戏时，若出现相同手势，则不分胜负游戏继续，直到分出胜负，游戏结束．三人游戏时，若三种手势都相同或都不相同，则不分胜负游戏继续；若出现两人手势相同，则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，此时，参照两人游戏规则．例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜．假定甲、乙、丙三人每次都是随机地做这三种手势，那么：
（1）请你用画树状图或列表的方式，求出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率；
（2）请直接写出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率． 【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）根据题意画出树状图，再根据甲、乙两人出第一次手势时，共有9种等可能的结果数，其中出现相同手势的结果数为3，于是根据概率公式可计算出不分胜负的概率；
（2）根据题意得出所有27种等可能的结果数，再找出三种手势都相同或都不相同的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）根据题意画图如下：
甲、乙两人出第一次手势时，共有9种等可能的结果数，其中出现相同手势的结果数为3， 则一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率=；
（2）∵游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，共有27种等可能的结果数，其中三种手势都相同或都不相同的结果数为9，
∴甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率
=；
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23．如图：△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=45°，∠AOC=150°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D． （1）求证：CD=CB； （2）如果⊙O的半径为
，求AB的长．
【考点】切线的性质；三角形的外接圆与外心．
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，射线OA：y=x（x≥0），圆C是以3为半径的
圆，且圆心C在x轴上运动，若射线OA上存在点到圆C的距离跨度为2，直接写出圆心C的横坐标xc的取值范围．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）①先根据跨度的定义先确定出点到圆的最小距离d和最大距离D，即可得出跨度；
②分点在圆内和圆外两种情况同①的方法计算，判定得出结论；
（2）先判断出存在的点P必在圆O内，设出点P的坐标，利用点P到圆心O的距离的2倍是点P到圆的距离跨度，建立方程，由于存在距离跨度是2的点，此方程有解即可得出k的范围．
（3）同（2）方法判断出存在的点P在圆C内部，由于在射线OA上存在距离跨度是2的点，同（2）的方法建立方程，用一元二次方程根与系数的关系和根的判别式即可确定出范围． 【解答】解：（1）如图1，
①∵图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，∴直径为4， ∵A（﹣1，0），OA=1，
∴点A到⊙O的最小距离d=MA=OM﹣OA=1， 点A到⊙O的最大距离D=AN=ON+OM=2+1=3，
∴点A到图形G1的距离跨度R=D﹣d=3﹣1=2； ∵B（，﹣
），∴OB=
=1，
∴点B到⊙O的最小距离d=BG=OG﹣OB=1， 点B到⊙O的最大距离D=BF=FO+OB=2+1=3， ∴点B到图形G1的距离跨度R=D﹣d=3﹣1=2； ∵C（﹣3，2）， ∴OC=
=
，
﹣2， ﹣（
﹣2）=4；
∴点C到⊙O的最小距离d=CD=OC﹣OD=点C到⊙O的最大距离D=CE=OC+OE=2+∴点C到图形G1的距离跨度R=D﹣d=2+∴圆，
理由：①设⊙O内一点P的坐标为（x，y）， ∴OP=
，
∴点P到⊙O的最小距离d=2﹣OP，点P到⊙O的最大距离D=2+OP， ∴点P到图形G1的距离跨度R=D﹣d=2+OP﹣（2﹣OP）=2OP； ∵图形G1的距离跨度为2， ∴2OP=2， ∴OP=1， ∴
2
2
=1，
∴x+y=1，
即：到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心，1为半径的圆． ②设⊙O外一点Q的坐标为（x，y）， ∴OQ=
，
∴点Q到⊙O的最小距离d=OQ﹣2，点P到⊙O的最大距离D=OQ+2， ∴点P到图形G1的距离跨度R=D﹣d=OQ+2﹣（OQ﹣2）=4； ∵图形G1的距离跨度为2， ∴此种情况不存在，
所以，到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心，1为半径的圆．
故答案为：圆；
（2）设直线y=k（x+1）上存在到G2的距离跨度为2的点P（m，k（m+1））， ∴OP=
，
由（1）②知，圆内一点到图形圆的跨度是此点到圆心距离的2倍，圆外一点到图形圆的跨度是此圆的直径，
∵图形G2为以C（1，0）为圆心，2为半径的圆，到G2的距离跨度为2的点， ∴距离跨度小于图形G2的圆的直径4， ∴点P在图形G2⊙C内部， ∴R=2OP=2
，
∵直线y=k（x+1）上存在到G2的距离跨度为2的点P， ∴2
2
2
2
2
=2，
∴（k+1）m+2（k﹣1）m+k=0①， ∵存在点P， ∴方程①有实数根，
∴△=4（k﹣1）2﹣4×（k+1）k=﹣9k+4≥0， ∴﹣
，
2
2
2
2
（3）同（2）的方法得出，射线OA上存在点P到圆C的距离跨度为2时，点P在圆内， 设点P（n，
n），（n＞0），
=×2=1，
∵圆心C（x2，0），∴PC=∴n﹣2x2n+x2﹣1=0，
∴射线OA上存在点到圆C的距离跨度为2，
2
2
∴，
∴1≤x2≤2．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了新定义，理解和应用新定义解决问题
百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库九年级数学上学期期中试卷(含解析)北师大版在线全文阅读。
相关推荐：