2007级数学分析第2学期期中考试解答2008-4-30

上 海 交 通 大 学 试 卷 （ 2007 至 2008 学年 第二学期2008年4月30日 ） 班级号_______________________ 学号______________ 姓名 课程名称 《工科数学分析》（电院及软院、期中考试） 成绩 一、填空题（每题4分，共20分）

annx的收敛半径是 R?2 .

n?0n?0n212 函数f(x)?xe?x在x?0处的高阶导数f(11)(0)=? .

5!1 幂级数?anx的收敛域是[?4,4]，则?2n??3 设f(x)是以2π为周期的周期函数，且f(x)?x2,x?[?π,π]，又an是f(x)的

2,，则在[?π,π]上级数Fourier系数(n?1,?1S(x)?x2?π2 .

3?an?1?ncosnx的和函数

4 设平面点集E?{(x,y)|(x2?y2)(y2?x2?1)?0}，则E0=?x,y?y2?x2?1.

?E=?x,y?y2?x2?1???0,0?? .

????5 极限lim((x?1)2?y)sinx?1y?011cos=0 . x?1y二、选择题（每题4分，共16分） 1在下列无穷级数中，收敛的级数是【(A)】

?n?(A) ?ne?n； (B) ?(?1)n??；

n?1??n?1n?1(?1)n?n(C) ?ln(1?n)； (D) ?.

n?1nnn?1n?1???n1?2 下列断语中正确的是【(C)】

① 设函数列{fn(x)}、{gn(x)}分别在D上一致收敛，则{fn(x)?gn(x)}在D上一致收敛；

② 设函数列{fn(x)}、{gn(x)}分别在D上一致收敛，则{fn(x)gn(x)}在D上一致

收敛；

③ 设函数列{fn(x)}在D上一致收敛于f(x)，且f(x)在D上有界，则{fn2(x)}在D上一致收敛.

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(A) ①、②和③； (B) ①和②； (C) ①和③； (D) ②和③. 3 若幂级数?an(x?2)n在x?3处条件收敛，则下列断语中错误的是【(D)】

n?0?(A) ?an(x?2)n的收敛半径r?1； (B) ?an(x?2)n在[2,3]上一致收敛；

(C) ?an(x?2)n的和函数f(x)在[2,3]上一致连续；

(D) ?an(x?2)的和函数f(x)在[2,3]上可导且f?(x)??nan(x?2)n?1.

nn?0n?1n?0??n?0??n?0?4 二元函数f(x,y)，则下列结论正确的是【(D)】

(A) 若limf(x,y)?a ，则limlimf(x,y)?limlimf(x,y)?a；

x?x0y?y0y?y0x?x0x?x0y?y0(B) 若limlimf(x,y)?limlimf(x,y)?a，则limf(x,y)?a；

y?y0x?x0x?x0y?y0x?x0y?y0(C) 若limlimf(x,y)或limlimf(x,y)不存在，则limf(x,y)也不存在；

y?y0x?x0x?x0y?y0x?x0y?y0(D) 以上结论均不正确. 三、判断及说明题（每题6分，共12分）

1 设幂级数?anx和?bnx的收敛半径都为r，则?(an?bn)xn的收敛半径也

nnn?0n?0n?0???为r.

解 错误 --------3分 反例 ?anx???x;nnn?0n?0???bxnn?0?n??x，易见r?1，但?(an?bn)xn?0，收

nn?0n?0??敛半径为??. --------6分

?sinnx2 说明级数?点态收敛，但不可能是任何可积或绝对可积函数的Fourier

lnnn?2级数.

解 由于当x?0时，?sinkx?0；

k?2n32n?1cosx?cosxn122?当x?0时，?sinkx?

11k?22sinxsinx22??1?故?sinkx部分和有界，又注意到数列??单减收敛于0，由Dirichlet判别法

?lnn?k?2可知原级数点态收敛. --------3分

??bn1 用积分判别法容易说明级数???发散，不满足三角级数是某个可

nnlnnn?1n?1积与绝对可积函数的Fourier级数的必要条件. ----------6分

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四、计算题（每小题9分，共18分）

?n2?1xn的和函数； 1 求幂级数?n?1n?n2?1n解 ?x的收敛区间为(?1,1)， --------1分

nn?1???n2?1n1n ?x??nx??xn?f(x)?g(x), 则当x?(?1,1)时有

nn?1n?1n?1n?????x?? f(x)??nxn?x?nxn?1?x?(xn)??x??xn?? --------4分 2(1?x)n?1n?1n?1?n?1????1n1??1n? g?(x)???x???(x)???xn?1?，

1?xn?1nn?1?n?1n?xx1dx??lnx?1, --------8分 g(x)??g?(x)dx?g(0)??001?x?n2?1xxn＝于是 ??lnx?1，x?(?1,1) --------9分 2n?1n?1?x?

x2 将函数y?展开成x的幂级数，并确定其收敛域. 22?x?x解 因为

x2111??? --------2分

32?x31?x2?x?x221111111 ?? ????x31?x32?x31?x31?2nn?1?1??x?1?n1???1??n?x --------7分 1? ????????x???n??3n?0?2?3n?02n?03??x?1,x?1 ?x?1 2又当x??1时上述级数均发散，故收敛域为??1,1? --------9分

五、(12分)将函数f(x)?sinx(?π?x?π)展开为Fourier级数，写出其和函数

收敛区间 由?1. 2224n?1(4n?1)n?1n?1解 由于函数f(x)为偶函数，故 bn?0,n?1,2,? -------2分 并求?1?、??1π4π4a0??sinxdx??2sinxdx?，

π?ππ0π1π2π?1a1??sinxcosxdx??sinxcosxdx?cos2x?π0ππ2π当n?1时，

π0?0

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1π2π1πan??sinxcosnxdx??sinxcosnxdx??[sin(n?1)x?sin(n?1)x]dxπ?ππ0π0 n?1n?1?1cos(n?1)xcos(n?1)xπ?1(?1)?1(?1)?1?[?]0?[?]πn?1n?1πn?1n?1当n为奇数时?0,? -----------6分 ??-4,当n＝2k?π(4k2?1)?于是f(x)的Fourier级数为

24?cos2nxf(x)???2?sinx,(?π?x?π) -----------7分

ππn?14n?1在上式中令x?0，得

?11＝ -----------9分 ?22n?14n?1根据Parseval等式得，

?2?2?2??1π?1??π???4?2?sinxdx?1 ????2???π2π?π?n?1?4n?1?于是

21π21π2?2 -----------12分 ????2216816n?1(4n?1)?n2?n六、(12分) 设有函数项级数?(?1)2， nx?2n?22?nn?n(1) 证明?(?1)2在(??,??)上一致收敛； nx?2n?22?nn?n(2) 计算极限lim?(?1)2. nx?0x?2n?2?n解 (1)由于对?x?(??,??),?n?N，有

n2?nn2?n(?1)2?

x?2n2nnn2?n且 ?n收敛（根值判别法）

2n?2?因而原函数项级数在(??,??)上一致收敛。 ------------------4分

n2?n?C(??,??)，且原函数项级数在(??,??)上一致收敛，(2) 注意到(?1)2nx?2n故和函数在(??,??)上连续，从而

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2?n2?nnn?n lim?(?1)2??(?1)nnx?0x?22n?2n?2?n??令 g(x)??(n?n)x??n(n?1)xn， x?(?1,1 ) ----------6分

2nn?2n?2利用逐项积分得，?x?(?1,1)

?x0g(x)dx???x?0?(nn?22?n)xdx???n(n?1)xdx??nxnnn?20n?2n?1?x?n?1??(n?2?2)xn?1n?2???(n?2)xn?2n?1?2?xn?2???(xn?2?n?22x3??n?2??2x3)?????x??1?x?n?2?1?x

?x4??2x32x3?x4?????2?1?x?1?x(1?x)?2x3?x4??6x2?6x3?2x4于是 g(x)?? -----------10分 ?2?3(1?x)?(1?x)?2?n2?n119nn?n故 lim?(?1)2 --------12分 ?(?1)?g(?)??nnx?0x?22227n?2n?2?n七、(10分)(1) 证明：对于任意正整数n，方程xn?nx?1?0存在唯一正根，记之为xn；

?(2) 试定出?的取值范围，使级数?xn收敛.

n?1?,?，)且证及解 (1) 令 f(x)?xn?nx?1,x?[0,??)，易见f(x)?D[0?f(0)??1?0,lifmx(?)?，?f?(x)?nxn?1?n?0(?x?0,n?N)，根据零点存在

x???定理及函数的严格单调性知对于任意正整数n，方程xn?nx?1?0存在唯一正根，记之为xn。 -------------4分

n1?xn1n?0，且 (2) 由x?nxn?1?0知，0?xn?且xn?，于是limxnn??nn?xn?limn?lim(1?xn)?1 ----------8分 n??1n??n?nn?根据已知结论知，级数?xn仅当??1时收敛. ----------10分

n?1?

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