2016 1海淀区高三上学期期末数学理试题

海淀区高三年级第一学期期末练习

数学（理科）2016.1

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1. 已知(1?bi)i??1?i(b?R)，则b的值为

A.1 B.?1 C. i D.?i 2. 抛物线x2?4y的准线与y轴的交点的坐标为

A. (0,?) B.(0,?1) C.(0,?2) D.(0,?4)

12????????????3. 如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若AD??AC??AE，

则???的值为

A. 3 B.2 C. 1 D.?3 4. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a值为1，则输 出的a值为

A.1 B.2 C.3 D.5 5. 已知数列A:a1,a2,a3,a4,a5，其中ai?{?1,0,1},i?1,2,3,4,5, 则

DECAB 开始 输入 满足a1?a2?a3?a4?a5?3的不同数列A一共有

否A. 15个 B.25个 C.30个 D.35个 6. 已知圆C：(x?2)2?y2?4, 直线l1:y?3x，l2:y?kx?1 若l1,l2被圆C所截得的弦的长度之比为1:2，则k的值为 A.

是输出 结束 3 B.1 C.

31 D.

32?x?y+2?0,?7. 若x,y满足?x?y?4?0, 则z?y?2|x|的最大值为

?y?0,? A.?8 B.?4 C.1 D.2

8. 已知正方体ABCD?A'B'C'D'，记过点A与三条直线AB,AD,AA'所成角都相等的直线条数为m, 过点A与三个平面．．AB',AC,AD'所成角都相等的直线的条数为n，则下面结论正确的是 A. m?1,n?1 B. m?4,n?1 C. m?3,n?4 D. m?4,n?4

1

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

y29. 已知双曲线x?2?1(b?0)的一条渐近线过点(1,2),则b?___,其离心率为__.

b110. 在(x?2)6的展开式中，常数项为____.（用数字作答）

x211. 已知等比数列?an?的公比为2，若a2?a3?4，则a1?a4?___. 12. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥中最长棱的棱长为___.

x?x?0,?2?a,13. 已知函数f(x)??2 若f(x)的最小值是a，

??x?ax,x?0.22主视图11左视图则a?__.

14. 已知?ABC，若存在?A1B1C1，满足 一个“友好”三角形.

俯视图cosAcosBcosC???1,则称?A1B1C1是?ABC的 sinA1sinB1sinC1(i) 在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是____：（请写出符合要求的条件的序号） ①A?90?,B?60?,C?30? ；②A?75?,B?60?,C?45?； ③A?75?,B?75?,C?30?.

(ii) 若等腰?ABC存在“友好”三角形，且其顶角的度数为___.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15. （本小题满分13分）

已知函数f(x)?22cosxsin(x?)?1. （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求函数f(x)在区间[

2

π4ππ，]上的最大值与最小值的和. 126

16. （本小题满分13分）

已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A症状的概率为. 为了研究连续服用该 药物后出现A症状的情况，做药物试验.试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用 药周期. 假设每次用药后当天是否出现A症状的出现与上次用药无关. （Ⅰ）如果出现A症状即停止试验”，求试验至多持续一个用药周期的概率；

（Ⅱ）如果在一个用药周期内出现3次或4次A症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至多持续两个周期. 设药物试验持续的用药周期数为?，求?的期望.

17. （本小题满分14分）

如图，在四棱锥P?ABCD中，PB?底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD??BC，AD?AB，且

13PB?AB?AD?3,BC?1.

PF1（Ⅰ）若点F为PD上一点且PF?PD，

3证明：CF?平面PAB； （Ⅱ）求二面角B?PD?A的大小；

（Ⅲ）在线段PD上是否存在一点M，使得CM?PA?

若存在，求出PM的长；若不存在，说明理由.

18. （本小题满分13分）

已知函数f(x)?kx?(k?1)lnx?（Ⅰ）当k?BCAD1. x1时，求函数f(x)的单调区间和极值； 2（Ⅱ）求证：当0?k?1时，关于x的不等式f(x)?1在区间[1,e]上无解.

（其中e?2.71828?）

3

19. （本小题满分14分）

x2y23已知椭圆W:2?2?1(a?b?0)的离心率为，其左顶点A在圆O:x2?y2?16上.

ab2（Ⅰ）求椭圆W的方程；

（Ⅱ）若点P为椭圆W上不同于点A的点，直线AP与圆O

的另一个交点为Q. 是否存在点P，使得

y |PQ|?3? |AP|A O B x 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

20. （本小题满分13分）

若实数数列{an}满足an?2?an?1?an(n?N*)，则称数列{an}为“P数列”. （Ⅰ）若数列{an}是P数列，且a1?0,a4?1，求a3，a5的值；

(Ⅱ) 求证：若数列{an}是P数列，则{an}的项不可能全是正数，也不可能全是负数；

(Ⅲ) 若数列{an}为P数列，且{an}中不含值为零的项，记{an}前2016项中值为负数的项的个数为m，求m所有可能取值.

4

海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案

数学（理科） 2016.1

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 C 5 A 6 C 7 D 8 D 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分. 题号 答案 9 10 11 12 13 14 ②；45? 2 ;5 15 6 23 ?4 说明：第9，14题第一空3分，第二空2分 三、解答题: 本大题共6小题，共80分.

15．解：（Ⅰ）因为f(x)?22cosxsin(x?)?1

π4?22cosx[2(sinx?cosx)]?1…………………………….1分 2?2cosx(sinx?cosx)?1

?2cosxsinx?2cos2x?1…………………………….5分

（两个倍角公式，每个各2分）

?sin2x?cos2x

π?2sin(2x?)…………………………….6分

4所以函数f(x)的最小正周期T?2π?π. …………………………….7分 |?|πππππππ，]，所以2x?[，]，所以(2x?)?[?，]. ………………………….8分 1266341212πππ当2x???时，函数f(x)取得最小值2sin(?); …………………………….10分

41212πππ当2x??时，函数f(x)取得最大值2sin, …………………………….12分

12412ππ因为2sin(?)?2sin()?0,

1212（Ⅱ）因为x?[

5

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