MATLAB实验矩阵代数

实验名称： 矩阵代数

实验目的： 1、学习MATLAB有关线性代数运算的指令。 2、熟悉掌握矩阵除法，解矩阵方程组和矩阵相似对角化的问题。 3、研究建模实验中投入产出分析、基因遗传等应用问题。 实验项目： 1、用矩阵除法解线性方程组并判断解的意义。 2、解建模试验中投入与产出的应用问题。 3、求矩阵的行列式、逆、特征值和特征向量。 4、求矩阵的秩和它的一个最大线性无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示。 实验具体过程： ?4?33??x1???1???????2.（2）题目：?32?6??x2?=??2? ?1?53??x??1????3??? 对实验题目的解答： 用键盘键入>> a=[4 -3 3;3 2 -6;1 -5 3];b=[-1;-2;1] rank(a),rank([a,b]) ans = 3 ans = 3 ∴方程有唯一解 >>x=a\\b x = -0.4706 -0.2941 0 该解是一个唯一解 ?41???2、（3）题目：?32? ?1?5????x1???= ?x2??1????1? ?1??? 对实验题目的解答： 用键盘键入 >> clear;a=[4 1;3 2;1 -5];b=[1;1;1];rank(a),rank([a,b]) 命令执行后，屏幕显示如下： ans = 2 ans =

3 ∴方程组是超定方程组，无解。 >>x=a\\b 命令执行后，屏幕显示如下： x = 0.3311 -0.1219 该解是最小二乘意义上的近似解，使得向量ax-b的范数达到最小 ?x1?21?11?????1???x??2、（4）题目：?121?1??2?=?2? x3????1121???????3??x4?对实验题目的解答： 用键盘键入>> a=[2 1 -1 1;1 2 1 -1;1 1 2 1];b=[1;2;3] ;rank(a),rank([a,b]) 命令执行后，屏幕显示如下： ans = 3 ans = 3 ∴方程有无穷多解 >>x=a\\b 命令执行后，屏幕显示如下： x = 1 0 1 0 该解是方程的一个特解。 5. (经济预测)在某经济年度内，各经济部门的投入产出如表（单位：亿元） 消耗部门 最后需求 总产值 工 业 农 业 第三产业 生产工 业 6 2 1 16 25 部门 农 业 2.25 1 0.2 1.55 5 第三产业 3 0.2 1.8 15 20 假设某经济年度工业、农业及第三产业的最后需求均为17亿元，预测该经济年度工业、农业及第三产业的产出。 解题思路： 对于一个特定的经济系统而言，直接消耗矩阵和leontief矩阵可视作不变。因此可以利用分配平衡方程组解题。

分别设工业、农业、第三产业的总产出为x1,x2,x3。 ?x1?(6x1?2x2?x3)?17?x1??17???????x2?(2.25x1?x2?0.2x3)?17 产出向量X=?x2?，外界需求向量D=?17?，直接?x?(3x?0.2x?1.8x)?17?17??x???123?3??321??2500??6????0.2?/?050?，A=E-C. 消耗矩阵C=?2.251?3??0.21.18????0020?对实验题目的解答： >> B=[6 2 1;2.25 1 0.2;3 0.2 1.8];x=[25;5;20]; >> C=B/diag(x) C = 0.2400 0.4000 0.0500 0.0900 0.2000 0.0100 0.1200 0.0400 0.0900 >> A=(eye(3)-C) A = 0.7600 -0.4000 -0.0500 -0.0900 0.8000 -0.0100 -0.1200 -0.0400 0.9100 >> D=[17;17;17];X=A\\D X = 37.5696 25.7862 24.7690 6.题目.求下列矩阵的行列式、 逆、特征值和特征向量。 ?56????156?15??，n分别为5，50和500 n阶方阵?????6???15??? 解题思路： 利用diag(X,n)构造矩阵；用det(A)求矩阵的行列式；用inv(A)求矩阵的逆；用[v,d]=eig(A)求矩阵的特征值和特征向量。 对题目的解答： （1） n=5时的情况。 n=5; >> x0=5*ones(1,5);x1=6*ones(1,n-1);x2=ones(1,n-1); >> A=diag(x0)+diag(x1,1)+diag(x2,-1)

A = 5 6 0 0 0 1 5 6 0 0 0 1 5 6 0 0 0 1 5 6 0 0 0 1 5 >> det(A) %求矩阵的行列式 ans = 665 >> inv(A) %求矩阵的逆 ans = 0.3173 -0.5865 1.0286 -1.6241 1.9489 -0.0977 0.4887 -0.8571 1.3534 -1.6241 0.0286 -0.1429 0.5429 -0.8571 1.0286 -0.0075 0.0376 -0.1429 0.4887 -0.5865 0.0015 -0.0075 0.0286 -0.0977 0.3173 >> [v,d]=eig(A) v = -0.7843 -0.7843 -0.9237 0.9860 -0.9237 0.5546 -0.5546 -0.3771 -0.0000 0.3771 -0.2614 -0.2614 0.0000 -0.1643 -0.0000 0.0924 -0.0924 0.0628 -0.0000 -0.0628 -0.0218 -0.0218 0.0257 0.0274 0.0257 d = 0.7574 0 0 0 0 0 9.2426 0 0 0 0 0 7.4495 0 0 0 0 0 5.0000 0 0 0 0 0 2.5505 （2） n=50的情况。（输出的结果略） n=50; >> x0=50*ones(1,5);x1=6*ones(1,n-1);x2=ones(1,n-1); >> A=diag(x0)+diag(x1,1)+diag(x2,-1) >> det(A) %求矩阵的行列式 >> inv(A) %求矩阵的逆 >> [v,d]=eig(A ) %求矩阵的特征值和特征向量。 （3）n=500的情况。（输出结果略）

n=500; >> x0=500*ones(1,5);x1=6*ones(1,n-1);x2=ones(1,n-1); >> A=diag(x0)+diag(x1,1)+diag(x2,-1) >> det(A) %求矩阵的行列式 >> inv(A) %求矩阵的逆 >> [v,d]=eig(A ) %求矩阵的特征值和特征向量。 9.题目：求下列向量组的秩和它的一个最大线性无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示。 ?1?(4,?3,1,3),?2?(2,?1,3,5),?3?(1,?1,?1,?1),?4?(3,?2,3,4),?5?(7,?6,?7,0) 解题思路： 用rank(A)求矩阵的秩；用rref（A）求矩阵的行最简形。再根据高等代数的知识解题。 对实验题目的解答： >> A=[4 2 1 3 7;-3 -1 -1 -2 -6;1 3 -1 3 -7;3 5 -1 4 0] A = 4 2 1 3 7 -3 -1 -1 -2 -6 1 3 -1 3 -7 3 5 -1 4 0 >>>> rank(A) ans = 3 >> >> rref(A) ans = 1.0000 0 0.5000 0 5.0000 0 1.0000 -0.5000 0 1.0000 0 0 0 1.0000 -5.0000 0 0 0 0 0 由此可以看出，第一、二、四列是矩阵的一个最大线性无关组。 ??3?0.5?1?(?0.5)?2 且? ?5?5????(?5)??124实验总结： 1、能熟练掌握用矩阵除法解矩阵方程组，且利用矩阵的秩能判断解的意义。 2、学会用矩阵方程，利用分配平衡方程组解数学建模中投入产出分析的问题。 3、学会构造特殊矩阵，并求矩阵的行列式、逆、特征值和特征向量。

4、学会求矩阵的秩和最大线性无关组。

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