正弦定理、余弦定理综合应用典型例题

正弦定理、余弦定理综合应用

例1.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a?2bsinA． （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA?sinC的取值范围． 解：（Ⅰ）由a?2bsinA，根据正弦定理得sinA?2sinBsinA，所以sinB?1， 2π． 6???（Ⅱ）cosA?sinC?cosA?sin????A?

???由△ABC为锐角三角形得B?13??????sinA?3sin?A??． ?cosA?sin??A??cosA?cosA?223???6???????2????A??， 由△ABC为锐角三角形知，?A??B，?B???．

2222633361???33??3?所以sin?A???． 由此有?3sin?A????3，

2?3?223?2?所以，cosA?sinC的取值范围为??33?． ??2，?2??例2.已知△ABC的周长为2?1，且sinA?sinB?2sinC．

1sinC，求角C的度数． 6解：（I）由题意及正弦定理，得AB?BC?AC?2?1， BC?AC?2AB，

两式相减，得AB?1．

111sinC?sinC，得BC?AC?， （II）由△ABC的面积BC?AC?263AC2?BC2?AB2(AC?BC)2?2AC?BC?AB21?， 由余弦定理，得cosC? ?2AC?BC2AC?BC2?所以C?60．

例3.已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝（3,?1），n＝（cosA,sinA）.若m⊥n，

π且acosB+bcosA=csinC，则角B＝ .

6a?例4.设?ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=60，c=3b.求的值；

c222122117a7c??c2, 故?解：由余弦定理得a?b?c?2bcosA＝(c)?c?2?c?.

3329c3例5.在△ABC中，三个角A,B,C的对边边长分别为a?3,b?4,c?6,

61则bccosA?cacosB?abcosC的值为 .

2例6.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c ，若3b?ccosA?acosC，

（I）求边AB的长； （II）若△ABC的面积为

??3 3?A,?B,?C的对边分别为a,b,c若a?c?6?2且?A?75o，例7.(2009年广东卷文)已知?ABC中，

则b?

2?60000000【解析】sinA?sin75?sin(30?45)?sin30cos45?sin45cos30?

4则cosA?_________________.1a?sinB?2, 由正弦定理得b?2sinAAC例8.（2009湖南卷文）在锐角?ABC中，BC?1,B?2A,则的值等于 2 ，

cosAAC的取值范围为 (2,3) .

由a?c?6?2可知,?C?75,所以?B?30,sinB?00ACBCACAC?,??1??2.

sin2?sin?2cos?cos?????由锐角?ABC得0?2??90?0???45，

23???????又0?180?3??90?30???60，故30???45?， ?cos??22?AC?2cos??(2,3).

22例9.（2009全国卷Ⅰ理）在?ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a?c?2b，且sinAcosC?3cosAsinC, 求b

解法一：在?ABC中?sinAcosC?3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理有:

解: 设?A??,?B?2?.由正弦定理得

a2?b2?c2b2?c2?a2a??3?c,化简并整理得：2(a2?c2)?b2.

2ab2bc222又由已知a?c?2b?4b?b.解得b?4或b?0(舍）.

22222解法二:由余弦定理得: a?c?b?2bccosA.又a?c?2b,b?0。

所以b?2ccosA?2…………………………………①

又sinAcosC?3cosAsinC，?sinAcosC?cosAsinC?4cosAsinC sin(A?C)?4cosAsinC，即sinB?4cosAsinC

b由正弦定理得sinB?sinC，故b?4ccosA………② 由①，②解得b?4。

c3210.设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos(A?C)?cosB?,b?ac，求B.

233解：由 cos（A?C）+cosB=及B=π?（A+C）得 cos（A?C）?cos（A+C）=，

2233 cosAcosC+sinAsinC?（cosAcosC?sinAsinC）=, sinAsinC=.

4222又由b=ac及正弦定理得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m sinB?siA nsCin,333B?B??， sin 或 sin（舍去），

422π2ππ2于是 B= 或 B=. 又由 b?ac知b?a或b?c 所以 B=。

333故 sinB?2例11.在?ABC中，BC?5,AC?3,sinC?2sinA（Ⅰ）求AB的值。 （Ⅱ）求sin(2A?【解析】（1）解：在?ABC 中，根据正弦定理，

?4)的值。

ABBCBC??2BC?25 ，于是AB?sinCsinCsinAsinAAB2?AC2?BC2（2）解：在?ABC 中，根据余弦定理，得cosA?

2AB?AC43522于是sinA?1?cos2A=， 从而sin2A?2sinAcosA?,cos2A?cosA?sinA?

555???2sin(2A?)?sin2Acos?cos2Asin?

44410例12.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2?b2?3bc，sinC=23sinB，则A= 【解析】由sinC=23sinB结合正弦定理得：c?23b，所以由于余弦定理得：

b2?c2?a2b2?c2?(b2?3bc)c2?3bccosA??cosA???

2bc2bc2bc3(23b)2?3b?23b，所以A=30°. ?22b?23b例13．（2010年高考广东卷理科11）已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=3,

A+C=2B,则sinC= . 113sinA?，即． ?2sinAsin60??????由a?b知，A?B?60，则A?30，C?180?A?B?90，sinC?sin90?1. 1例14.在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，?ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为3?3，

2则?BAC=_______.

解析：设BD?a，则DC?2a，由已知条件有

11S?ADC?AD?DC?sin?ADC??2?2asin600?3a?3?3?a?3?1，再由余弦定理分别

2210得到AB2?6,AC2?24?123，再由余弦定理得cos?BAC?，所以?BAC?60．

22?例15．（2010年高考北京卷理科10）在△ABC中，若b = 1，c =3，?C?，则a = 。

31?132?sinB??A???C?【解】由正弦定理，解得，又，所以，所以a = b = 1。 0263sinBsin120例16．在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且2asinA?(2a?c)sinB?(2c?b)sinC. （Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sinB?sinC的最大值.

2解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a?(2b?c)b?(2c?b)c

1222222A??，A=120°即 a?b?c?b c 由余弦定理得 a?b?c?2bccosA故 cos

231（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinB?sinC?sinB?sin(60??B)?cosB?sinB?sin(60??B)

22【解析】由A+C=2B及A+ B+ C=180°知，B =60°．由正弦定理知，故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。

例17．（2010年高考浙江卷理科18）在?ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C= -（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC，求b及c的长。

1。 4110，及0＜C＜π 所以sinC=. 44ac?（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理，得 c=4 sinAsinC16由cos2C=2cos2C-1=?，J及0＜C＜π得cosC=± 44由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得b2±6b-12=0 解：（Ⅰ）因为cos2C=1-2sin2C=?解得 b=6或26 所以 b=6 c=4 或b=6 c=4

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