数值分析第一次作业

数值分析专题报告——数值微分

专业：农业工程 姓名：杨文学 学号：2014812077

1 数值微分的用处

数值微分主要通过测量函数一些离散点的值来求得函数的近似导数，对于一些基本的初等函数我们可以用求导公式直接求出，但对于以下几种情况，可能就要用到数值微分的思想了。

① 只给出函数的图像

② 给出表格，一些离散点和它的函数值

③ 一些比较复杂的函数，不能用求导公式直接求出

在解决实际问题中，数值微分也发挥着重要的作用，如解决地下水的寻找问题，图像处理中的边界识别问题，物理学中的波普的波峰问题，当然还有其他学科其他领域，无论科学研究还是实际运用，都是非常重要的。

2 数值微分的内容

值微分就是用离散方法近似地计算函数在某点的导数值，若f（x）在x=A可导，根据导数的定义，可以用差商近似代替微商（导数），有以下几种数值微分公式

f ( a + h ) - f ( a ) f′(a) ≈

h

(1)

f ( a ) - f ( a - h ) f′(a) ≈ (2)

h f′(a) ≈ (3) （h＞0且足够小）分别称为向前差分，向后差分，中心差分。

高阶导数也可用差商法求得， 例如二阶导数公式为

f ( a + h ) - f ( a - h )2 hf ( a + h ) - 2 f ( a ) + f ( a - h )f′′(a) ≈

h2（4）

2.1误差分析

对于（1）式向前差分，用Taylor公式展开，出现截断误差：存在?∈?a ,a?h? a ? a+h f(x)?f(a?)f'a()?x(a?)?f

2''(?x)(a

)/2! f(a?h)?f(a)?f'(a)h?f''(?)h2/2!

f ( a + h ) - f ( a ) 代入（1）式 G（h）= ，有

h R(x) = f′(a)﹣G（h）=f''(?)h/2!=O?h? 同理也可得向后差分的截断误差：

a-h ? a

R(x) = f′(a)﹣G（h）=f''(?)h/2!=O?h?

由于中心差分精度较高，下面对其做细致分析。首先计算导数f′(a)的近似

值，首先必须选取合适的步长，为此需要进行误差分析。分别将f（a?h）在x= a处做泰勒展开

h2h3h4?4?h5?5?f(a?h)=f(a)?hf'(a)?f''(a)?f'''(a)?f?a??f?a?????

2!3!4!5!代入（3）式得

h2h4?5?G(h)=f'(a)?f'''(a)?f?a????? 3! 5!

由此得知，从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越准确，下面有截断误差

h2|f'''(x)|) |? |f'( a ) ? G (h M 其中 M?|maxx?a|?h6但是不是步长越小越好呢？其实并不是这样的，我们对y = ex这个函数来进

行分析，选取不同的步长来算f′(1.15)，观察误差变化规律，确定最佳步长。

表 2－1 计算结果

解 用中心差商表示的数值微分计算公式得到： h f′(1.15) error 0.1 3.1630 －0.0048 0.09 3.1622 －0.0040 0.08 3.1613 －0.0031 0.07 3.1607 －0.0025

h f′(1.15) error 0.05 3.1590 －0.0008 0.04 3.1588 －0.0006 0.03 3.1583 －0.0001 0.02 3.1575 －0.0007

0.06 3.1600 －0.0018 0.01 3.1550 －0.0032

事实上，f′(1.15)=3.1582，可以看出不是步长越小越好，因为我们还要考虑一个舍入误差，当h很小时，因f（a + h）与f（a – h）很接近，直接相减会造成有效数字的严重损失，从舍入误差分析，不易过小。下面我们分析舍入误差：

当f（a + h）及f（a－h）分别有舍入误差?1及?2，令?=max{|?1|，|?2|}，则计算舍入误差的上界为

|?1|?|?2|??2hh?(f'(a))?|f'(a)?G(a)|?可以看出h越小，舍入误差越大，是病态的。所以计算f′(a)的误差上界为

h2?E(h)?M?6h要使误差最小，用导数，单调性知识分析，当h=33?/M，误差E（h）最小

2.2 插值型数值微分

有时候我们会碰到函数y = f（x）以列表形式给出，我们就可以用插值的思想来近似建立一个多项式Pn（x）来代替f（x），但函数值差不多，导数值可能差别很大，所以我们要考虑误差。依据插值余项定理，求导公式的余项为

式中

w(x)d(n?1)f(n?1)(?)f'(x)?p'n(x)?w'n?1(x)?n?1f???(n?1)!?n?1?!dxwn?1(x)d(n?1)f???在这余项中，?是x的未知函数，我们无法对第二项 ? n ? 1 ? ! dx 做

i?0wn?1(x)??(x?xi)n

出进一步说明，导致整个误差也无法估计。但求某个节点xk的导数，第二项因式wn+1（k）= 0 ，这时有余项公式

1. 两点公式

设给出点x0，x1上函数值f（x0），f（x1），做线性插值得

于是有下列求导公式：

11P'1(x0)??fx?fxP'(x)?f?x1??f?x0????????10?11??? h hP'1(x)?f(n?1)(?)f'(xk)?p'n(xk)?w'n?1(xk)(n?1)!（5）

下面我们仅考察节点处的导数，假设所给节点是等距的。

P1(x)?x?x0x?x1f?x0??f?x1?x0?x1x1?x0令x1—x0 =h，对上式两端求导，有

1??f?x0??f?x1???h?而利用余项（5）知，带余项的两点公式是

2. 三点公式

设已给出三个节点x0，x1= x0+h，x2= x0+2h上的函数值，做二次插值

P2?x??(x?x0)(x?x2)(x?x0)(x?x1)(x?x1)(x?x2)f(x0)?f(x1)?f(x2) (x0?x1)(x0?x2)(x1?x0)(x1?x2)(x2?x0)(x2?x1)f'(x1)?f'(x0)?1hfx?fx?f''(?)??????10?h?21hfx?fx?f''(?)??????10??h2令x=x0 + th，上式可表达为

P2?x0?th??11(t?1)(t?2)f(x0)?t(t?2)f(x1)?t(t?1)f (x2)22对两端t求导，有

P'2?x0?th?? 1[(2t?3)f(x0)?(4t?4)f(x1)?(2t?1)f(x2)]2h对t分别取t=0，1，2，得到3种三点公式：

1[?3f(x0)?4f(x1)?f(x2)]2h1P'2?x1??[?f(x0)?f(x2)]2h1P'2?x2??[f(x0)?4f(x1)?3f(x2)]2hP'2?x0??

亦可求得带余项的三点公式：

1h2f'?x0??[?3f(x0)?4f(x1)?f(x2)]?f'''(?0)2h31h2f'?x1??[?f(x0)?f(x2)]?f'''(?1)2h61h2f'?x2??[f(x0)?4f(x1)?3f(x2)]?f'''(?2)2h3

2.3样条插值微分

三次样条函数S（x）作为f（x）的近似，不但数值接近，导数值也很接近，并有

( ||f(k)(x?)Sk)4)|f(|??k4(x?)?||kCk()x(k),? , 1, 2 （3.1） |h|?k, 0利用三次样条函数S（x）直接得到 f(k)(x)?S可求得

0, 1,2hkhkf'(x)?S'(x)??M?Mk?1?f[xk,xk?1]k kk 36

f''(xk)?Mk

这里 f[xk,xk?1]为一阶均差，其误差可由（3.1）式可得

1 ||f'?S'||??||f(4)||?h324

3(4)2||f''?S''||?||f||h?? 8

2.4数值微分的外推法

利用第一个方法中点公式计算导数值时可以看到有

f ( a + h ) - f ( a - h )f'(x)?G(h)?2 h f'(x)?G(h)??1h2??2h4????

下面对f（x）在x处做泰勒展开

但这里与h无关，利用理查德森外推法对h分半，?1，?2????i可以对照法1获知，若记G0（h）=G（h），则有

可以从下表2-4来观察计算过程

表2-4 外推过程

h4mGm?1()?Gm?1(h)2Gm(h)?,m?1,2,???m4?1

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