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韶关市2012届高三模拟考试数学试题
数学试题（理科）
本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.
2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 参考公式:锥体的体积公式V?13Sh，其中S为锥体的底面面积，h为锥体的高.
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若复数i?(1?ai)是纯虚数，则实数a的值是（ ）
A. 1 B. ?1
C.0 D. 0或?1
x?2,x?Z}2．已知集合A?{x|x|?2,x?R},B?{x|,则A?B?（ ）
A. (0,2) B. [0,2] C. {0, 2} D. {0,1,2}
12.50,b?2.5,c?()，则a,b,c的大小关系是（C ）
2A.a?c?b B. c?a?b C. a?b?c D.b?a?c
3．设a?225.4．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为.
A. 1 B. 3 C 6 D. 2
??115．设向量a?(1,0)，b?(,)，则下列结论正确的是 ( )
22A.
??a?b
??B.a?b?22????? C. a∥b D. a?b与b垂直
6．执行如图1所示的程序框图后，输出的值为5，则P的取值范围（ ）
7157153715A. ?P? B. P? C. ?P? D.?P?
81681648167. 下列四个判断：
①某校高三一班和高三二班的人数分别是m,n，某次测试数学平均分分别
图1
是a,b，则这两个班的数学平均分为
a?b2；
②10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a,中位数为b,众数为c，则有c?a?b；
③从总体中抽取的样本(x1,y2),(x2,y2),?,(xn,yn),若记x?线y=bx?a必过点（x,y）
④已知?服从正态分布N(0,?2)，且P(?2???0)?0.4，则P(??2)?0.2 其中正确的个数有： （ ）
A．0个 B． 1 个 C．2 个 D．3个
11?1,x?0sgn(?x)?1sgn(x?)?1?228. 定义符号函数sgnx??0,x?0，设f(x)? ?f1(x)?22??1,x?0 ??f2(x)，x?[0,1]，其中f1(x)=x?121nni?x,y?n?i?1i?11nyi，则回归直
, ?f2(x)=2(1?x), 若f[f(a)]?[0,)，则实数a的取
21值范围是（ ）
A. (0,] B. (,) C. (,] D. [0,]
442428111113
二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分.
(一)必做题(9～13题)
9．. 已知A是单位圆上的点，且点A在第二象限，点B是此圆与x轴正半轴的交点，记
?AOB??, 若点A的纵坐标为
35．则si??n_____________;
tan(??2?)?_______________.
10．以抛物线y?4x的焦点为圆心，且被y轴截得的弦长等于2的圆的方程为__________________.
11．从如图所示的长方形区域内任取一个点M?x,y?，则点M取自阴影部分的概率为____________.
?x?y?5≥0?12．已知x,y满足约束条件?x?y≤0，则z?2x?4y的最小值是
?y≤0?2_________.
13.设f(x)?x?1?x?1，若不等式f(x)?a?1?2a?1a对任意实数a?0恒成立，则x取
值集合是_______________________.
(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题) 14．（几何证明选讲选做题）
如图，AB是圆O的直径，AD?DE，AB?8,BD?6,则
ADAC? ;
15．(坐标系与参数方程选做题) 已知直线l方程是??x?1?t?y?t?1，,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，(t为参数）
圆C的极坐标方程为??1，则圆C上的点到直线l的距离最小值是 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)
已知等比数列?an?的前n项和为Sn， a1?1，且S1，2S2，3S3成等差数列. （1）求数列{an}通项公式；
（2）设bn?an?n，求数列?bn?前n项和Tn．
17．(本小题满分14分)
有一个3×4×5的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成60个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个，设小正方体涂上颜色的面数为?. （１）求??0的概率； （２）求?的分布列和数学期望.
18．(本小题满分14分)
如图5(1)中矩形ABCD中，已知AB?2，AD?22, MN分别为AD和BC的中点，对角线
BD与MN交于O点，沿MN把矩形ABNM折起，使平面ABNM与平面MNCD所成角为
60，如图5(2).
?A
M M D
O C N
A D
（1） 求证：BO?DO；
（2） 求AO与平面BOD所成角的正弦值.
B
N
O
C
B
19．(本小题满分12分)
在?ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中c?2， 且(1)求证：?ABC是直角三角形；
︿
(2)如图6，设圆O过A,B,C三点，点P位于劣弧AC上，求?PAC面积最大值.
20.(本小题满分14分)
在直角坐标系xOy中，动点P与定点F(1,0)的距离和它到定直线x?2的距离之比是
222动点P的轨迹为C1，Q是动圆C2:x?y?r(1?r?2)上一点.
cosAcosB?ba?31
CPBA图6
22，设
（1）求动点P的轨迹C1的方程；
22（2）设曲线C1上的三点A(x1,y1),B(1,若线段AC的),C(x2,y2)与点F的距离成等差数列，
垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k；
（3）若直线PQ与C1和动圆C2均只有一个公共点，求P、Q两点的距离PQ的最大值.
21．(本小题满分14分)
已知函数f(x)?ln(x?1)?mx，当x?0时，函数f(x)取得极大值. （１）求实数m的值；
（２）已知结论：若函数f(x)?ln(x?1)?mx在区间(a,b)内导数都存在，且a??1，则存在
x0?(a,b)，使得f?(x0)?f(b)?fa()b?a.试用这个结论证明：若?1?x1?x2，函数
g(x)?f(x1)?f(x2)x1?x2(x?x1)?f(x1)，则对任意x?(x1,x2)，都有f(x)?g(x)；
（３）已知正数?1,?2,L,?n，满足?1??2?L??n?1，求证：当n?2，n?N时，对任意大
于
?1，且互不相等的实数
x1,x2,L,xn()，都有
f(?1x?1?x?L2??nx)??1f(x2n?1)?fx2?(L??)fxn. 2n2012届高考模拟测试数学试题(理科)
参考答案和评分标准
一．选择题：CACBD ABB 二填空题：9. 13. (??,?3235（2分）
32247（3分） 10. (x?1)2?y2?2 11.
313 12. ?15
4三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
]?[,??) 14. 15. 2?1
16．(本题满分14分)
解：（1）设数列?an?的公比为q，?????1分
若q?1，则S1?a1?1，2S2?4a1?4，3S3?9a1?9，故S1?3S3?10?2?2S2，与已知矛盾，故q?1，??????????????????2分
a1(1?q)1?qn从而得Sn??1?qn1?q，??????????????????4分
由S1，2S2，3S3成等差数列，得S1?3S3?2?2S2， 即1?3?1?q31?q?4?1?q21?q，
解得q?13?????????????????5分
所以an?a1?qn?1?1?????3?n?1.??????????????????6分
1n?1（2）由（１）得，bn?an?n?()?n，????????????7分
3所以Tn?(a1?1)?(a2?2)???(an?n)
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