北京市重点中学2015届高三下学期开学检测数学（理）试卷（含解析

2014—2015学年度第二学期3月月考

高 三 数 学（理）试 卷

（考试时间120分钟 满分150分）

第I卷 （选择题 共40分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的的四个选项中,选

出符合题目要求的一项）

1． 设i为虚数单位，则复数

1?i的虚部为 1?2i111A．?1 B．? C． D．?i

535ax5

2．已知(2x?)的展开式中各项系数之和为1，则该展开式中含 A. ?40 B. 40 C. ?20

3．平面向量a，b共线的充要条件是

A．a，b的方向相同 B．a，b中至少有一个为零向量

C．???R，b??a D．存在不全为零的实数?1，?2，?1a??2b?0

4．将函数f(x)?2sin(2x?横坐标缩短到原来的正值为

A．? B．?

D. 20

1项的系数为 x?4)的图象向右平移???(??0)个单位，再将图象上每一点的

1?倍（纵坐标不变），所得图象关于直线x?对称，则?的最小 24

1838C．

31? D．? 42x2y25．P是双曲线2?2?1（a?0，b?0）的右支上的一点，F 1，F2分别是左、右焦点，

ab则?PF1F2的内切圆圆心的横坐标为

A．a B．b C．a2?b2 D．a?b?a2?b2

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6．某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同

类

节目不相邻的排法种数是

A．72 B．120 C．144 D．168

7. ?ABC的外接圆的圆心为O，AB?2，AC?3,??BC?7，则AO?BC等于

8．如图，在公路MN的两侧有四个村镇：A1,B1,C1,D1，它们通过小路和公路相连，各路口分别是A,B,C,D. 某燃气公司要在公路旁建一个调压站，并从调压站出发沿公路和各小路通过低压输配管道（每个村镇单独一条管道）将燃气送到各村镇，为使低压输配管道总长度 最小，调压站应建在 A．A处 B．AB?段公路旁的任一处

C．D处 D．BC?段公路旁的任一处 A．?

9 4B．

91 C．? 42D．

1 2第II卷 （非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

?的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程9. 在极坐标系中,过圆??4cos是 .

10. 如图, 已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，

B

E是AB延长线上一点, 且DF?CF?2， AF∶FB∶BE?4∶2∶1. 若CE与该圆

相切，则线段CE的长为 .

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11. 右图是一个几何体的三视图，已知侧视图是一个

等边三角形，根据图中尺寸（单位：cm），

这个几何体的体积为 cm；

333正视图22侧视图22俯视图表面积为 cm.

2

?log2x??????????0?x?2??12. 已知函数f?x????1?x3，若函数g?x??f?x??k有两个不同的零

??????????x?2???2?4点，

则实数k的取值范围是 .

13．在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2?ccosB?2?a?b，若?ABC的面

积 为

14．已知Sn是等差数列{an}(n?N*)的前n项和，且S6?S7?S5，有下列五个命题：

① d?0；② S11?0；③ S12?0；④ 数列{Sn}中的最大项为S11；⑤ |a6|?|a7|. 其中正确的命题是 （写出你认为正确的所有命题的序号）

解：①、②、⑤

三、解答题 （本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 15．（本小题13分）

已知函数f(x)?sin(2x?3c，则ab的最小值为 . 2?6)?2cos2x?1，x?R

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）在?ABC中，三内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知f?A??1, 2b,a,c成等差数列，且AB?AC?9，求S?ABC 及 a的值.

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16．（本小题13 分）

在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次. 在A处每投进一球得3分；在B处每投进一球得2分. 如果前两次得分之和超过3分就停止投篮；否则投第三次. 某 同学在A处的投中率q1为0.25，在B处的投中率为q2. 该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用?表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为

? P

（Ⅰ）求q2的值；

0 2 3 4 5 p1?0.03 p2 p3 p4 p5 （Ⅱ）求随机变量?的数学期望E?；

（Ⅲ）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分

的概率的大小.

17．（本小题 14 分）

如图，在四棱锥P－ABCD中， 底面ABCD是菱形，?BAD＝60，

?AB＝2，PA＝1,PA?平面ABCD，

E是PC的中点，F是AB的中点.

(Ⅰ) 求证：BE∥平面PDF；

（Ⅱ）求证：平面PDF⊥平面PAB；

（Ⅲ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小.

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18．（本小题13分）

已知函数f(x)?x2?ax?lnx， a?R.

（Ⅰ）若函数f(x)在?1,2?上是减函数，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）设g(x)?f(x)?x2，是否存在实数a，当x?(0,e]时，函数g(x)的最小值是3，

若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

22 （III）当x?(0,e] 时，证明： ex?5x?(x?1)lnx 2 19．（本小题14分）

已知椭圆G的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点P（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；

（Ⅱ）如图，以椭圆G的长轴为直径作圆O，过直线x??2上的动点T作圆O的两条切线，设切点分别为A，B，若直线AB与椭圆G交于不同的两点C，D，求取值范围．

??2??2，0和点Q????1，?. 2???ABCD的

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