1认识二元一次方程组教学设计

第五章 二元一次方程组

1．认识二元一次方程组

成都市盐道街中学实验学校 邓国伟 刘志燕

四川师大附中 黄德轩

一、学生起点分析

学生的知识技能基础：学生在七年级上册已学过一元一次方程，学生已经具备列一元一次方程解决实际问题的经验基础，为本节的学习已做好知识储备，估计学生应有能力经过自主探索和交流列出二元一次方程组，解决简单的实际问题.

学生活动经验基础：本节所涉及的实际问题包括：老牛、小马驮包裹问题、公园的门票问题等，这些问题均为全体学生所熟悉的情境，容易被学生接受和理解，从而也容易建立相应的数学模型来解题.

二、教学任务分析

《谁的包裹多》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第五章《二元一次方程组》的第一节，本节内容安排1个课时完成.具体内容是：让学生通过对实际问题的分析，体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型；同时了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解.

二元一次方程是继一元一次方程后，又一个体现符号表示思想的内容，它是刻画现实世界的一个有效数学模型，在数学上有着广泛的应用，同时也是学习物理、化学等其他学科知识的一个重要基础.它既是一元一次方程知识的延伸和拓广，又是今后学习一般线性方程组及平面解析几何等知识的基础，具有承上启下的作用.列方程（组）解应用题是联系实际的重要方面，突显了方程作为一种数学模型的重要特征，这既是培养学生逻辑思维能力的良好载体，也是培养学生应用意识和实践能力的良好题材.

基于学生对一元一次方程理解的基础上，教科书从实际问题出发，通过引导

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学生经历自主探索和合作交流的活动，学习二元一次方程、二元一次方程组及其解等基本概念.在学习过程中，要突出强调建模思想，展现方程是刻画现实世界的有效数学模型，是贯穿方程与方程组的一条主线. 为此，本节课的教学目标是： （1）理解二元一次方程（组）及其解的概念, 能判别一组数是否是二元一次方程（组）的解；

（2）会根据实际问题列简单的二元一次方程或二元一次方程组； （3）通过加深对概念的理解，提高对“元”和“次”的认识，而且能够逐步培养类比分析和归纳概括的能力,了解变与不变的辩证统一的思想.

本节课的教学重点是：

（1）掌握二元一次方程及二元一次方程组的概念，理解它们解的含义； （2）判断一组数是不是某个二元一次方程组的解. 本节课的教学难点是：

从实际问题中抽象出二元一次方程组的过程，体会方程的模型思想.

三、教学过程设计

本节课设计了四个教学环节：

第一环节：情境引入；第二环节：新课讲解，练习提高；第三环节：课堂小结；第四环节：布置作业.

第一环节：情境引入

内容： （一）情境1

实物投影，并呈现问题：在一望无际的呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：“累死我了”，小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮2个.”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2倍！”，小马天真而不信地说：“真的？！”同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？

请每个学习小组讨论（讨论2分钟，然后发言）.教师注意引导学生设两个未知数，从而得出二元一次方程.

这个问题由于涉及到老牛和小马的驮包裹的两个未知数，我们设老牛驮x个包裹，小马驮y个包裹，老牛的包裹数比小马多2个，由此得方程x?y?2，若

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老牛从小马背上拿来1个包裹，这时老牛的包裹是小马的2倍， 得方程：

x?1?2?y?1?.

（二）情境2

实物投影，并呈现问题：昨天，有8个人去红山公园玩，他们买门票共花了34元.每张成人票5元，每张儿童票3元.那么他们到底去了几个成人、几个儿童呢？同学们，你们能否用所学的方程知识解决呢？

仍请每个学习小组讨论（讨论2分钟，然后发言），老师注意引导学生分析其中有几个未知量，如果分别设未知数，将得到什么样的关系式？

这个问题由于涉及到有几个成年人和几个儿童两个未知数，我们设他们中有x个成年人，有y个儿童，在题目的条件中，我们可以找到的等量关系为：成人人数＋儿童人数＝8，成人票款＋儿童票款＝34.由此我们可以得到方程x?y?8和5x?3y?34.

在这个问题中，可能会有学生认为用一元一次方程也可以解答，我们要肯定学生的做法，并将学生的答案保留下来，放到第二节二元一次方程组解法的学习中去，让学生更有学习的好奇心与积极性.同时告诉学生在某些有两个等量关系的实际问题中，列二元一次方程组比列一元一次方程更快捷、清楚.

目的：通过现实情景再现，让学生体会到方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识.

设计效果：学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，列出关注两个未知数的方程，为后续关于二元一次方程的讨论提供了素材，同时，有趣的情境，也激发了学生学习的兴趣.

第二环节：新课讲解，练习提高

内容：

（一）二元一次方程概念的概括

提请学生思考：上面所列方程有几个未知数？所含未知数的项的次数是多少？从而归纳出二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程.教师对概念进行解析，要求学生注意：这个定义有两个要求：

①含有两个未知数；

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②所含未知数的项的最高次数是一次.

再呈现一些关于二元一次方程概念的辨析题，进行巩固练习： 1.下列方程有哪些是二元一次方程：

23x?2y?12?0，x?3y?9?0（1），（2）（3）3a?4b?7，

（4）3x?1m（5）3x?x?2y??5，（6）?5n?1. ?1，y22.如果方程2xm?1?3y2m?n?1是二元一次方程，那么m＝ ，n＝ . （二）二元一次方程组概念的概括

师提请学生思考：上面的方程x?y?2，x?1?2(y?1) 中的x含义相同吗？y呢？（两个方程中x的表示老牛驮的包裹数，y表示小马的包裹数，x、y的含义分别相同.）由于x、y的含义分别相同，因而必同时满足x?y?2和

x?1?2?y?1??x?y?2,，我们把这两个方程用大括号联立起来，写成?，从

??x?1?2y?1.?而得出二元一次方程组的概念：像这样共含有两个未知数的两个一次方程所组成

?2x?3y?3,的一组方程.如：?

?x?3y?0;?5x?3y?8, ??x?y?8.注意：在方程组中的各方程中的同一个字母必须表示同一个对象. 再呈现一些辨析题，让学生进行巩固练习： 判断下列方程组是否是二元一次方程组：

?x2?y?1,?x?2y?1,?x?7y?3,（1）? （2）? （3）?

?3x?5y?12;?3y?5z?1;?x?3y?5;2?x??5,x?1,??2a?3b?1,?y（4）? （5）? （6）?

?y?2;?5ab?2b?3.?3x?8y?12;?（三）因承上面的情境，得出有关方程的解的概念

1.x?6,y?2适合方程x?y?8吗？x?5,y?3呢？x?4,y?4呢？你还能找到其他x,y值适合x?y?8方程吗？

2. x?5,y?3适合方程5x?3y?34吗？x?2,y?8呢？

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3.你能找到一组值x,y同时适合方程x?y?8和5x?3y?34吗？各小组合作完成，各同学分别代入验算，教师巡回参与小组活动，并帮助找到3题的结论.

由学生回答上面3个问题，老师作出结论：

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解.

?x?6,?x?5,如x=6, y=2是方程x+ y =8的一个解，记作? ；同样，?也是方

?y?2?y?3?x?5,程x?y?8的一个解，同时? 又是方程5x?3y?34的一个解.

?y?3二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 例如，??x?5,?x?y?8,就是二元一次方程组?的解. y?35x?3y?34??然后，同样呈现一些辨析性练习：（投影）

1.下列四组数值中，哪些是二元一次方程x?3y?1的解？ （A）?

?x??5,?x?2,?x?4,?x?10, （B）? （C）? （D）?

y??2.y?3;y?1;y?3;????2.二元一次方程2x?3y?28的解有：

?x?_____,?x?5,?x?_____,?x??2.5,? ? ? ? …… ?7y?_____.y?_____.__y??2.y?.????3?3.二元一次方程组??x?2y?10,的解是（ ）

y?2x??x?4,?x?3,?x?2,?x?4,（A）? （B）? （C）? （D）?

y?3;y?6;y?4;y?2.????4.以??x?1,为解的二元一次方程组是（ ） y?2??x?y?3,?x?y??1, （B）?

3x?y?1;3x?y??5;??（A）?（C）??x?2y??3,?x?y??1, （D）?

3x?5y??5;3x?y?5.??5

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