（全国通用）2018年高考数学考点一遍过专题04函数及其表示（含解

考点04 函数及其表示

（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.

（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数. （3）了解简单的分段函数，并能简单应用.

一、函数的概念

1．函数与映射的相关概念 (1)函数与映射的概念

两个集合设A、B是两个非空数集 设A、B是两个非空集合 按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 函数 映射 A、B 按照某种确定的对应关系f，使对于集对应关系 合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 称f：A→B为从集合A到集合B的一个名称 函数 记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B 注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点． (2)函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (3)构成函数的三要素

函数的三要素为定义域、值域、对应关系. (4)函数的表示方法

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函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法. 解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；

列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； 图象法：注意定义域对图象的影响. 2．必记结论 (1)相等函数

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．

①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．

②函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x?1，g(t)＝2t?1，h(m)＝2m?1均表示相等函数. (2)映射的个数

若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有nm个． 二、函数的三要素 1．函数的定义域

函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为： (1)分式函数中分母不等于零.学，科 (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝x的定义域是{x|x≠0}.

(5)y＝a(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R. (6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞). (7)y＝tanx的定义域为{x|x?kπ?2．函数的解析式

(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式. (2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误. 3．函数的值域

函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：

2

x0

π,k?Z}. 2(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R. (2)反比例函数y?

2

k

(k为常数且k≠0)的值域为(?∞，0)∪(0，＋∞)． x

(3)二次函数y＝ax＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，

4ac?b2,??)； 当a>0时，二次函数的值域为[4a4ac?b2]. 当a<0时，二次函数的值域为(??,4ab24ac?b2)?求二次函数的值域时，应掌握配方法：y?ax?bx?c?a(x?. 2a4a2(4)y＝sinx的值域为． 三、分段函数 1．分段函数的概念

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 2．必记结论

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．

考向一 求函数的定义域

在高考中考查函数的定义域时多以客观题形式呈现，难度不大. 1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略

(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数：

①若已知函数f(x)的定义域为，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． ②若已知函数f(g(x))的定义域为，则f(x)的定义域为g(x)在x∈时的值域． (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求． 2．求函数定义域的注意点

(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．

(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函

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