2008年福建地区数学学科十大类型应用题的建模及解法策略

九大类型应用题的建模及解法策略

1．流行的线性规划问题与用料最省

在现代企业中，几乎每一个公民都明白这样一个道理，降低生产成本，遏制有限资源的流失与浪费，是衡量企业管理的一个重要内容，是提高企业效益的一个基本策略．在我们学校，随着学生的增多，我校的教学资源已相对不足，为了改善办学条件，以适应现代教育的需要，我校决定在学校有限的土地上及有限的资金中，济出财力来建一栋一流的教学大楼，如何以最小的投入来获取最大的收益呢？让我们利用有关的数学知识，来共同来探讨如下几个问题．

问题1 在广铁一中的东南方有一块如图所的地，其中两面是不能动的围墙，其余各边界是不能动的一些体育设施．现准备在此建一栋教学楼，使楼的底面为一矩形，且靠围墙的方向须留有5米宽的空地，问如何设计，才能使教学楼的面积最大？ 解：由图建立如图所示的坐标系，可知AB所在的直线方程为 xy

＋＝1，即 x＋y＝20

2020

设G(x，y)，由y＝20－x可知G(x，20－x)．

∴ S＝[39－5－(20－x)][23－(5＋x)]＝(14＋x)(18－x)＝－x2＋4x＋18·14 ＝－(x－2)2＋256

由此可知，当x＝2时，S有最大值256平方米．

故在线段AB上取点G(2，18)，过点分别作墙的平行线，在离墙5米处确定矩形的另两个顶点H、I，则第四个顶点K随之确定，如此矩形地面的面积最大．

问题2 学校的这一块地皮，通过专家估算，价值为400万，现用来建每层为256平方米的楼房，楼房的总建筑面积（即各层的面积之和）的每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房升高一层，整栋楼房每平方米的建筑费用平均提高5%。已知建筑5层楼房时，每平方米的建筑费用为500元。为了使该楼每平方米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），学校应把楼建成几层?

解：设应把楼房建成x层，则楼房的总面积为256x平方米，每平方米的购地费为4000000÷(256x)元，每平方米的建筑费用为500＋500(x－5)·5%元．于是建房每平方米的综合费用为 y＝500＋500(x40000004000000－5)·5%＋ ＝375＋25x＋ ≥375＋2256x256x＝375＋750＝1125（元）。

25·40000005·2000

＝375＋2·

25616

图 y 39 A G o 5 B x 25 59 1

400000040000002000

当25x＝ ，即x2＝ ，x＝＝25时，y有最小值1125．

256x256·2516·5故为了使该楼每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼房建成25层．

问题3 教学楼建好后，需要对房间的内墙再进行一次粉刷装修，结合勤工俭学，并培养学生的实践能力，决定自制一种涂料，提供给装潢公式．下表为制造涂料所需的各种原材料和购进的量，制造每千克高档涂料与或普通涂料所需要的原料以及利润（其它的原料本题不作考虑）

高档涂料/千克 普通涂料/千克 存 量 胶 水 100克 300克 1500千克 双 飞 粉 200克 200克 1200千克 白 乳 胶 300克 100克 1500千克 利 润 3元 2元 （1）现有原料的情况下，要想获得最大利润，问普通涂料和高档涂料应各生产多少千克？ （2）在获得最大利润时，何种原料有剩余，能剩余多少？ 解：（1）设高档涂料和普通涂料应各生产x千克和y千克，获得的利润为z．则

y l3:3x＋y＝1500 ???

100x＋300y≤1500000x＋3y≤15000200x＋200y≤1200000x＋y≤6000

，即

300x＋100y≤15000003x＋y≤15000x≥0，y≥0x≥0，y≥0

?

??

A l1:x＋3y＝1500 o 图

x l2:x＋y＝6000 利润 z＝3x＋2y．可行性区域如图所示的阴影部分．其中l1：x＋3y＝15000；l2：x＋y＝6000，l3：3x＋y＝15000，l1与l2的交点为A(1500，4500)，l1与l3的交点为B(3250，3250)，l2与l3的交点为C(4500，1500)，

因目标函数z＝3x＋2y在可行域上的最大值在区域边界的A(1500，4500)处取得，此时z的最大值为3·4500＋2·1500＝16500．

故知普通涂料和高档涂料应各生产1500千克和4500千克；

（2）这时所用面粉为45·10000＋15·30000＝900000克，故还余面粉1500－900＝600（千克）．

问题4 在房屋装修的过程中，估计需要用到学校的客货两用车，经实际探索，知该车的燃料费与其

速度的立方成正比。且知其速度为每小时64公里时，燃料费为每小时40元，其余费用（不随速度变化：如过桥费、使用年限等）为每小时250元，则当汽车的速度为每小时多少公里时，行驶每公里的费用之和最小？最小值为多少元？

解：设汽车的速度为每小时x公里时，燃料费用为m，由题意可得

2

m＝kx3，∵速度为每小时30公里时，燃料费为每小时20元，

11

∴ 64＝k·403，从而k＝ ，即m＝ x3。又设行驶每公里的费用总为y（元），则

100010000.001x3＋250125125

y＝ ＝0。001x2＋＋ ≥3

xxx

3

12512525

0.001x2·· ＝3× ＝7.5（元）

xx10

125

当且仅当0。001x2＝ ，即时成立x＝50时，等号成立．

x

即当车速为每小时50公里时，行驶每公里的费用总和为最小，最小值是7。5元．

问题5 学校决定对教学楼部分房间配制现代化的电了教学设备，并对其两种电子装置配一个外壳，现

有A种电子装置45台，B种电子装置55台，需用用到两种规格的薄金属板：甲种薄金属板每张面积2m2，可做A、B的外壳分别为3个和5个，乙种薄金属板每张面积3m2，可做A、B的外壳分别为6个，求两种薄金属板各用多少张，才能使用料总的面积最小．

解：设用甲种薄金属板x张，乙种薄金属板y张，则可做A种产品外壳3x＋6y个，B种产品外壳5x＋6y个，由题意可得

y l1:3x＋6y＝45 ??3x＋6y≥45

?5x＋6y≥55

??x≥0，y≥0

所有的薄金属板的总面积是 z＝2x＋3y．

可行性区域如图所示的阴影部分，其中l1：3x＋6y＝45； l2：5x＋6y＝

A o 图

x l2:5x＋6y＝55 55，l1与l2的交点为A(5，5)，因目标函数z＝2x＋3y在可行域上的最小值在区域边界的A(5，5)处取得，此时z的最小值为2·5＋3·5＝25．即甲、乙两种板各5张，能保证制造A、B的两种外壳的用量，同时又能使用料总面积最小．

问题6 教学楼包装好后，学校预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的

总数尽可能的多，但椅子数不能少于桌子数，且不能多于桌子数的1。5倍．问桌椅各买多少才行？ 解：设桌、椅分别买x、y张，把所给条件表示为不等式组，即约束条＋20y≤2000?50xy≥x件为?

y≤1.5x?x≥0，y≥0

设z＝x＋y，点(x，y)的可行性区域如图所示的阴影部分．其中l1：5x200200

＋2y＝200； l2：y＝x， l3：y＝1。5x，l1与l2的交点为A( ， )，

77

o z＝x＋y 图

3

y l:5x＋2y＝55 3l1:y＝1。5x l2:y＝x x 7520020075

l1与l3的交点为B(25， )，所以满足条件的可行性区域是以A( ， )、B(25， )、O(0，0)为顶

277275

点而构成的三角形区域．由图形的直观性可知，目标函数z＝x＋y在可行域内的最优解是(25， )，但注

2意到x、y∈N，故取y＝37．故买桌子25，椅子37张是满足条件的最好选择．

5．立足于函数的有关题型

解决好数学问题，无论采用何种手段，关建是建立起恰当的函数关系式．常涉及有物价、路程、产值、环保、土地等实际问题，也有涉及角度、长度、面积、造价、利润等最优化问题。解决这类问题一般要利用数量关系，列出有关解析式，然后运用函数、方程、不等式有关知识和方法加以解决，尤其对函数最值，均值定理用的较多。

?10?2x,x?[0,5)?例1 用实际例子说明y??20,x?[5,10)所表示的意义

?40?2x,x?[10,20]?给变量赋予不同的内涵，就可得出函数不同的解释，我们从物理和经济两个角度出发给出实例。 1。X表示时间（单位：s），y表示速度（单位：m/s），开始计时后质点以10/s的初速度作匀加速运动，加速度为2m/s2，5秒钟后质点以20/s的速度作匀速运动，10秒钟后质点以－2m/s2的加速度作匀减速运动，直到质点运动到20秒末停下。

2。季节性服饰在当季即将到来之时，价格呈上升趋势，设某服饰开始时定价为10元，并且每周（7天）涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售，10周后当季即将过去，平均每周削价2元，直到20周末该服饰不再销售。

函数概念的形成，一般是从具体的实例开始的，但在学习函数时，往往较少考虑实际意义，本题旨在通过学生根据自己的知识经验给出函数的实际解释，体会到数学概念的一般性和背景的多样性。这是对问题理解上的开放。

例2 在测量某物理量的过程中，因仪器和观测的误差，使得几次测量分别得到a1，a2，……an共n个数据，我们规定的测量的物理量的“最佳近似值”a是这样的一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a1，a2，……，an推出的a＝____________。

分析：依题意，这里求使f(a)＝(a－a1)2＋(a－a2)2＋……＋(a－an)2取最小值时，a的取值。

2由于f(a)＝na2－2(a1＋a2＋……＋an)a＋(a1?a2＋……＋an)， n∈N。

22故当a＝

a1?a2???an时，f(a)最小。

n4

评述：本题首先要正确理解题意，并能把文字语言转化成符号语言，还要熟悉有关的数学模型 6．与不等式相关的应用问题

例1 某工厂生产某种产品共m件，分若干批生产．每生产一批产品需用原料费15000万元，每批生产需直接消耗管理费与该批生产产品的件数的立方成正比，当生产的一批产品为5件时，需消耗管理费为1000万元． ① ②

求每批生产需直接消耗的管理费与该批生产产品的件数的函数解析式． 每批生产多少件时，一年生产的总费用最低？（精确到一件）37.5?2 。

解：①设每批生产的件数为x 管理费y元．则y＝kx3． ∵ 当x＝5时，y＝1000万元，故得 1000＝k×53，得到k＝8． ∴ 管理费与每批生产的件数的函数关系为 y＝8x3．

mm

②每批生产x件时，其管理费为8x3，则生产m件产品，有 批，设总费用为S，那么S＝15000·

xxm7500m7500m

＋ ·8x3＝＋ ＋8mx2≥3xxx当

3

7500m7500m

··8mx2 xx

7500m

＝8mx2时，由37.5?2 可知，当x＝10时，ymin＝6m375002 万元． x

例2 某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价为40元，两侧墙砌砖，每米造价为45元，顶部每平方米造价为20元，计算：

（1）仓库面积S的最大允许值是多少？

（2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？

解：（1）设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则S＝xy依题意 40x＋2×45y＋20xy≤3200 3200≥40x＋90y＋20xy≥240x·90y ＋20xy＝120S＋20S

∴ S＋6S≤160，即(S－10)(S＋16)≤0解得S－10≤0，∴ S≤100 ∴ S的最大允许值是100平方米．

（2）由（1）知S取最大值时的条件是40x＝90y??①又xy＝100??② 解得，x＝15，即铁栅的长度设计为15米． 7．与数列有关的应用问题

常涉及到产量、产值、繁殖、利息、物价、增长率、植树造林、土地沙化等有关的实际问题。解决这类问题常构造等差数列、等比数列，利用其公式解决或通过递推归纳得到结论，再利用数列知识求解。

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