第4章线性规划初步

第7章线性规划初步

在日常生活中我们经常会遇到这样的问题：如何合理安排有限的人力、物力、财力等资源，使得这些资源的效能能够充分地发挥，以获取最佳的经济效益。线性规划就是辅助人们寻求解决这些问题的一种数学方法。

在本章的学习中，我们将把一些简单的实际问题归结为线性规划的问题，通过学习解决这些问题的思想和方法，对线性规划的建立、应用和求解有个初步的认识。

本章学习目标

学完本章内容，你将能够

● 了解建立实际问题的数学模型的方法 ● 会用图解法解二元线性规划问题 ● 会用表格法解线性规划问题

● 学会用计算机软件Excel解线性规划问题 本章目录

§7.1线性规划问题的概念

§7.2二元线性规划问题的图解法 §7.3用表格法解线性规划问题

§7.4用计算机软件Excel解线性规划问题

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§7.1线性规划问题的概念

探究．某建筑公司建造居民小区，若建一幢普通的住宅楼需投入资金300万元，并占地200m2，可获利润100万元；若建一栋别墅需投入资金400万元，并占地100m2，可获利润200万元，该公司现有资金9000万元，拍得土地5000m2，问应作怎样的投资组合，才能获利最多？ 这是一个获取最大利润的问题，正是线性规划问题所要解决的。

例1某点心店要做甲、乙两种馒头，甲种馒头的主要原料是每3份面粉加2份玉米粉，乙种馒头的主要原料是每4

份面粉加1份玉米粉。这个店每天可买进面粉50公斤和玉米粉20公斤，又做1公斤甲种馒头的利润是5元，做1公斤乙种馒头的利润是4元，那么这个点心店每天做甲、乙两种馒头各多少公斤，才能获利最大?

解 现将上述有关数据列为下表：

面粉 玉米粉 甲种馒头 3 2 乙种馒头 4 1 4 原料数量 50 20 5 利润 图7-1

设甲、乙两种馒头计划产量分别为x，y公斤，利润为z元。

生产这两种馒头所用面粉总量为0．6x+0．8y(公斤)，现共有50公斤面粉，因此，应有

0．6x+0．8y≤50

即 3x+4y≤250

类似地，得

0．4x+0．2y≤20

即 2x+y≤100

由于产品的数量不能为负数，应有

x≥0，y≥0

总利润为

z=5x+4y

综合起来，可以把这个问题的数学形式表达为：

maxz?5x?4y(7?1)

(7?2)?3x?4y?250

?2x?y?100 (7?3)? ?(7?4) ?x?0 ?(7?5)?y?0

其中，记号“max”表示函数的最大值。

在上述式子中，我们称x，y为决策变量，式(7.1)为目标函数，式(7.2)～(7.5)统称为约束条件。根据问题的不同，目标函数可最大化或最小化。

在约束条件下求目标函数的最大值和最小值问题称为线性规划问题。

2

线性规划问题主要研究两类问题：

1． 如何合理利用有限的资源，使其产生最大的效益。

2． 如何制定最佳方案，以尽可能少的资源完成所要做的事情。 这就是最优化的问题。

例2某运输公司有8辆载重6吨的A型卡车，4辆载重10吨的B型卡车，并有9名驾驶员。在建造某段高速公路中，公司承包了每天至少运输沥青180吨的任务．已知每辆卡车每天往返次数为A型4次，B型6次，派出每辆卡车每天的成本为A型120元，B型200元．每天应派出A型和B型车各多少辆，能使公司总成本最低？

解：这个问题的目标是要求最小的运输费用。

设公司每天应派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，由条件知：

?24x?60y?180?x?y?9? ??0?x?8??0?y?4即有线性规划问题： min z?120x?200y．

?2x?5y?15?x?y?9? ?0?x?8???0?y?4记号“min”表示函数的最小值。

从上面的例子中我们看到，为了解决实际问题，往往要将这些问题抽象为数学形式，称其为数学模型。线性规划问题就常对物资调运、产品安排和下料等问题建立数学模型后用数学的方法加以解决。

问题解决 将例1中的“派出每辆卡车每天的成本为A型120元，B型200元”改为“派出每辆卡车每天可得利润为A型120元，B型200元”，求“每天应派出A型、B型车各多少辆，能使公司利润最大”，你应该怎样解答？ 思考交流

是不是所有求最值的问题都是线性规划问题？

练习

1．某厂计划生产甲、乙两种产品，其主要原材料有钢材3000kg，铜材2000kg，每件产品耗材定额(kg)及所获利润(元)如下表，问如何安排生产能使该厂所获利润最大？

钢 铜 利润

图7-2

2．某饲养场要同时用A、B两种饲料喂养动物，要求每头动物每天至少应摄取700克蛋白质、30克矿物质和0.1克维生素。两种饲料的每公斤中所含三种成份的数量(克)及每公斤的单价(元)如下表，现要买两种饲料各多少公斤，才能既满足动物生长的需要，又使费用最省？

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甲 8 4 60 乙 4 5 80 库存材料 3000 2100 蛋白质 矿物质 维生素 单价 A 3 1 0.5 0.2 图7-3

B 2 0.5 1 0.7 习题

1．家具厂生产桌子和椅子，桌子售价50元一个，椅子30元一个。生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时，生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂每月可用木工工时120小时油漆工，工时50小时。根据以上条件构建使销售收入最大的线性规划模型。

2．某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工作时数最少？

3．饮料馆配制两种奶茶，甲种奶茶每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克，乙种奶茶每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克．已知每天原料的使用限额为奶粉3600克、咖啡2000克、糖3000克．如果甲种奶茶每杯能获利0.7元，乙种奶茶每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内奶茶能全部售出，每天应配制两种奶茶各多少杯能获利最大？

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