高考数学专题训练13 一元二次不等式、线性规划、基本不等式及其

高考专题训练十三

一元二次不等式、线性规划、基本不等式及其应用

班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：75分 总得分________

一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．

1．(2011·陕西)设0

a＋b22

B．a

C．a

a＋ba＋b2

解析：∵b>a>0，∴∴b>

a＋b2

>ab，2b>b＋a，

a＋b2

，∴a

a＋b2

答案：B

2．(2011·福建)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x－ax－2bx＋2在x＝1处有极值，则

3

2

ab的最大值等于( )

A．2 B．3 C．6 D．9

解析：f′(x)＝12x－2ax－2b.

因在x＝1处有极值，则f′(1)＝12－2a－2b＝0， ∴a＋b＝6，ab≤?答案：D

3．(2011·广东B)不等式2x－x－1>0的解集是( )

2

2

?a＋b?2＝9.

??2?

?1?B．(1，＋∞) A.?－，1? ?2?

1??C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.?－∞，－?∪(1，＋∞) 2??解析：∵2x－x－1>0， ∴(2x＋1)(x－1)>0， 1

∴x>1或x<－，

2

2

1??∴原不等式的解集为?－∞，－?∪(1，＋∞)． 2??答案：D

x＋2y－5≤0??

4．(2011·山东)设变量x，y满足约束条件?x－y－2≤0

??x≥0

3y＋1的最大值为( )

A．11 B．10 C．9 D．8.5 解析：可行域如图

，则目标函数z＝2x＋

当目标函数过点A时，取最大值，由?得A(3,1)，故最大值为10. 答案：B

?x－y－2＝0?

??x＋2y－5＝0

x＋2y－5≥0，??

5．(2011·浙江)若实数x，y满足不等式组?2x＋y－7≥0，

??x≥0，y≥0，

( )

A．13 B．15 C．20 D．28

则3x＋4y的最小值是

解析：由线性约束条件作出可行域如图所示，直线x＋2y－5＝0与2x＋y－7＝0的交点

P(3,1)，令z＝3x＋4y，

∴zmin＝13.

答案：A

6．(2011·商丘市高三一模)定义在R上的函数f(x)满足f(3)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，已知y＝f′(x)的图象如图所示，若两个正数a、b满足f(3a＋b)<1，则范围是( )

b＋2

的取值a＋1

A．(1,2) B．(2,5)

C．(1,5) D．(－∞，1)∪(5，＋∞)

解析：由f(x)的导函数y＝f′(x)的图象可得y＝f(x)(如下图)的大致图象，

由图象可知，当a>0，b>0

即3a＋b>0时，y＝f(x)为增函数， 又∵f(3)＝1，∴f(3a＋b)0??b>0

，作出可行域如下图

∴

b＋2

的最小值为直线AB的斜率kAB＝1 a＋1

b＋2

的最大值为直线AC的斜率kAC＝5 a＋1

∴

b＋2

∈(1,5)，故选C. a＋1

答案：C

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．

a2

7．(2011·陕西省高考全真模拟一)若a、b是正常数，a≠b，x、y∈(0，＋∞)，则＋

xb2a＋b≥yx＋y2

ab49

，当且仅当＝时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f(x)＝＋

xyx1－2x?x∈?0，1??的最小值为________．

??2??????

22

23?1?解析：由题意知，f(x)＝＋，x∈?0，?， x1－2x?2?

?1?∵2≠3且均为正常数，x∈?0，?， ?2?

∴1－2x∈(0,1)， 3

∴＋≥x1－2x2

2

2

＋1－x2

，

232

当且仅当＝时，即x＝时等号成立，即f(x)≥35.

x1－2x7答案：35

??x＋1， x≥0

8．已知函数f(x)＝?

?1， x<0?

2

，则满足不等式f(1－x)>f(2x)的x的取值范围

2

是________．

解析：本题以分段函数为载体，考查函数的单调性及一元二次不等式的解法，求解的关

键在于正确利用函数的性质进行等价转化．

??1－x>0

由题意有?

??2x<0

2

??1－x>2x或???2x≥0

2

，解得－1

范围为(－1，2－1)．

答案：(－1，2－1)

y≥x，??

9．(2011·湖南)设m>1，在约束条件?y≤mx，

??x＋y≤1

为4，则m的值为________．

下，目标函数z＝x＋5y的最大值

解析：作出约束条件对应的可行域为如图所示阴影△OAB. 11

∵目标函数可化为y＝－x＋z.

55它在y轴上的截距最大时z最大． ∴当目标函数线过点A时z最大．

??x＋y＝1由?

?y＝mx?

解得A?

?1，m?，

?

?m＋1m＋1?

∴zmax＝ ∴m＝3. 答案：3

4x＋3y＝0，??

10．(2011·湖北省黄冈中学模拟考试)若实数x，y满足?x－y≥－14，

??x－y≤7，的取值范围是________．

解析：如图所示，

15m5m＋1

＋＝＝4， m＋1m＋1m＋1

则x＋y22