习 题 四
A 组
1．填空题
(1) 设x=(2,3,7)T，y=(4,0,2)T，z=(1,0,2)T，且2(x?a)?3y(?a?)，z则
a= ．
解 由2(x?a)?3(y?a)?z得
??15???a??2x?3y?z???6?．
??18???(2) 单个向量?线性无关的充分必要条件是 ．
解 ??0．
(3) 已知向量组??=(1,0,1),??=(2,2,3)，??=(1,3,t)线性相关，则 ．
?110110051?2t?5?0，所以t?． 解 因为?2?223?222?313t13t?1(4) 设有向量组??,??，又????????，??????2??，???????2??，则向量组??,??,??线性 ．
解 ?1,?2,?3可由?1,?2线性表示，所以?1,?2,?3的秩小于等于2，从而可知?1,?2,?3线性相关．
(5) 若向量组??,??,??线性相关，则向量组?????，?????，?????线性 ．
110??1??2??110???1??110?????????解 因为??2??3???011???2?，又011?2?0，所以矩阵?011?可逆，从而
??????101?????101?1011??3???3?????1??110???1??2?????????011???3?， ?2????2????101??????1??3????3即?1,?2,?3与?1??2,?2??3,?3??1等价．故?1??2，?2??3,?3??1线性相关．
(6) 设行向量组(2,1,1,1)，(2,1,a,a)，(3,2,1,a)，(4,3,2,1)线性相关，且a?1，则 ． 解 a?
?11． 21
(7) 设向量组式 ．
解 abc?0．
?1??a,0,c,2??b,c?,0?3,????a0线,b性,无关，则a,b,c必满足关系??12?2?T??2(8)设三阶矩阵A=21，三维列向量???a,1,1?．已知A?与?线性相关，则
???304???a? ．
解 a??1．
2．选择题
(1) n维向量组a1,a2,,as(3≤s≤n)线性无关的充分必要条件是 ．
,ks，使k1?1?k2?2?,ks，使k1?1?k2?2??ks?s?0； ?ks?s?0；
(A)存在一组全为零的数k1,k2,(B)存在一组不全为零的数k1,k2,(C)a1,a2,(D)a1,a2,,as中任意两个向量都线性无关；
,as中任意一个向量都不能由其余向量线性表示．
,?s线性相关的充分必要条件是：?1,?2,,?s中至少有一个向量可由其余
,?s中任意一个向量
答 （D）．?1,?2,s?1个向量线性表示．所以?1,?2,都不能由其余s?1个向量线性表示．
(2) 设有两个n维向量组??,??,,?s线性无关的充分必要条件是：?1,?2,,?s、??,??,,?s，若存在两组不全为零的数k1,k2,,ks；
?1,?2,(A) (B) (C) (D)
,?s，使(k1??1)?1??(ks??s)?s?(k1??1)?1??(ks??s)?s?0；则 ．
?????,??,??,??,??,,?s??s，?????,,?s、??,??,,?s、??,??,,?s??s线性相关；
,?s均线性无关； ,?s均线性相关；
,?s??s线性无关．
?(ks??s)?s?0， ?ks(?s??s)?0，
?????,,?s??s，?????,(k1??1)?1?答 （A）．因为
?(ks??s)?s?(k1??1)?1???s(?s??s)?k1(?1??1)?,?s??s线性相关．
?1(?1??1)?所以?1??1,,?s??s,?1??1,(3) 设向量组?1,?2,
,?m和向量组??,??,,?m为两个n维向量组(m?2)，且
2
????????????m,?????????,????m ?????m?????????m?1,则有 ．
(A) ?1,?2,(B) ?1,?2,(C) ?1,?2,,?m的秩小于??,??,,?m的秩大于??,??,,?m的秩等于??,??,,?m的秩； ,?m的秩； ,?m的秩；
(D) 无法判定．
??1??01????2??10?答 （C）．因为????????????m??11011???1????101???2?，又
?????????110???m?110?(?1)m?1(m?1)?0，所以有
??1??01?????2???10???????????m??11即?1,?2,1??1???0???1??1?????2?， ????????m?,?m与?1,?2,,?m的秩相等．
,?m与?1,?2,,?m等价，从而知?1,?2,(4) 设有两个n维向量组?1,?2,,?m和??,??,,?m均线性无关，则向量组
?1???,?2???,,?m??m ．
(A) 线性相关； (B) 线性无关；
(C) 可能线性相关也可能线性无关； (D) 既不线性相关，也不线性无关． 答 （C）．
?1??1???1???1?????????例如，?1??0?,?2??1?;?1??0?,?2???1?，则?1,?2和?1,?2都线性无关，但
?0??0??0??0??????????1??1,?2??2线性相关．
?1??1??1??1??????????1??1,?2??2又如， ?1??0?,?2??1?;?1??0?,?2??1?,则?1,?2和?1,?2都线性无关，
?0??0??0??0?????????也线性无关．
(5) 设有向量组A???1,?2,,?s与B???,??,,?t均线性无关，且向量组A中的每个向量都不
能由向量组B线性表示，同时量组B中的每个向量也不能由向量组A线性表示，则向量组
3
?1,?2,,?s???,??,,?t的线性相关性为 ．
(A) 线性相关； (B) 线性无关；
(C) 可能线性相关也可能线性无关； (D) 既不线性相关，也不线性无关． 答 （C）．
?1??1??0??0?????????例如，当?1?0,?2?1;?1?0,?2?1,则?1,?2和?1,?2都线性无关，且?1,?2不能
?????????0??0??1??1?????????由?1,?2线性表示，?1,?2也不能由?1,?2线性表示．但?1,?2，?1,?2线性相关．
?1??1??0??0?????????0100又例如?1???,?2???;?1???,?2???,则?1,?2和?1,?2都线性无关，且?1,?2不能由
?0??0??0??1??????0???0???1???1???????????1,?2线性表示，?1,?2也不能由?1,?2线性表示．但?1,?2，?1,?2线性无关．
(6) 设向量组I:?1,?2,,?r可由向量组Ⅱ:?1,?2,,?s线性表示，则 ．
（A）当r?s时，向量组II必线性相关；
（B）当r?s时，向量组II必线性相关； （C）当r?s时，向量组I必线性相关； （D）当r?s时，向量组I必线性相关． 答 （D）． (7) 设?1,?2,,?s均为n维向量，下列结论不正确的是 ．
?ks?s?0，则?1,?2,,?s(A) 若对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有k1?1?k2?2?线性无关；
(B) 若?1,?2,,?s线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有
k1?1?k?2?2?ks?s?0；
,?s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s； ,?s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关．
(C) ?1,?2,(D) ?1,?2,答 （B）．
(8) 设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有 ． (A) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关； (B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关； (C) A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关； (D) A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关． 答 （A）． 3．将b表示为a1,a2,a3的线性组合.
4
TTTT(1)a1?(1,1,?1)，a2?(1,2,1)，a3?(0,0,1)，b?(1,0,?2)； TTTT(2)a1?(1,2,3)，a2?(1,0,4)，a3?(1,3,1)，b?(3,1,11)．
解
（1） 令x1a1?x2a2?x3a3?b，即
?1??1??0??1?????????x1?1??x2?2??x3?0???0?． ??1??1??1???2?????????110因为D?120?1?0，所以由Cramer法则，得 ?111x1?2,x2??1,x3?1，
故b?2a1?a2?a3．
（2） 令x1a1?x2a2?x3a3?b，即
?1??1??1??3?????????x1?2??x2?0??x3?3???1?． ?3??4??1??11?????????111因为D?203?3?0，所以由Cramer法则，得
34181x1?0,x2?,x3?．
33故b?0a1?a2?a3．
4．已知向量组a1,a2,奇数时b1,b2,8313,ar线性无关，且b1?a1?a2，b2?a2?a3，…，br?ar?a1．证明当r为
,br线性相关．
,br线性无关；当r为偶数时b1,b2,?xrbr?0，得
x1(a1?a2)?x2(a2?a3)?(x1?xr)a1?(x1?x2)a2?解 令x1b1?x2b2??xr(ar?a1)?0， ?(xr?1?xr)ar?0．
因为a1,a2,,ar线性无关，所以有
5
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