量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》
束缚态和散射态
量子力学的主要研究对象有两类：束缚态 散射态
束缚态：在势阱中E 散射态：是能量连续的态，此时能量间隔趋于 0，态函数是自由粒子平面波的叠加。对势垒散射问题和部分势阱问题，一般要考虑散射态的存在 在通常的教材中，束缚态问题和散射问题一般是不同边界条件分别处理的。实际上二者有极其密切的联系。下面将予以讨论 2、?势阱中的束缚态 对?势阱，有 V(x)????(x)，(??0) 见右图。 在x?0处，V(x)?0。 ?E?0为游离态（自由态），E V(x)????(x)可取任何连续值。 取分立值。以下讨论E?0的 E?0时则可能存在束缚态，此时E 情况。 定态Schrodinger方程为， d22m??[E???(x)]??0 22dx??积分lim??dx可得出?势阱跃变条件， ??0??? 1 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》 ?'(0?)??'(0?)??2m??2?(0) 与?势垒跃变条件比较：?'(0?)??'(0?)?2m??2?(0) 在x?0区域，Schrodinger方程可以写成为 ?''(x)??2??0 其中???2mE??0，(E?0) 解为e??x，可写为Ae?x?Be??x， 利用边界条件可以知道以上两结论是一致的。 考虑到V(?x)?V(x)，要求束缚定态有确定宇称（不简并，因为是一维）， (a)偶宇称态 ?ce??x?(x)??x?0?ce?xx?0 或写成?(x)?ce??|x| c为归一化因子。现在根据跃变条件求解。 按?'的跃变条件， ?c??c???2m?/?2?c ???m?/?2 因此可得出粒子能量的本征值 E?E?2?2m?20??2m??2?2 ?由归一化条件?|?|2dx?|c|2/??1， ??可得出c???m?/?2?1/L， 2 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》 L??2/m?是势的特征长度。 这样归一化的束缚定态波函数可写为 ?(x)?1?|x|/L eL这是δ势阱中的唯一束缚态。 m?2属于能量E0??2。 2?在|x|?L中找到粒子的几率为 ?2?|?(x)|2dx?e?2?0.1353 L(b)奇宇称态 波函数可表为 ?Ae??x?(x)???x??Aex?0 x?0由x?0点波函数连续性条件可得A?0，所以不可能存在奇宇称束缚定态。 从物理上考虑，奇宇称态在波函数x?0点必为0。而δ势阱又恰在点x?0起作用。 所以δ势阱对奇宇称态没有影响，故而不能形成束缚态（参见P60思考题）。 2、?势与方势的关系，?'跃变的条件 δ势是一种短程相互作用的理想模型，可堪称方位势的一种特殊情况，原则上，它可以从方势的解取极限而得到。 从δ势求解更为方便。?'不连续，但粒子流密度jx连续。 3 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》 以下仅讨论?'的跃变条件。 考虑粒子对方势垒的散射。 ?VV(x)??0?0|x|?? |x|??在其内部，Schrodinger方程为 2m(V0?E)d2????0 dx2?2考虑粒子能量E?V0情况，在势垒内部（|x|??），波函数可表为 ?(x)?Ae?x?Be??x 其中??2m(V0?E)/?。 显然?(0)?A?B，而且?'??(Ae?x?Be??x)。 ??现在让V0??，??0，而对δ势垒，?V(x)dx????(x)dx??（？） ????若保持2?V0??（常数），则方势垒将趋于一个δ势垒??(x)。 利用?'(?)??(Ae???Be???)，?'(??)??(Ae????Be??)得， ?'(?)??'(??)??A(e???e???)??B(e????e??) 当??0?，V0??（保持2?V0??）时， ????2mV0/??0 但 ?2??2mV0?/?2?m?/?2 且当??0时，e????1??? 代入?'(?)??'(??)??A(e???e???)??B(e????e??)， 由?'(?)??'(??)??A(e???e???)??B(e????e??)得 4 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》 ??0???A(2??)??B(2??)?lim??'(?)??'(??)??lim???02?lim2??(A?B)???0 ?2m??(0)2?即?'(0?)??'(0?)?2m??(0) ?2此恰为前述?'的跃变条件。 2、束缚能级与透射振幅极点的关系 束缚能级与散射问题有着密切的关系。下面以一维势阱为例进行分析。 散射问题中我们取E?0，而在势阱束缚态的E?0。 im??对E?0的透射振幅，S???1?2? ??k??1如把E?0的透射振幅解析延拓到E?0时，我们来研究束缚能级与透射振幅极点的关系。 先讨论δ函数势阱， V(x)????(x)，(??0) 此时透射振幅由 ?im???im??S??1?2??S??1?2? ??k???k??1?1其中k?2mE/?，(E?0)。 （注意已将势垒透射振幅表达式中的????） im??如解析延拓到E<0能阈（k为虚），由S???1?2?，则S有单 ??k??1极点（一阶极点k?im?）。 ?2 5 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库量子力学-束缚态和散射态概念比较汇总在线全文阅读。
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