高考理科数学全国3卷（2016-2018共3套真题）及参考答案(2)

大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．

以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． （2）由茎叶图知m?列联表如下：

第一种生产方式 第二种生产方式 279?81?80． 2超过m 15 5 不超过m 5 15 40(15?15?5?5)2?10?6.635，（3）由于K?所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．

20?20?20?2019．解：

（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．

因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以 DM⊥CM． 又 BC

CM=C，所以DM⊥平面BMC．

而DM?平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．

（2）以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz．

当三棱锥M?ABC体积最大时，M为CD的中点．

由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1)，

AM?(?2,1,1),AB?(0,2,0),DA?(2,0,0)

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设n?(x,y,z)是平面MAB的法向量，则

??n?AM?0,??2x?y?z?0,即? ??2y?0.??n?AB?0.可取n?(1,0,2)．

DA是平面MCD的法向量，因此

cosn,DA?n?DA5， ?|n||DA|525， 525． 5sinn,DA?所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是20．解：

x12y12x22y22??1,??1． （1）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则4343两式相减，并由

y1?y2?k得

x1?x2x1?x2y1?y2??k?0． 43由题设知

x1?x2y?y?1,12?m，于是 22k??3．① 4m由题设得0?m?31，故k??． 22（2）由题意得F(1,0)，设P(x3,y3)，则

(x3?1,y3)?(x1?1,y1)?(x2?1,y2)?(0,0)．

由（1）及题设得x3?3?(x1?x2)?1,y3??(y1?y2)??2m?0． 又点P在C上，所以m?于是

333，从而P(1,?)，|FP|?． 422 7

x12x|FA|?(x1?1)?y?(x1?1)?3(1?)?2?1．

422212同理|FB|?2?x2． 21(x1?x2)?3． 2所以|FA|?|FB|?4?故2|FP|?|FA|?|FB|，即|FA|,|FP|,|FB|成等差数列． 设该数列的公差为d，则

2|d|?||FB|?|FA||?将m?11|x1?x2|?(x1?x2)2?4x1x2．② 223代入①得k??1． 4712所以l的方程为y??x?，代入C的方程，并整理得7x?14x??0．

44故x1?x2?2,x1x2?1321，代入②解得|d|?．

2828321321或?． 2828所以该数列的公差为21．解：

（1）当a?0时，f(x)?(2?x)ln(1?x)?2x，f?(x)?ln(1?x)?设函数g(x)?f?(x)?ln(1?x)?x． 1?xxx，则g?(x)?． 2(1?x)1?x当?1?x?0时，g?(x)?0；当x?0时，g?(x)?0．故当x??1时，g(x)?g(0)?0，且仅当x?0时，g(x)?0，从而f?(x)?0，且仅当x?0时，f?(x)?0．

所以f(x)在(?1,??)单调递增．

又f(0)?0，故当?1?x?0时，f(x)?0；当x?0时，f(x)?0．

（2）（i）若a?0，由（1）知，当x?0时，f(x)?(2?x)ln(1?x)?2x?0?f(0)，这与x?0是f(x)的极大值点矛盾．

（ii）若a?0，设函数h(x)?f(x)2x?ln(1?x)?．

2?x?ax22?x?ax2 8

由于当|x|?min{1,1}时，2?x?ax2?0，故h(x)与f(x)符号相同． |a|又h(0)?f(0)?0，故x?0是f(x)的极大值点当且仅当x?0是h(x)的极大值点．

12(2?x?ax2)?2x(1?2ax)x2(a2x2?4ax?6a?1)h?(x)???．

1?x(2?x?ax2)2(x?1)(ax2?x?2)2如果6a?1?0，则当0?x??大值点．

22如果6a?1?0，则ax?4ax?6a?1?0存在根x1?0，故当x?(x1,0)，且|x|?min{1,6a?11，且|x|?min{1,}时，h?(x)?0，故x?0不是h(x)的极4a|a|1}时，|a|h?(x)?0，所以x?0不是h(x)的极大值点．

x3(x?24)如果6a?1?0，则h?(x)?．则当x?(?1,0)时，h?(x)?0；当x?(0,1)时，

(x?1)(x2?6x?12)2h?(x)?0．所以x?0是h(x)的极大值点，从而x?0是f(x)的极大值点

综上，a??22．解：

（1）当??当??1． 6O的直角坐标方程为x2?y2?1．

?时，l与O交于两点． 2?2|?1，解时，记tan??k，则l的方程为y?kx?2．l与O交于两点当且仅当|221?k???)． 24得k??1或k?1，即??(,)或??(,??42???综上，?的取值范围是(,)．

44?????x?tcos?,(t为参数，???)． （2）l的参数方程为?44??y??2?tsin?设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP?tA?tB ，且tA，tB满足t2?22tsin??1?0．

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??x?tPcos?, 于是tA?tB?22sin?，tP?2sin?．又点P的坐标(x,y)满足?y??2?tsin?.??P?2x?sin2?,?????2(?为参数，???)． 所以点P的轨迹的参数方程是?44?y??2?2cos2???2223．解：

1??3x,x??,?2?1?（1）f(x)??x?2,??x?1,y?f(x)的图像如图所示．

2??3x,x?1.??

（2）由（1）知，y?f(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a?3且b?2时，f(x)?ax?b在[0,??)成立，因此a?b的最小值为5．

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