§5.7用不变量化简二次曲线的方程
一、不变量与半不变量
设二次曲线在任意给定的直角坐标系中的方程为
F(x, y) ? a11x2＋2a12xy＋a22y2＋2a13x＋2a23y＋a33＝0, ①
在直角坐标变换
②
下，曲线方程左端变为
F ?(x?, y?) ? x?2＋2x?y?＋y?2＋2x?＋2y?＋,
则多项式 F ?(x?, y?) 也是二元二次多项式，它的每一个系数都可以用多项式 F(x, y) 的系数和坐标变换②的系数表出.
1. 定义：由F(x, y)的系数组成的一个非常数函数f，如果经过直角坐标变换②，F(x, y) 变为 F ?(x?, y?)时，有
f (a11, a12,?, a33) = f (,,?, ),
那么这个函数f叫做二次曲线①在直角坐标变换②下的不变量. 如果这个函数f的值，只是经过转轴变换不变，那么这个函数叫做二次曲线①在直角坐标变换下的半不变量.
1. 性质：
（ⅰ）二次曲线①在直角坐标变换下，有三个不变量I1，I2与I3与一个半不变量K1：
I1＝a11＋a22，I２＝,
，K1＝＋.
（ⅱ） 当二次曲线①为线心曲线时，在直角坐标变换下，K1是不变量.
I3＝
二、用不变量化简二次曲线的方程
1.如果二次曲线①是中心曲线，则它的简化方程为
= 0. (I２?0)
其中?1, ?2是二次曲线特征方程的两个根（方程中的撇号已略去）.
2.如果二次曲线①是无心曲线，则它的简化方程为
= 0. (I1 I3<0)
其中的正负号可以任意选取（方程中的撇号已略去）.
3.如果二次曲线①是线心曲线，则它的简化方程为
= 0. (I1 ? 0)
(方程中的撇号已略去).
三、 二次曲线的类型
如果给出二次曲线①, 那么用它的不变量与半不变量来判断已知曲线为何种曲线的条件是：
[1] 椭圆：I2 > 0, I1 I3<0； [2] 虚椭圆：I2 > 0，I1 I3>0；
[3] 点（或称一对交于实点的共轭虚直线）：I2 > 0，I3=0； [4] 双曲线：I2 < 0，I3 ? 0；
[5] 一对相交直线：I2 < 0，I3 = 0； [6] 抛物线：I2 = 0，I3 ? 0；
[7] 一对平行直线：I2 = I3 = 0，K1<0； [8] 一对平行虚直线：I2 = I3 = 0，K1>0； [9] 一对重合直线：I2 = I3 =K1=0. 注：1. 二次曲线①表示两条直线（实的或虚的，不同的或重合的）的充要条件为I3 = 0.
2. I3 ? 0的二次曲线叫做非退化二次曲线；I3 = 0的二次曲线叫做退化二次曲线. 3. 利用不变量与半不变量，只能简化方程，判断曲线为何种曲线，但不能作出它的图形.
例1. 利用不变量与半不变量，判断下列二次曲线为何种曲线，并求出它的简化方程与标准方程.
22
（1）x＋6xy＋y＋6x＋2y－1＝0；
22
（2）3x－2xy＋3y＋4x＋4y－4＝0；
22
（3）x－4xy＋3y＋2x－2y ＝0；
22
（4）x－4xy＋4y＋2x－2y－1 ＝0；
22
（5）x－2xy＋2y－4x－6y＋29＝0；
（6）；
22
（7）x＋2xy＋y＋2x＋2y－4＝0；
22
（8）4x－4xy＋y＋12x－6y＋9＝0.
解：（1）因为 I1＝1＋1＝2，I2＝＝－8<0,
I3＝
故曲线为双曲线，其特征方程为
＝16 ?0,
? 2－2?－8＝0,
解之得 ?1＝4，?2＝－2，从而简化方程为
＝0.
其标准方程为
.
（2）因为 I1＝3＋3＝6，I2＝
＝8>0,
I3＝
故曲线为椭圆，其特征方程为
＝－64?0,
? 2－6?＋8＝0,
解之得 ?1＝2，?2＝4，从而简化方程为
22
2x? ＋4y? －8＝0.
标准方程为
.
（3）因为 I1＝1＋3＝4，I2＝
＝－1<0,
I3＝
故曲线表示两条相交直线，特征方程为
＝0,
? 2－4?－1＝0,
解之得 ?1＝2＋标准方程为
，?2＝2－
，简化方程为
)x?＋(2－
2
(2＋)y?＝0.
2
.
（4）因为 I1＝1＋4＝5, I2＝
＝0,
I3＝
故曲线表示抛物线，简化方程为
5y? －
标准方程为
2
＝－1?0,
x?＝0.
y? 2＝
（5）因为 I1＝1＋2＝3, I2＝
x?.
＝1>0,
＝－4,
故曲线表示一点或称相交于一点的两条虚直线 ，特征方程为
? 2－3?＋1＝0,
I3＝
解之得 ?1＝，?2＝，简化方程为
＝0.
标准方程为
.
（6）依题意有 a≥0, x≥0, y≥0.
(i) 当a = 0时，原方程表示一点O(0, 0)； (ii) 当a > 0时，原方程变形为
x 2－2xy＋y2－2ax－2ay＋a2＝0. (x≥0, y≥0) 因为 I1＝1＋1＝2, I2＝
＝0,
I3＝
故曲线为抛物线的一部分，简化方程为
2
标准方程为
= ?
（7）因为 I1=1+1=2, I2=
? 2
＝－4a<0,
2
ax?=0. (x≥0, y≥0)
ax?. (x≥0, y≥0)
=0,
=0, K1=
故曲线为两条平行直线，简化方程为
2
标准方程为
=
（8）因为 I1=4+1=5, I2=
=0,
. ?5=0.
I3= += ?10<0,
I3=
故曲线为两重合直线，简化方程为
=0, K1= 5
=0.
+=0,
标准方程为
=0.
22
例2. 当?取何值时，方程 ?x+4xy+y?4x?2y?3=0表示两条直线. 解：二次曲线表示两条直线的充要条件是 I3=0，令
I3=
得 ?=4 时方程表示两条直线.
例3. 试证方程
= ?4?+16 = 0,
a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0 2
确定一个实圆必须且只须 I1=4I2, I1I3< 0.
证明：若方程表示一个实圆，则经坐标变换后化简为
+?2+=0.
22
其中 ?1=?2是特征方程 ??I1?+I2=0的两个相等的实根，从而由?=I1?4I2=0得 I1=4I2；又由于曲线属于椭圆型，从而又有 I1I3< 0.
2
反之，若I1=4I2，I1I3<0, 则 I1?0，从而I2 >0，于是原方程表示椭圆型曲线. 设经过坐标变换后的简化方程为
2
?1
?1+?2+=0.
22
由 I1=4I2 知特征方程 ??I1?+I2=0 的两个特征根相等 ?1=?2，且?1??2 =I2 >0，由
I1I3 = (?1+?2)I3 =2?1I3< 0,
知 ?1(?2) 与 I3 异号，故有
+=－>0.
从而当 I1=4I2 且 I1I3< 0 时原方程表示一个实圆.
例4 试证如果二次曲线的 I1=0，那么I2< 0.
证明：设二次曲线方程为 F(x, y)=0，由 I1=0 得 a11= ?a22，从而
2
I2==a11a22?= ?(+)≤0.
若I2=0，则由上式知a11=a12=a22=0, 与二次曲线方程中二次项系数不全为零产生矛盾，从而必有I2<0.
作业题：
1. 利用不变量与半不变量，判断下列二次曲线为何种曲线，并求出它的简化方程与标准方程.
22
(1) x +2xy + y+2x+ y=0;
22
(2) 4x ?4xy + y+2x ?y?2=0;
22
(3) x +2xy + 2y?4x?8y+6=0.
22
2. 设a11x+2a12xy+a22y+2a13x+2a23y+a33=0表示两条平行直线，证明这两条直线间的距离是
d = .
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