5-3-4 分解质因数（一）.教师版(2)

6或2，3，8或1，6，8(舍去)，则第三组的三个数可能是3，7，8或4，6，7，其中和最大的是3?7?8?18.

【答案】18

【例 18】 一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的

最小可能值是多少厘米? 【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小．如3个数的积为18，则

三个数为2、3、3时和最小，为8．1998=2×3×3×3×37，37是质数，不能再分解，所以2×3×3×3对应的两个数应越接近越好．有2×3×3×3=6×9时，即1998=6×9×37时，这三个自然数最接近．它们的和为6+9+37=52(厘米)．

【答案】52

【例 19】 一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方体的表

面积是多少平方厘米? 【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 39270=2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，而34×34×34最接近39270，39270的约数中接

近或等于34的有35、34、33，有33×34×35=39270．所以33、34、35为满足题意的长、宽、高．则长方体的表面积为：

2×(长×宽+宽×高+高×长)=2×(33×34+34×35+35×33)=6934(平方厘米)．

方法二：39270=2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，考虑质因数17，如果17作为长、宽或高显然不满足．当17与2结合即34作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数7，与34接近的数32～36中，只有35含有7，于是7与5的乘积作为长方体的一条边的长度．而39270的质因数中只剩下了3和1l，所以这个长方体的大小为33×34×35．长方体的表面积为2×(

392703927039270++)=2×(1190+1155+1122)=2×3467=6934(平方厘米)． 333435【答案】6934

【例 20】 如果两数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于多少？ 【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 4875=3×5×5×5×13，有a×b为4875的约数，且这两个数的和为64．发现39=3×13、25=5×5这两个

5-3-4.分解质因数（一）.题库 教师版 page 6 of 9 数的和为64，所以39、25为满足题意的两个数．那么它们的差为39-25=14。

【答案】14

【例 21】 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数.

求这两个整数分别是多少？ 【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都

可以表示成两个整数相加的形式，例如33?1?32?2?31?3?30??16?17，共有16种形式，

如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了.可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每个数都是111的倍数，而111?37?3，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数，但只能是37的2倍(想想为什么？)3倍就不是两位数了.

把九个三位数分解：111?37?3、222?37?6?74?3、333?37?9、444?37?12?74?6、555?37?15、666?37?18?74?9、777?37?21、888?37?24?74?12、999?37?27.

把两个因数相加，只有(74?3)?77和(37?18)?55的两位数字相同.所以满足题意的答案是74和3，37和18.

【答案】74和3，37和18

【例 22】 如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这个数为回文数．如年份数1991，

具有如下两个性质：①1991是一个回文数．②1991可以分解成一个两位质数回文数和一个三位质数回文数的积．在1000年到2000年之间的一千年中，除了1991外，具有性质①和②的年份数，有哪些？ 【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 这一千年间回文数年份共有10个，除去1991外，还有1001，1111，1221，1331，1441，1551，1661，

1771，1881．符合条件②的两位质数只能是11，所以符合条件②的只有三个，即

11?101?1111， 11?131?1441，11?15l?1661． 【答案】11?101?1111， 11?131?1441，11?15l?1661

【例 23】 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140．如果把所有这样的分数从小到大排列，那

么第三个分数是多少？ 【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】解答

5-3-4.分解质因数（一）.题库 教师版 page 7 of 9 【解析】 有140=2×2×5×7，要保证分数最简即要让分子与分母是互质的，那么两个质因数2必须同时位于分

子或者同时位于分母的位置上。这样由小到大的最简分数依次是．

112?2455775，倒数第三小的是。 ?,?,?,?2?2?5?71405?7352?2?7282?2?52028【答案】

5 28

【例 24】 纯循环小数0.abc写成最简分数时,分子和分母的和是58,则三位数abc?_________

【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】填空

abc【解析】 如果直接把0.abc转化为分数,应该是,因此,化成最简分数后的分母应该是999的约数,我们

999将999分解质因数得: 999?33?37,这个最简分数的分母应小于58,而且大于29,否则该分

数就变成了假分数了,符合这个要求的999的约数就只有37了,因此,分母应当为37,分子就是

abcabc2158?37?21,也就是说0.abc?,因此abc?21?27?567. ??99937?2737【答案】567

模块二、分解质因式

【例 25】 三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数. 【考点】分解质因式 【难度】2星 【题型】解答

(a?b?c)，则可知a、b、c中必有一个为11，不妨【解析】 设这三个质数分别是a、b、c，满足abc?1121?12?2?6?3?4?记为a，那么bc?11?b?c，整理得(b?1)(c?1)?12，又1c?13，对应的b?2、

或b?3、c?7或b?4、c?5 (舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11.

【答案】2、11、13或3、7、11

【例 26】 三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数． 【考点】分解质因式 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 设这三个质数分别是a、b、c，满足abc?7(a?b?c)，则可知a、b、c中必有一个为7，不妨记

1?8?2?4为a，那么bc?7?b?c，整理得(b?1)(c?1)?8，又8?，对应的b?2、c?9(舍去)或b?3、

c?5，所以这三个质数可能是3，5，7

【答案】3、5、7

【例 27】 如图，长方形周长为20，面积为24。另一个长方形，面积为20，周长为24。它的长是 ，

宽是 。

5-3-4.分解质因数（一）.题库 教师版 page 8 of 9 64【考点】分解质因式 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3年级，决赛，第7题，10分

【解析】 周长为24则，长和宽的和为24?2?12，因为20?1?20?2?10?4?5，因为10?2?12，所以它的

长是10，宽是2。

【答案】长是10，宽是2

【例 28】 在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这

个长方体的体积是多少? 【考点】分解质因式 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 如下图，设长、宽、高依次为a、b、c，有正面和上面的和为ac+ab=209．

ac+ab=a×(c+b)=209，而209=11×19．

当a=11时，c+b=19，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数2，则c+b=2+17; 当a=19时，c+b=11，则c+b=2+9，b为9不是质数，所以不满足题意． 所以它们的乘积为11×2×17=374．

【答案】374

【例 29】 两个不同的两位质数接起来可以得到一个四位数,比如由17，19可得到一个四位数1719,由19，17

也可得到一个四位数1917.已知这样的四位数能被这两个两位质数的平均数所整除,试写出所有这样的四位数。 【考点】分解质因式 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 设这2个两位质数分别是a和b，则这个四位数是100a?b，根据条件可知：

(a?b)|(200a?2b)，设因此

a?b(100a?b),即2200a?2b，化简得(200?k)a? (k?2)b，?k，则200a?2b?k（a?b）

a?bb200?k,其中k是整数，a和b均为两位质数，设200?k?bm, k?2?am，则两式相加得?ak?2(a?b)m?198，注意到a和b都是质数即也是奇数，所以a?b是198的约数. 198?2?32?11，由于

a、b都是两位不同的质数，因为11?13?a?b?89?97中的偶数，所以a?b?66

【答案】1353、5313、1947、4719、2343、4323、2937、3729

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